PROBLÈME XXVI

3og. Vn triangle ABC rectangle en A (fig. 1 15) étant donné,

mener entre ses petits côtés AU, AC, une droite l'G de grandeur donnée, et qui soit divisée en deux parties égales au point in par l’hypothénuse.

Je prends pour inconnue la droite A/n, que je nomme x , et je suppose la droite donnée FG = b.

Décrivons du point m comme centre une circonférence, qui

ait pour rayon ///F, puisque par hypothèse ///F = ///G, celle circonférence passera par le point G; et puisque l’angle FAG

c.st dioit , elle passera aussi par le point A, donc km=mV=\b , ou a: = 7^5 ce qu’il falloil trouver.

Si l’on proposoit cette autre question , le triangle rectangle ABC étant donné , mener entre ses petits côtés prolongés , une

droite , FG' de grandeur donnée , et qui soit divisée en deux parties égales au point ni' par l'hypothénuse prolongée. On

trouveroit par le môme raisonnement que ci-dessus c’est-à-dire que le point rn seroit le second point d’intersection de riiypothénusc BC prolongée , avec la circonférence décrite du centre A et du rayon '-b.

Donc les points^ m , m, résolvent cette question générale, qui renferme les deux problèmes partiels ci-dessus.- f/n triangle ABC rectangle en A étant donné , mener entre les directions de ses petits côtés une droite de grandeur donnée , et qui soit divisée en deux parties égales par la direction de l’hypothénuse.

Celle question générale ayant deux solutions , doit naturellement mener à une équation du second degré. Mais par le choix

que nous avons fait de Am pour inconnue, elle se réduit à une

du premier, parce que cette inconnue A/n a la. même valeur dans les deux problèmes partiels. Il faut donc, autant que possible, prendre pour inconnues des quantités qui restent les mêmes dans toutes les solutions qu’on peut prévoir, ou dans le plus grand nombre possible d’entre elles.

Si l’on eût pris B/n, par exemple , pour l’inconnue , on n’auroit point eu cet avantage ; l’équation eût été du second degré,

les deux racines eussent été positives, et eussent donné B/n,

Mni.

Si l’on eût pris AF pour inconnue , l’équation eût été de même du second degré , l’une des racines eût été positive, l’autre négative : la première eût donné le point F, et l’autre portée dans le sens contraire, eût donné J^. 11 ne suit cependant p.is de - là que AF' soit une quantité négative; mais seulement de celles que j’ai nommées inverses.

Celte racine négative portée en sens contraire, ne peut être cotiiiclérce comme une seconde solution du problème partiel rfellfinenl mis en équation , c’est au contraire celle de l’autre problème partiel , qui n’a point été mis en équation , mais qui

eslcoiupiis avec le premier dans l’énoncé du problème général.

Car dans le problème partiel réellement mis en équation , le

point cherché m est placé sur l’hypothénusc même BC : or il n’y a que la racine positive qui réponde à cette hypothèse ; l’autre racine n’est donc que la simple indication du problème partiel qui lui est analogue , mais qui ne peut être confondu avec lui. Et il en est de même dans tous les cas : jamais racine négative portée dans quelque sens que ^e soit, ne peut répondre à la question, telle précisément qu’elle a été mise en équation, ni par conséquent en être considérée comme une seconde solution. Elle est à cet égard , comme les racines imaginaires ellesmêmes, ni les unes ni les autres ne répondent véritablement a la question mise en équation ; mais les unes et les autres indiquent d’autres questions analogues ou problèmes partiels, qu’on peut résoudre par leur moyen. Il n’y a de différence, qu’en ce que celle analogie entre les questions, est ordinairement plus difficile à saisir lorsque les racines sont imaginaires , que lorsqu’elles sont simplement négatives.

Il faut aussi remarquer que dans le problème qu’on vient d’examiner, ce n’est qu’accidentellement que les points F, doivent être pris en sens contraires l’un de l’autre à l’égard du point A ; car dans une multitude d’autres problèmes, c’est obliquement au.x racines positives, et quelquefois dans le même sens qu’elles, que doivent être prises les racines négatives ; en sorte qu’il n’y a point de règles fixes à cet égard , et que c’est la nature seule de la question qui détermine celte position dans chaque cas pai ticulier, ainsi que cela doit être, d’apres les principes que nous avons développés dans la première section.