Nous avons

(Âk’+bH’) = (ÂJ*’+bI') +3o^‘,

(âk’+bk’) = ^Âb’+î^’.

Imaginons une semblable équation pour tons les points dn ^stême comparés deux à deux, et faisons la somme de toutes ces

>tf.

éqnalions dont le nombre sera évidemment*^^^-^ i II est aibc

de voir que chacune des quantités AlC, BK, &c. étant- représentée parir, chacune des quantités comme AB, par X, et chacune des quantités comme <j"K par x",- l’équation résultante de la somme ci-dessus indiquée sera :n — i /af* =‘j/X*-l-2/*'*. De môme nous avons

(Âk'+Bk’'+Ck’) = (Â^' +B^'”+c70 +3pK-,

1 (Âk‘+BK‘+Ck‘) = j (ÂB +ÂC+BC‘) +3^^‘

Imaginons une semblable équation pour tous les poinû du système comparés trois à trois , et faisons la somme de toutes ces

équations , dont le nombre sera évidemment ^

est aisé de voit que la formule résultante sera

-fX^+5/x

De même en considérant les points A, B,C^'D, &c. quatre à quatre , on a ‘ .

(ÂK +BK*+CK‘-fDK‘)

= i(ÂB‘+ÂC‘+ÂD‘-fBc‘-fBD‘+CD‘) +4tfX‘; ' d’où l’on tire comme ci-dessus ,

ainsi de suite Nous aurons donc celte série de formules ,

-iA‘=iyx‘+aA

tr — fx' =

- fX‘+5fx"

DE POSITION La loi Ue ces formules est facile à saisir. Il n’y a que le coëQicient de/X* qui souffre quelque embarras. Pour le trouver, on forme la suite des^ nombres trian^laircs i, 3, 6, lo, &c. On les divise par la suite des nombres naturels , a, 3, 4 , 5, &c. ;

■I i36io-^

ce qui donne cette scrie de fractions — , r, 7, — , &C. On mul-

tiplie la première par — , la seconde par — = ; la

troisième par

, ainsi de suite ; ce qui dbiine

a O a.3 On divise enfin tous les termes de oetle série par le facteur

commun ” ” Ji, et l’oiî a celte nouvelle série,

qui est précisément la série des çocfficiens de /X*.

Nous avons /X* = nfa^ ; substituant dans les formules précédentes celte valeur de /X*, on aura

a/ar- =

Au moyen de ces forn.ules et de celles trouvées (aSg) , on a évidfpnment le rapport immédiat, et par une simple équation du premier degré, à deux termes seulement, de toutes les quantités A* , /X* , A", /X“ Jx'"', /X'"*, &c. considérées deux à deux. La première de ces formules (Ç) n’csl aulie cliose que l’expression algébrique du ihéàttiTnc xxxi (n°. ag4).

Il est facile de reconnoître dans tout ce que nous ^ venons de dire du centre des moyennes distances, les propriétés de ce qu’on appelle en mécanique centre de gravité , cl en effet, ces deux points sont les mêmes. C’est donc à la géométrie qu’appartient la notion de ce point, et ses propriétés mécaniques devroient être simplement déduites dé celles qu’il est possible d’établir par la seule géométrie.

On sait d’aiHeurs depuis long-temps, par plusieurs propositions importantes, et particulièrement par le théorème du père Guldin , pour la quadrature des surfaces et la cubature dea solides, l’avantage que peut tirer la géométrie elle-même de la considération des centres de gravité; mais cette marche n’est point naturelle. C’est donc une véritable lacune dans les traités de géométrie, que l’omission de ses propriétés fondamentales; et je pense que ce seroit faire une chose utile que de rétablir à cet égard l’ordre naturel des idées , eu dévelo]>|pnt dans la trie même les propriétés du centre des moyennes distances’^ui ‘ ne devient réellement centre de gravifé, qu’en yiécanique. Les ressources de la géométrie élémentaire, qui csl*l^ plus usuelle , seroient beaucoup plus considérables , et une thSltitude de propositions très-utiles dans la pratique, et que cette géométrie ne sauroit atteindre que fort diiUcilemcnt , se démoutreroient avec une extrême simplicité.

