PROBLÈME XXVII

3 1 0. Deux droites B'B'", CC, (fig. 1 14) se croisant sous un angle donné BKC, mener d’un point H donné dans le plan de cet angle , et placé sur la droite KH qui divise ce même angle en

deux parties égales ^ une droite UC de grandeur donnée, et qui soit comprise entre les deux autres B'B'", CC'.

Je prends pour inconnue l’angle KHB , et je suppose

l’inconnue KHB =

la droite donnée BC = a

la droite donnée KH = b

l’angle donné BKH ou 7 BKC = m

Le triangle BKH donne BH : KH :: sin.BKH : sin.HBK, ou BH : A :: sin./re : sin. (/»+*) ; donc BH =

8in.(*+OT)'

Par la même raison, le triangle CKH donne CH=-r-4— —

8in.(« — m)

Ajoutant ces deux équations, on aura à cause de BH+CHstio,

£sin.m bsxa.m

a = -, — — - — - + — -ou

8in.(4f+m) 8ui.(s; — m)

osin.(*4-/n) 8in.(* — m) = é> sin./n [sin.(x+m) + sin. (* — wi)J mais (ia3, formules a et 4) nous avons

sin.(* + m) + sin.(* — m) = asin.xcos./n, et sin.(* + i7i)sin.(* — 77») = sin.*’ — sin.77»*; donc l’équation précédente devient

a sin.x’ — a sin./7>* = a & sin.77» cos. m sin.ar, qui à cause de a sin. 77» cos. 77» = sin. a tt» devient

sin.x* sin. a m. sin. X = siii.tt»*: d’où l’on tire

sin. X = — sin. a 77» ± 4 a* sin. tt»* + ù* sin. a m',

3a aa

ce qu’il falloit trouver.

Si l’on suppose l’angle BKC droit ce qui est le cas ordinaire» ment examiné, on aura sin. a m = 1, sin.77»* = donc l’équation se réduira à sin. .r = —V a o* -h b',

. aa aa

d6o GEOMETRIE

Quoique l’cqualioti trouvée ne soit que du second degré, on peut en tirer les quatre solutions dont le problème est susceptible : car la figure étant symétrique des deux côtés de la droite

KH, les deux solutions K fi B, KÛB", quVlle donne pour un des côtés, sont applicables à l’autre, et donnent par conséquent deux

nouvelles solutions KllC", KHC'j de sorte queles quatre positions possibles de la droite BC, sont BC, B'C', B"C, B"C".

L’équation trouvée fournit aussi directement ces quatre solutions, puisque le sinus d’un angle étant le même que celui de son supplément, chacune des deux valeurs de sin. x, répond à deux angles supplémcus l’un de l’autre.

pnoBL:ÊMn xxviri,

3l 1. Une circonférence BDC et deux tangentes AB, AÇ, menées à cette circonférence étant données, mener entre ces deux tangentes une troisième tangente EF égale à une droite donnée (fig. Il 5).

Prenons pour inconnues les scgincns DE, DF de la tangente

cherchée , et supposons

le segment inconnu DEouBE = x

le segment inconnu DF ou CF = y

la droite donnée EF = a

la droite connue AB ou AC = b

l’angle connu BAC = k

Nous aurons donc par la condition du problème, x+y == a.

De plus, par les propriétés des triangles, on a

EF = AE -f-AF — aAE AF. cos. BAC, ou à cause de BE = DE, CF =DF;

O* = (ô -b *)’■!- (ô-l-y)*— 3(ô-b*) (ô+^)cos.^-,

ou à cause de x+y = a,

a' — -2 {b‘+ab) (i — cos. cos.*,

substituant

jffi POSITION.

(abalHua^tflans cette équation pou^^ u valc

" !kj.

X, on aura

(x' — ax) ^i+coa.*) + (6*+ai) (f— coa.A) = o, ou