DH + EF + EU
+ FG +GH +AC +BÜ +AH +DE +AF +BE +BG +CH* + DG‘ + EG‘ + FÏi‘ = 3Âg‘ + ^Bh‘ + 3CË‘+ 5Ï5Î'‘
+ 4^^, [BÏï)’+4 (xTg, -[($ ) +4 {^ÂG^Dr )
+ 4 ( ÏBH, ïCË )' +4 ( (BH, FdF ) +4 ( ICË, TdF )
* Celte équation primitive étant trouvée, on aura toutes les équations côrrélatives que fournit le même système, en substi tuant de toutes les manières paisibles dans cette équation pHniitive,les lettres A, B, C,D, E, F, G, H, les unes a la place des autres, sans rien changer an^signes. Ce qui peut se faire, comme on l’a vu l^i-dessus , de a5ao manières, l’équation primitive' comprise. Ces aSao équatiohs différentes appartiendront donc toutes à l’hexaèllfe proposé.
THlèORêME XX • ■’
tout pofygone plan ou gauche, et dans ioül polyèdre , la somme carrés des droilès qui joignent deux à deux les points-milieux tant’ des côtés que des diagonales , est le quart de la somme des carrés de ces côtés et diagonales , multipliée par le nombre des sommets du polygone ou polyèdre, diminué de deux unités.
C’est-à-dire que si l’on nomme ^te nombre des sommets du polygone ou polyèdre, ü la somme des carrés tant des c^j^ que
53j GEOMETRIE-
, des diagonales ; d la somme des carrés des droites , qui joignent deux à deux les points-milieux, teint des càtcs que des diago- . nales; on aura toujours, d = j (n — a) D.
Par exemple, s’il s’agit du triangle , on aura n = 3 , et l’équa-
• ■ tion se réduira à d = j D, comme il est évident que cela doit
être.
Si l’on a « = 4, l’équalion se réduira à d = 7 D, c’est-à-dire que dans le quadrilatère, la somme d des carrés des quinze
• droites qui joignent deux à deux les points-milieux tant. des côtés que des diagonales , est la moitié de la somme D des carrés de ces côtés et de ces diagonales.
La vérité de celte proposition est facile à appercevoir, après ce qui a été di^ ci-dessus. ry^ez ci-après le n°. agG.
OgS, Cette théorie peut être encore généralisée, et fournir nombre de conséquences curieuses.
Soit un système quelconque de points désignés par A, B, C,
D , &c. et dont le nombre soit n.
Nommons a”, b", c’, &c. les centres de moyenne distance de tous ces points A, B, C, D, &c. considérjés deux à deux, c’est-à-
dire, les poinls-niilieux de toutes les droises AB, AC, BC, CD, &c.
Nommons a'", b"', c", &cc- les centres de moyenne distance de tous ces points considérés trois à trois, c’est-à-dire, les centres • <lc moyenne distance des systèmes (A,B,C), (A,B,D), (B,C,D),&c. •
Nommons a", b", c", &c. les centres, 8cc.
Nommons enfin K le centre général des moyenoies distances de tous les points A , B, C, D, &c. ,
Représentons maintenant par», chacune des distances telles
que AK, BK, CK, &c. ; par z", chacune dos distances telles que a”K, ô"K, c'K, &c. ; par x” chacune des distances telles que a” K, ô"K, c''K, &c. ainsi tk suite.
• Représentons de même par 'X, chacune des distances telles
qac AB, AC, BC, fcc. ; par X", chacune des distances telles que a"6', o"c*, A"c*, &c. ; par X"', chacun© des distances telles que
a"' b", a” él’", fcç., ainsi de suite. ^
Prenods enfin la caractéristique / poqr exprimer somme de. Cela posé, ^
Il est aisé de voir d’abord que le cenlregénéral K des moyennes distances de A, B, C, &c. est le meme que,4:elui de tous les points a", 6', c', fcc. , le même que celui des points a", b'\ e", &c. le même, &c.
Il est également facile devoir que le nombre des points A, B,
C, O, fcc. étant n, celui des droites AB, AC, &c., et par consé-
quent celui des points o", b', c', fcc. sera — - — - j celui des systêmes à trois points, (A, B, C), (A, B,D), fcc., et par consé-
quent celui de leurs centres o", b", c", &c. sera ainsi de suite. Cela posé ,
l\ est clair que nous aurons les formules suivantes (aSo) ,