298. Il me semble même que la géométrie ne devroit point se borner là, et qu’elle pourroit embrasser les mouvemens, qui ne résultent pas de l’action et de la réaction des corps les uns sur les autres; car la mécanique n’eat pas proprement la science dos mouvemens, mais la science de la communication des mouvemens. L’idée du mouvement est aussi simple que celle de dimensions, et peut-être en est-elle inséparable. Les premières notions de la géométrie enseignent à regarder la ligne comme la trace d’un point qui se meut, et cette notion s'accorde avec l’opération matérielle, par laquelle on trace effectivement une ligne sur le papier, avec une plume ou un crayon ; elles enseignent de même à regarder la surface, comme produite par le mouvement

d’une

d’une ligne , et le solide , comme produit par le mouvement delà ^ surface. Pourquoi n’iroit-on pas plus loin , en considérant ce ^ > que produit à son tour le mouvement du solide dans l’espace? ce n’est pas ce mouvement en lui-méme qui fait l’objet de la mécanique; mais l’effet des modifications qu’il éprouve par le choc des autres solides placés sur sa route.

• Deux corps peuvent avoir , l’un à l’égard de ftiufre, trois

manières d’être; ils peuvent se trouver ou entièrement séparés l’un de l’autre , et saoy^mmunication quelconque , ou bien agissant l’un sur l’autre par choc, pression ou traction ; ou bien enfin , en simple contact ou juxta-position , sans aucune action de l’un sur l’autre. ‘

Le premier de ces trois états appartient exclusivement à la géométrie; le second appartient à 1a mécanique; le troisième c>t en quelqde sorte l’état mitoyen, qui est comme le passage d’une de CCS deux sciences à l’autre. On peut le considérer comme un développement de la première, servant d’introduction à la seconde.

jConcevons un sy^tme quelbonque de corps, entre lesquels il ÿ ait divers points dé cbntact, mais sans action quelconque^c ces corps les uns sur les autres. On peut demander, quelles sont les conditions auquelles devroit être assujéti ce système dans ses mpuvemcns, pour que les corps qui-lc composent restassent en contact, sans cependant acquérir aucune influence l’un sur l’autre, sans se gêner dans ces mouvemens respectifs, et néanmoins ' sans se séparer ; de manière que la juxta-position ait toujours lieu sans pression et sans solution de continuité. Or ce problème est absolument indépendant des règles de la communication des mouvemens, puisque, par hypothèse, il n’y a aucun mouvement communiqué ni détruit, les mouvemens qui ont lieu alors peuvent donc être appelés mouvemens géométriques, et leur recherche n’appartient point à la mécanique proprement dite; elle est du ressort de la géométrie , et je crois que pour compléter cetts dernière science, il faudroit que les propriétés de ces mouvemens y fussent développées. Ces propriétés, ainsi que je l’ai

remarqué ailleurs, sont toutes comprises dans un principe fondamental , quiconsistc’^n ce que, lorsqu’un pareil mouvement existe dans un système du corps, le mouvement contraire à chaque instant est toujours possible3 ce qui n’a pas lieu lorsque le mouvement n’est pas géométrique. Deux' globes en contact , par exemple, qui se meuvent d’un mouvement géométrique, c’està-dire sans cesser de rester en contact , sont tels qu’à choqueinstant ils peuvent prendre l’un et l’aulre.des vitesses diamétralement opposées à celles qui les animent; ce qui ne pourvoit avoir lieu, si leurs mou veinens n’étoient pus géométriques, c’est-à-dire si ces vitesses opéruient leur éloignement, puisqu’alors pour prendre le mouvement contraire, il faudroit qu’il y eût pénétration des deux corps.

Si la théorie de ces mouvemens géométriques étoit approfondie, la mécanique et Phydraulique seroient inhiiiment shfi-» plifiées; elles se réduiroient au développement du principe’^ général de la cominintfg^on des mouvemens, qui n’est autre chose que celui de ruclidti toujours égale et contraire à l’action.' Les grandes difficultés analy^lfkes -qu\j|| /rencontre dans la sojencc de l’équilibre et du mouvement, viennent principalement de ce que la théorie des niouveniens* géomélriques'n’est point faite ; elle mérite dune toute l’attcutij^ii des sa^aus.

