SECTION V

Application de la théorie précédente à diveries questions de géométrie élémentaire.

On peut procéder à la solation d’une qaestioB proposée^ de (jiverses uianiërcs. Je les réduis à quatre ; la méthode synthétique, la méthode trigonométrique, la géométrie analytique , et la méthode mixte.

i“. La méthode synthétique ou graphique consiste à résoudre les questions proposées sans le secours de l’analyse, en cherchant par les propriétés connues des figures qui se pjésentent, la construction la plus pvopre à satisfaire aux conditions pro<^ posées. Les résultats de cette méthode ne peuvent avoirla préci* sion du calcul numérique à cause de l’imperfection des instruincns qu’on est obligé d’employer; mais dans la pratique drs arts, de' ceux sur-tout qui tiennent à l’architecture, c’est ta plus utile, parce quelle est ordiiiàirement^a plus expéditive. Elle a ^ d’ailleurs l’avantage de n’offrir aux yeux et à l’imagination que des tableaux réels, et elle est très-propre à exercer d’iine manière agréable la sagacité des Géomètres qui s’en occupent, auxquels elle fournit souvent des solutions plus courtes et plus élé- • gantes que toutes cellcsqu’onpeutobtenir par le secours del’analyse. On a donné à cette méthode graphique le nom de géométrie descriptive , lorsque les diverses j>ai^ties des figures con.>!idérées se trouvent dans des plans différetliS, et on l’a réduite en principes généraux, au moyen ’àes projections (ailes sur trois plans perpendiculaires entre eux. C’est à Monge principaleinent, qu’on doit les nouveaux progrès de cette importante doctrine, connue auparavant sous le nom de stérdotdtnie.

a®. La méthode trigonométHque. Elle consiste à former une chaîne non interrompue de triangles entre les données et le»

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inconnues de la figure proposée, et à passer de l’une à l’autre par les formules algébriques de la trigonométrie.

Ou sait qu’il faut distinguer la trigonométrie analytique de la trigonométrie numérique, et que leurs procédés ne sont pas toujours les memes. Car si l’onproposoit, par exemple, de trouver chacun des angles d’un triangle dont les trois côtés seroient donnés : en nommant A, B, C, ces trois angles; a, b, c, les côtés respecliTemcnt opposés; la formule analytique la plus simple

A* -Pc* — O*

^pour obtenir l’angle A, par exemple, seroit, cos. A = — — .

Mais s'il étoit question d’obtenir la valeur numérique, il seroit plus simple, principalement pour faciliter l’emploi des logarithmes, de ramener le problème au calcul des triangles rectangles, par cette propriété connue, que, dans tout triangle, chacun des côtés est à la somme des deux auties , comme la différence de CCS deux autres côtés , est à la différence des segmens formés sur le premier, par la perpendiculaire abaissée sur lui de l’angle opposé.

De même, dans la trigonométrie spliériqne, on a des formules algébriques très- élégantes, pour exprimer le.s rapports de k tontes les parties d’un triangle; mais ra|)}>licatiun de ces formules au calcul numérique, n’est pas toujours aussi commode que les méthodes qui ont été trouvées pour chaque cas particulier,

Ainsi la trigonométrie numérique, ou proprement dite, est plus avantageuse, lorsqu’il s’agit du calcul de tel ou tel triangle dont les données sont évaluées en nombres, et la trigonométrie algébrique est plus propre à faire découvrir les propriétés générales des figures.

3°. La méthode analytique consiste n traiter les questions proposées par les seuls moyens que fournit l’analyse, en ne tirant de la géométrie que ce qui est absolument indispensable pour l’expression des conditions de chaque problème.

Pour cela, on a imaginé (le rapporter par des abscisses' et des ordonnées, non-seulement les courbes, mais encore toutes les ^gures formées pur un assemblage de lignes droites et de plans,

DE POSITION, à deux axes communément perpendiculaires entre eux , lorsque la figure est toute entière dans un même plan , ou à trois plans perpendiculaires entre eux, lorsque la figure est quelconque dans l’espace. On a donné à ce procédé le nom de géométrie analytique proprement dite j ce qui la distingue particulièrement, est qu’en ramenant tout à des abscisses cl des ordonnées , qui sont des quantités linéaires, les angles de la figure ne peuvent être admis immédiatement dans le calcul, mais seulement par l’intermédiaire des sinus, co.>iiius, &c.

Cette géométrie, admirable par la.simplicité et l’uniformité de scs principes, me paroit cependant, pour la raison qui vient d’être dite, nioins avantageuse en bien des circonstances que la trigonométrie, qui opère au besoin directement sur les angles. Car si dans une ligure plane, parexcmplc, composée d’un nombre n de lignes droites, l’on connoissoit n — i angles indépendans les uns des autres, et qu’on demandtàt les angles inconnus; on les trouveroit tous par de simples additions et soustractions , en vertu de la seule propriété des triangles, que la somme de leun angles vaut deux droits) tandis qu’en chercliant ces mêmes angles par l’intermédiaire des abscisses et des ordonnées, on « seroit souvent conduit à des calculs très-compliqués.