T U K O n È .M JJ X Jt X I 1. ^

2()Cj. Si d’un point ou fy'er ^aSon'que pris dans l’espace , on mène iUs droites ou rayons égales et parallèles, éi^jfcune à chacun de^Ôtés d’un polygone plan ou gauche , et memes dans le sens du périmètre } et que d’un autre- point quelconque pris dans l’espace, on abaisSe une perpendiculaire sur chacun de ces rayons ; la somme des produits de chacun d’eux par le segment de ce même rayon , compris entre le foyer et le poi/^£Ù tombe la perpendiculaire abaissée sur lui , est égide à zéro , en prenait en sens*inverse , ceux de ces segmens qui tombent , non sur les ÿjtyons mêinq^uxquels ils appartiennentlmais sur leurs proion- ^ ^emTns dans lè sens opposé. ♦

DE POSITION. î55f,

Soient en effct^^fig. 106), F le foyer en question, FA, FB,

&C. !cs rayoïujjarlans de ce foyer, qui so*t respectivement

parallèles et égaux aux côtés d’un polygone donné, et dans le

même sens qu’eux. Soit K le point (Ko^sont abaissées^es por- ^

pcndiculaires Ka, Kô, Kc, &c. surceil diiférens rayons. Anais-

sons aussi des points A, B, C, des perpendiculaires AA', BB', — —

C( ", &c. sur FK. Les triangles semblables AF A', K. Fo donnent FÂ : FK : ¥2} doncK

FA. Fo = FK.FA'. Par la même raison on a •••

FB. Fô = FK.FB'

FC. Ï^ = FK.Fty ^ ^ ■

Ajoutant ensemble toutes ces équations on a

, |^.ï^+FB,.f3 4. &o. = FK-^Â+rB- + &c.) J mais il est clair que les triangles rectangles FAA', FBB', &c.

donnent, FA' = FA cos.AFK, FB' = FB.cos'.BFK, &c. donc (a55)

, ŸÂ+?F+FC + fifc. = o en prenant negativcmei^l celles de ces valeurs auxquelles ^pondent des cosinu^ négatifs ou des angles obtus. Donc te second membre de notre équation s’évanouit ; donc nous avons

FA.Fa + FB.Fô+ FC.Fc + -Sfoi ■= o

en prenant ,^^ativement teux do ces ^^mens Yb, &Cc» qui

comme Fô, Fc, répondent aux angles obths dont nous venbns de parler, ou qui tombent, non sur les rayons môme auxquels ils appartiennent , mais sur leur* prolongcmcns dans le sens contraire. Ce qu’il falloit démontrer (i).

(i) Cette proposition est encore Iris-anàtognc & te lliéorie de) vites-se virtnelles en méceniquci cela vient de ce que plD^urs forces qni sAint

THÉOB^MB XXXIII.'

5oO< Si par un point quelconque pris dans l'espace , on fait passer plusieurs polygones égaux et parallèles , chacun à chacune des faces d’un polyèdre quelconque , et tourné vers le même côté qu’elle , la somme des produits des surfaces de ces polygones, multipliéee^haçiute par la perpendiculaire abaissée sur lui, d’un point qiuloè^fpse donné dans l’espace , en prenant négativement ccllettde ces perpendiculaires qui tombent sur le "^vers de ces polygones , est égale à zéro.

Pour le prouverj concevons que d’un point quelconque m pris dans l’intérieur d’un polyèdre, on mène une droite à chacun des angles solides, le polyèdre se trouvera partagé en autant de

équilibre en tirant tin mobile en dilTérens sens, peuvent toujonrs être repréaei'itécs parles côtés d'un pnly^nnr plan ou gaachc; c’est*à'(lire , qu’on peut toujours imaginerai] polygone ^ dont Ica côtés soient tels, qae les forces qui aont aupposées ae faire équilibrei soient parallèles et égales chacune à chacun de

cei côtés , et dirigée dans lo même sens; de sorte que I''A,FB, FC,FD,&c. peuvent représenter des forces qni se font équilibre anionr dn point F, comme il est aisé de s’en assurer par le parallélogramme des forces. Cela étant , si l’on conçoit que F sc meuve, et que sa vitesse soit représentée par FK , tant

pour sa grandeur que pour sa direction, les droites Fo', Fé, Fc, &c., exprimeront cette même vitesse cslimce dans le sens des dilfâreutes forces Fa, FB, &c. qni loi sont appliquées. Donc l’équation trouvée apprend que la somme des produits de phacunc des forces en équilibre uulonrd’un mobile F, Multipliée par la vitesse de ce mobile estimée dans le sens de cette force , est égale à zéro. Ce qui est en effet le principe général de l’cquililsre.

l’ai, supposé qnc toutes les forces étaient vuiemblées autour d’un mémo noeud. S’il y en as'oit plusieurs comme dans une machine funiculaire , on pourrait appliquer le même raisonnement é chacnn d’enx , et les tensions des cordons qni les uifissent deux i deux , Aant les memes l>our chaque nœud , ainsi que la vitesse de chacune de scs extrémités, estimée dans le sens de ce cordon; ces tensions n’entreroient pas dans le calcul: d’où il suit que le principe est général pour un système quelconque de forces appliquées à une machine funiculaire; et comme toute machine peut être ramenée i U machine fuuiuu-

Digilized by Googli

pyramides qu’il y (i de faces, toutes ayant leur sommet au même point m , et la solidité de ce polyèdrq sera égale au tiers de la sommÿde ces faces, multipliées chacune par la hauteur de la pyramide corro^mndante, c’est-à-dire, par la perpendiculaire abaissée du point m sur cette face. Si l’on fait la même chose d’un autre point rti, pris aussi dans l’intéricqr du polyèdre , on obtiendra une somme semblable, qui sera pareillement égale Au solide du polyèdre. Donc si l’on retranche ces deux sommes l’une de l’autre, la dilfércnce sera zéro; donc le triple de cettà différence sera aussi zéro. Donc si dans l’intérieur d*'un polyèdre • on prend deux points quelconques m , m', la somme des produits de chacune des faces du polyèdre, par la perpendiculaire abaissée sur elle du premier va de ces points , moins Iq somme despro-

Uire , ce qpéme principe ett g&ncral pour un (ystcmç quelconque des forces. J’ei donné de ce principe une dcmontlralion compliite ,üdruu mon Cmi sur les micbi^es en général, impiinié eu 1781.

Si les droites FA, Fii , &c. ctoient dans ua mémo pUn , ou représentoiciit les projections sur un mêtne plan , d'un systéitio sic forces en équilibre autour d’un mobile F; on trouveroit, en comparant les autres càtés des triangles considérés ci-dessus :

FÂ.K^d-FBJ^ + FC.^-f&c. = O.

En prenant en* sens direct celles de ces quantités ou forces, FA , FB , FC, étc. qui tendent i taire tourner stens un sens autour du poiut F ou de l’axe qu’il représente , et en sens inverse , celles qui tendent à faire tourner en sens ^ntraire ; ce qui est le principe de la tSéorie des momens.

Je termine cette note, eiugbaervant que si un corps parlant d’qn point donné, se meut nniformément pendant le temps (,sur une iKresrtioii don née avec une vitesse v ; puis pendant le même temps t , avec une vhesse v' sur une autre direction , en partant du point où il étoit arrivé , ainsi de soite ; il arrivera après tous ces mouvemens partiels , an même point où ij serait arrivé , s’il s’étoit mu pendant le méiw: temps t, avec la seule vitesse résultante de toutes ces.vîte^s parlicnlièrer;c’est-i-dirq<^c cette résultante est leilérnier des edtés du polygone formé par ces autrlli vitesses. On sent par- là combien la ttiéorie des polygones, et la recherche delcurs propriétés, pettrent être Btiles en mécanique. ,

duits de nhacune de ces mêmes faces , par^la perpendiculaire

abaissée sur elle du second point m', sera séro^

Si l'ou conçoit maintenant que ce système jyimitif cljtnge en vertu d’un mouvement quelconque des points m, m', dent que les perpendiculaires resteront directes à l’égardijtf i^atèiiic primitif, tantque*oes points ne sortirai pMv J# l’intérieur du polyèdre j lâaisfcils en sortent, les perpendiculaires qiii viendront à toyiber sur lo revers des faces ou sur leurs côtés extéi’iears, auitmt passé par o, et seront' devenues inverses. Donc le principe que nous venons d’établir aura encore lien, en prenant négativement les valeurs des perpendiculaires qui tomberont sur le revers des faces. Ainsi cette proposition peut être regardée conmq générale ; quelle que soit la position des points au-dedans ou an-dehors du polygone.