4“. La méthode mi.xte consiste à employer simultanément les ressources de la géométrie graphique, de la trigonométrie et delà géométrie analytique, pour arriver plus facilement au résultat qu’elle veut obtenir. Si celte méthode n'a pas l’avantage d’une certaine uniformité dans ses procédés , elle a plus de moyens pour profiter des diverses propriétés déjà connues des figures, et des simplifications accidentelles, qu’oQ're dans chaque cas particulier la nature de la question. Aussi fbnrnit-cllè des solutions très- élégantes : comme elle ne reprend pas les choses de si haut que les méthodes purement analytiques, puisqu’elle profile de ce qui est déjà fuit, c’est-à-dire, des propriétés déjà connues, elle est souvent plus expéditive qu’aucune autre, et jusqu’à présent elle a été la plus usitée. Les ouvrages de Newton , ^ l’Hôpital, Bossut, &c. en fournissent un grand nombre d’exem-

p]es ; c’est aussi celle que je suivrai ici , coiiiuic ]a plus propre à remplir l’objet spécial que je me propose , qui est de faiie conoîlre sur des cas particuliers l’application dont sont susceptibles les propriétés qui ont été trouvées dans les sections précédentes , ainsique la théorie qui y a été développée sur la corrélation des figures ou mutation des signes. Plusieurs des exemples que je donnerai, sont tirés d’ouvrages connus, mais résolus à ma manière ; j’en donnerai aussi beaucoup d’autres qui, je crois , n’onl point encore été traités. Mon projet , au surplus , n’est point d’écrire un ouvrage suivi, sur l’application de l’Algèbre à la Géométrie..

5o8. Avant tout, et quelque méthode qu’on applique à chaque cas particulier, il est essentiel de se bien pénétrer du véritable objet qu’on doit se proposer quand on entreprend la solution d’un problème; cet objet est toujours, comme nous l’avons déjà dit plusieurs fois, de décomposer la difficulté., en ramenant la question proposée, à une autre question, ou à une série d’autres questions qu’on sache déjà résoudre.

Ainsi les élémens de géométrie, enseignant à mener une perpendiculaire ou une parallèle d’un point donné à une droite » donnée; à inscrire ou circonscrire un cercle à un triangle donné, * à couper une droite donnée en raison donnée ou en moyenne cl extrême raison, &c. la méthode appelée graphique, consiste à ramener sans calcul la question proposée quelle qu’elle soit, à quelques-uns des problèmes précédqns, ou à une série de problèmes partiels, tous compris parmi ccu.x dont on vient de parler.

De même la méthode trigonométrique consiste à ramener le problème proposé à celui-ci ; des six choses qui entrent dans la composition d’un triangle, trois quelconques étant données qui ne soient pas les trois angles, trouver le reste: ou à une série de problèmes semblables.

Pareillement dans la géométrie analytique, on a commencé par trouver la solution de quelques problèmes fondamentaux auxquels il s’agit toujours de ramener celui que l’on propose :ccs problèmes élémentaires ou fondamentaux sont ceux-qj. Les coor-

DE P O S I T 1 O N. ôj:>

tlonnées de deux points quelconques rapportés à deux droites tracées dans uii plan ou à irais plans perpendiculaires entre eux étant données , trouver la distance comprise entre ces deux points. Les mêmes choses étant données, trouver l’angle que fait avec chacun des axes ou plans donnés la droite qui passe par les deux points proposes. I/cs mêmes rhoscs étant données encore , et de plus, la distance d’un des autres points de la droite en question à l’un des axes , trouver la distance de ce même point à l’autre axe. Connoissant les coordonnées de trois points quelconques à l’égard de ces axes ou des trois plans, trouver les angles que font entre elles deux à deux les droites qui joignent ces points respectivement, &c. Ainsi l’objet de la géométrie analytique est de ramener les nouvelles questions qu’on peut proposer, à ces premières, dont la solution est connue.

Il est clair que plus on sait résoudre de ces problèmes élémcntaires,plus il est facile d’en trouver parmi eux auxquels ou puisse rappeler les pouveaux qui peuvent être proposés. Ainsi, par exemple, lorsque la tétragononiétrie ou résolution du quadrilatère sera devenue aussi familière que l’est actuellement la trigonométrie, On aura une grande facilité à résoudre beaucoup de . problèmes, diOiciles dans l’état actuel des choses. Car il faut actuellement ramener la question proposée à celle-ci, des six clioscs qui entrent dans la conjposilion d’un triangle, trois étant données qui ne soient p.isles trois angles, trou ver les trois autres; tandis qu’alors il sufliroit de ramener la question proposée à celle-ci , des trente- trois choses qni sont à considérer dans un quadrilatère avec ses diagonale.^; cinq quelconques indépen- ^ danlcs les unes des autres étant données, trouver les vingt-huit autres. Or comme ce problème renferme la trigonométrie, et une infinité d’autres questions que la trigonométrie ii’attcint que d’une manière éloignée et implicite, il suit qu’on pourroit ramener de suite à ce problème principal une multitude d’autres problèmes qui ne peuvent être actnellement traités que difficilement parla trigonométrie. C’est ce qui avoit déterminé plusieurs grands géomètres, ainsi que je l’ai déjà observé, à exécu-

1er celle lliéoric du quadrilatère , cl uénie celle des polygones en général. Mais comme les formules nécessaires deviennenl presque innombrables des que le nombre des côtés passe quatre, je me suis proposé ici d’y suppléer par la formation des tableaux de toutes les parties du polygone, tels que ceux qui ont été formés dans la troisième section pour le triangle; car un pareil tableau fournit , sinon immédiatement toutes les formules possibles, nu moins tout ce qui est necessaire pour en déduire, par de simples transformations algébriques, celles de ces formules dont on peut avoir besoin dans cliaque cas particulier.

On peut étendre celte méthode des tableaux, aux polygones gauches, aux polygones sphériques, et même aux polyèdres d’un nombre quelconque d’angles solides. On trouvera dans celle section la solution, ou plutôt l’apperçu de la solution des problèmes nécessaires pour remplir cet objet qui d’après les explications données ci-dessus, donneroit le moyen de ramener à des problèmes tous résolus en forme de tableaux , tous ceux qu’il est possible d’atteindre par l’analyse Unie.