Imaginons niainllnant qu’une des faces semeutjlkralléleniei^ à elle-même; tant que les deux points m, m' seront |lu mémo rôté de cette fac», le produit de cette même face, par chacune des perpendiculaires abaisséet de ces points sur elle, augmentera ou diminuera de la même quantité, soit qae cette face s’éloigne ou qu'elle se rapproché dô ces points : donc la diflFérence des produits ci-dêssu* tâtera encore la même. Si les points /«,/»',

• sont au contraire de dil^ens côtés à l’égard de cette faeif, le ]iroduit de cette inêinei ffUSr-par la perpendiculaire abaissée sur elle du point m, augmentera évidenu|^t autant que le produit de cette même face par la pci^^dicuiaire abaisaée sur elle du poût m' diminuera; ou réciproquement, le premier produit di^nuer^autant que l’hutre augmentera. Mais comme l’un de ctSi produits a lieu en sci^ inverse, puisqu’il répond à la^erpcnd^cul aire qui tombe sur le revers de la iùcc, il suit que sa valeur

* doit être prise négativement, ainsi que les augmentations ou diminutions qu’il prouve; tandis que l’autre produit, ainsi que Ips augmentations ou diminutioas qu’il éprouve, devront être ^s positivement : doi|p|^la différence de ces produits restera encore |a même, puisque si l’un augmente positivemen^d’une cerlain^ijhàntité, l’autre diminuera de la même quantité, mais

négativement; c’est-à-dire, que ces [yro.duit^i plutôt leurs valeurs de corrélation, augmentent ou diminuent toujours de la même quantité; donc la proposition continuera d’avoir lieu , quel que soit le mouvement de cette face; et comme on peut dire la même chose de toutes les autres faces, la même proposition aura lieu , quel que soit le mouvement che chacune des faces du polyèdre parallèlement à elle-même, et celui des points m , m' , soit au-dedans soit an-dehors du polyèdre. Cela posé . concevons que ces faces se meuvent ainsi parallèlement à‘#Hcsroème» jusqu’à ce qu’elles viennent toutes se croiser en un point donné K ; nous pourrons conclure que «si par un point donné K ,.1’on fait passer autant de polygones qu’il y a de faces dans nn polyèdre proposé , lesquels soient égaux et parallèles chacun à chacune de ces faces, et tourné dans le même sens qu’elle, et qu’on |»renne à v^nlooté dans l’espace deux autres points quelconques m, m\i la somme des produits do chacune de ces, faces par la perpendiculaire abaiasec sur eile du point m, eh'prenauP*' négativement, celles do ces perpendiculaires qni tombent sur le revers des faces, moins la somme des produits de meme nature relatifs au point m', sera égale à zéro.

Supposons maintenant qtie le point m aille coïncider avec le point K par où passent tous les polygones, les perpendiculaires abaissées de ce point sur les polygones qui s’y croisent seront égales chacune à zéro ; donc lu somme des produits, i^atils à ce point //t' sera égale à zéro; donc la somme des produits relatifs au point m qui lui est constamment égale, sera aussi zéro. C’q qu’il falloil démontrer.

5oi. La projection sur un plan quelconque de tout polygone fermé, étant elle-même un polygone fermé, tout ce que nous avons démontré pour un polygone fermé quelconque, est applicable à chacune de scs projections, .\insi , par exemple^, si l’on rapporte le système à troisplaus perpendiculalfcscntretiu.VT on pourra appliquer à chacun i(es polygones qui forment les trois projections du polygone proposé ce que nous avons dit de ^ ce polygone lui-même. ,

3o3. Définition. Soit un polygone quelconque ABCDÊF

(fîg. log), je dirai de chacun des angles comme B AF, par exemple, qu’il est opposé à la portion de polygone BCDEF ; de

même ABC est l’angle opposé k la portion de polygone CDEFA , ainsi des autres.

Si l’on mène les diagonales BF, AC, je dirai pareillement que

les wgles BâF, ABC, sont respectivement opposés aux diagonales BF, AC.

Oc même l’angle CAF sera dit opposé à la portion CDEF du

polygone, ainsi qu’à la diagonale CFj l’angle CAE sera dit opposé à la portion CDE du polygone, ainsi qu’à la diagonale

CE; l’angle CAD sera dit opposé au côté CO; ainsi dés antres. Si des points C, D, on mène à un antfe angle du polygone

comme F, les diagonales CF, DF, l’angle cf^D devra , par la définition précédente, être dit opposé au côté CD aussi bien que

l’angle CAD. Ainsi à chaque côté du polygone, il y a autant d’angles opposés qu’il y a de côtés dans ce polyogne moins deux. Par exemple, à chacun des côtés de l’hexagone, il y a quatre angles opposés ; il en est de même de chaque diagonale ou portion quelconque du polygone.

Si le polygone est inscrit ou susceptible d’être inscrit au cercle, il est clair que tous les angles opposés au même côté comme

CAD, CFD, sont égaux entre eux; ainsi, par l’angle opposé • au côté CD , on peut entcndi;c l’un quelconque des angles appuyés sur CD et ayant son .soiàmet à l’un quelconque des angles B, A, F,E, ou en général à Tun queltonque des points de la por-

lion CBAFE de la circonférence. Donc nous pouvons poser en principe que : ,

Dans tant polygone inscrit ou susceptible d’être inscrit au cercle , tous les angles opposdS à l’un quelconque des côtés sont égotts entre eux, ♦

* . Maintenant

Maintenant nous pouvons établir la proposition suivante, qui est unb extension du principe de la porportionnalité dans tout triangle , des côtés avec les sinus des angles opposés.

■THB-OEÊMEXXXIV.

Dana tout polygone inscrit ou susceptible d’étre inscrit au cercle , les côtés sont enbre eux comme les sinus des angles qui leur sont respectivement opposés.

C’est à-dire, que nous aurons, par exemple,

CD : £F::sin.CAD : sin.ECF.

En effet, si l’on nomme R le rayon du cercle, on a (lai)

CD ÊF

sin.CAD = — — ,sin.ECF = ——.Donc aR’ aR

sin.CAD : sin.ECF CD : EF,

Ce qu’il falloit prouver. ^ '

3o4. Pour qu’un polygone soit susceptible d’étre inscrit dans un cercle ; il doit nécessairement exister une certaine relation entre scs angles. Far exemple, dans le quadrilatère, il faut pour qu’il puisse être inscrit au cercle, que les angles opposés deùxà deux soient supplémens l’un de l’autre. Il est évident que chaque polygone susceptible d’étre inscrit, doit avoir une propriété analogue à celle dont on vient de parler pour ce quadrilatère. Or c’est cette pi;opriété que je me propose de trouver.

Supposons d’abord que le nombre des côtés du polygone inscrit en question soit de six, et soit ABCDEF (fi g. 109) ce polygone. Je mène la diagonale BE. Dans le quadrilatère BAFE, les angles opposés deux à deux sont, d’après ce qui vient d’être dit, supplémens l’un de l’autre : donc leur somme vaut deux droits. Donc *

BAF+BÊF = EFA+EBA, ‘ par la même raison, le quadrilatère BCDE donne

BCD+BÊD = EDC+EBC

348 GEOMETRIE ' c.

Ajoutant ces deux équations, et observant que

a6e+EBC = A^C; BÊF+BED = FÊD ' on aura

baf+bcd+fêd = bfa+edf+abc.'

Cest A-dire qu’en désignant lesangfes pari'% af,5^ 4*, 5% 6% en pajiant de l*un quelconque d’entre eux , la somme de tous les angles do numéro impair sera égal à la somme de loua les angles du numab pair. . 4 •'

Or il est aise 4c ▼oii' que le même raisonnement peut s’appliquer à un oclugoQe, à un décagone, enfin à tout polygone inscrit d’on nombre pair de côtés. Donc en général ,

THÉOnÔME.X V.

Dans tout polygone inscrit ou susceptible d’étre inscrit de , et d’un nombre prdtdes côtés, l’on dietingue les angles par i", a', 3', &c. la sommé de totf^Us angles de numéros pairs est toujours égale à ta somme de tous les^angles de numéros inmmt.

Lorsque le nombre des côtés est impair, on peut rcganlrle sumpict de l’un quelconque des angles compie une corde infiniment petite, et considérer alors le pulyg|g|5 comi^ étant d'un nombre pair de côtés, p^rmi lesqueh^cattc corde infiniment petite compte ponr un , et l’on pot^aft aititi lui appliquer Ityrêgle pi'écédenle. Soit, par exemplflt', ABCDE (fig. i lo) un pentagone inscrit, menons par l’un quelcoïi^ue des angles comiQe D, une

tangento wDrt dont le point D pourra être considéré comme

Une coiifé'infiniinent petite Formant le sixième côté clû ■polygone.

En appliquant à ce polygone la règle précédente, noos aurons ,

A-pCd-EDm — B-l-E-t-C6rt.

Maintenant soit mené le rayon KD, et nomg|Ma *^ngle

dr^H; noi^f aurons ED/re = -»-+-EDK , ••4HdK ;

jKübsfi tuant ces valeurs dansl’équati^i^rccédente, et réfiuisant,

*n*ura, ÿ+G-t-EDK J. B+E4-5&. " ^

Donc en regardant les segmens CÔÎC, ED K, de l'angle D,

comme étant eux-mêrf»*s angles du polygone, et désignantcomme ci-devanl les six angles, y'compris ces doux-là, et non l’an|^ D par iV, 2", 3', 4', 5', 6' ; la so|iiiic des angles de numéro pair sera égale à la' somme des angles de numéros impairs; et comme on peut appliquer le même rfiisonnement à toui les polygones inscrits d’un nombre impair de à^tes, nous poaVunsfjondure en général que,

Dans tout polygone- inscrit d’un nombre impair de cotes , si l’on divise l’un quelconque des angles en deux segmçns par uh • rayon , et que regardanlves ^ux segrnens cogime deux des angles consécul^ du polygone mi compoeent par conséquent avec les autres un nombre pair d*mgles , on distingue tous ces angles ^cr i"', u',.')'', &c. à partir de l’un quelconque d’entre eux, la somme de tous les angles de numéros pairs sera égale à la somme de tous les angles de numéros impain-.

* T 11 là o n É -E^X X T I.

3 o5. Trfft^rcdtférenco^t^t tracées dans un même plan , je les distingue par suppose que les deux pre-

mières se coupent aux deism^points a , a', que la première coupe la troisième aux points b , b', ’et qu‘enjin la seconde coupe la

troisième aux points c, d, je dis que les'ttois droites, aa', bb', c(^ se coupetdrH toutes trois au'méme point. '■

En eilét, supnôsons (fig. 1 1 1 ) quÿ a soit la circonférence désignée pouiPpreniière ; aBc , «elle "qui est déaignée pour seconde, et ACc, celle qui est désigné» pour troisième. Considérons chacuu de ces cercles comme la coupc d’une spl)^>ro

ayant son pentre dans le plan proposé. Il est clair que aà représentera sur ce plan riulersection commtine de la première et de

la seconde surface sphériques; bb', celle de la première et déjà

troisième; ce', celle de la seconde et de latroisièii e. Donc le point qui- représente l’intersection commune des trois surfaeps s]iliéviques est en même temps dans chacune de v-es trois droites.

Donc ces trois droites sc ^oupeiit néceasaireiucnt toates en nn

même point. Ce qu’il falloit prouver.

On peut démontrer celte proposition d’une manière plus directe sans recourir aux sphères : mais celle-ci m’a paru si simple, que je l’ai préférée. .

Donc (6g. lia) si deux circonférences AFBG, ACBD, tracées dans un même plan se coupent aux points A , B , et qu’ayant

mené la droite AB, on mène par un point K pris à volonté sur

cette droite deux cordes ï’G, CO , l’une à la circonférence AFBG , Vautre à la circonférence ACBD , les quatre extrémités F, G, C , D, de ces deux cordes , se trouveront nécessairement tous dans une même circonférence.

TBÉOHJÊ&1E XXXVII.

3o6. Dans tout polygone plan ou gauche ABGDE (fig. i5i), si d’un point quelconque K pris dans l’espace , on mène à tous

ses angles des droites ou rayons K A, KB , KC, &c., on aura

ÂB . ÂÏC.cos.BAK-fBC. BK.cos.CBK+CD .CK.cos.DCK + &c. =ÂB . BK.cos. ABK-f BC . CK.COS.BCK+ CD . DK.cos.CDK-f &c.

En effet , par les propriétés connues , chacun- des triangles •ABK, BCK, CDK , &c. donne deux équations , comme il suit,

Âk‘= Âb‘ + Bk‘— 2AB.BK.c0s.ABK — Blv = — AB — AK’+ 2 AB. AK. cos. bar BK‘= Bc‘ + CK‘— a BC. CK. cos. BCK

— CK‘ = — BC‘ — BÎC‘ + a BC . BK. cos. CBK &c. , &c. , Sic,

Ajoutant ensemble toutes ces équations , et réduisant , on aura la formule qu’il falloit démontrer. *

• A chacun des deux membres de celle équation , ajoutons le second : la formule se réduira à

AB (Âic. cos. BAK + BÎC . cos. ABK )

’+ BC (ËkT cos. CBK + Cic . cos. BCK ) + &c. =3AB.AK.cos.BAK+aBC.BK.cos.CBK+aCD.CK.cos.DCK+&c.

les termes dh premier membre se induisent à AB , BC , CD , &c. (a.’îi^ïfDonc la formule se r^uit à âbV BC*+ cd’ +

= aAB.AR.coS. BAK+aBC.BK.cos.C^K + &c.

Si le nombre des côtés devient infini , le polygone fÉra nne courbe, dont AB, BC, &c. seront les élémens, AK , BK, &c. les rayons vecteurs, et BAK, CBK, &c. les angles formes aux ^ points A, B, &c. par les tangentes et les rayons vecWhrs. Ainsi t09ÿ les termes du premier membre s’évanouissent comme infinii^nt petits du second ordre; ce qui conduit à des conséquences très-intcr<^antes sur les courb«« fcrméro , s^i^lancs , soit à double courbure. Mais ces recberefa^s sont étran^res à l’objet dont je- m’occupe en ce moment.

^ Rapportons ce système à deux axes perpendiculaires entre eux, lorsqu’il est tout'Cntier dans un môme plan, et en général, à trois axes perpendiculaires entre eux, lorsqu’il est quelconque. Pour cela, concevons que de chacun des angles A, B, C, &C. et du point K on abaisse des perpendiculaires sur chacun de ces trois axes, désignons par a , b , c , d . .K,lcs points où l’un quelconque de ces axes sera rencontré par ces perpendiculaires abaissées sur lui ; par a'j b', c' . . .K', ceux où l’un quelconque des deux autres sera rencontré par les perpendiculaires abaissées sur lui, et enfin par p*, b', c". .«wK", ceux où le troisième axe sera rencontré par les perpendiculaires abaissées sur lui. Cela posé, nous aurons, comme on sait :

. ÂB.ÂK.cos.BAK = 00.^1+^.^+^'’.^

^ ^ — ÂB.BK.cos. ABK = — W—

BC’-BK'.cos.CBK = bc.bk + Fd .b'k' + b^'.ÿp — &c. &a

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35o GEOMETRIE

Ajoutant toutes ces équations, et observanique par la proposi^ tion précédente le premier membre de l’équation générale se réduit à o, on aura

Formule très-remarquable, qui appartient à tout polj'gone plan ou gauche, quel que soit le nombre des côtés, et qui donne un ntoyeii facile de mettre ce polygone en équation pour être traité suivant, les procédés de la géométrie analytique. Au surplus , cette proposition n’est qu’une conséquence partidblière d’un principe beaucoup plus général, que je me propose de développer ailleurs, et dont je donnerai seulement ici l’énoncé comme il süit.

Concevons dans V espace un système quelconque de points que je désigne par i*^ a', 5®, &c. et qui changent dépositions respectives en verht'd’une traasfirmaiion opérée par degrés insensiibles ,■ de manière cepené/iiÊÊgud^le premier demeure toujours à la même distance du secaêj^^^jucond du troisième , le troisième du quatrième. ...le derrdÜ^i-éu premier ; et faisons sur un plan quelconque les projeetiomsi de toutes ces distances ou du système général.

Cela posé, je dis : qü’au bout d'un temps infiniment court la somme de ces projections multipliées chacune par la somme des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de sa nouvelle direction , sur sa direction première, sera égale à zéro ; en prenanlrsupositif celles de ces perpendiculaires qui tombent sur les faces intérieures des côtés du polygone formé par ces projections, et prolongées au besoin ; et au négatif, celles qui tombent sur le revers de ces mêmes cêlés^,

a b {ah — ~bk) a'b'{a'k' — i'it') d

Yc {pk—Ti) + ÔV {b'k'—c'k) 4- &c. "Cij

DEPOSITION. 5Ri