P R O B L Ê M E XXIX
SlQi, Deux diamètres étant tracés à volonté dans un cercle donné (lig. i\è) et prolongés indéfiniment , mener à ce cercle une
tangente EF telle que les parties DE, DF, de ce^te tangente interceptées entre le point de contingence D , et chacun de ces
diamètres EE", FF", soient en raison donnée. ^
Soit A Ix; centre du cercle , et soit mene Je rayon AD au point
de contingence. Je prends pour inconnues les deux angles EAD, /\
FAD , et je suppose - .
l’angle clierché EAD = u
l’angle cherche FAD = z
l'angle donné E AF = s!... *• A
le rapport donné des deux segraens ED, DF = a
11 est clair que les segraens ED, DF y sont proportionnels aux
tangentes des angles EAD , FAD : donc on aura par la condition 1 i-is lang.w
un pi-oblcme = a, on tang.« = a tan g. z.
tang. z . ° »
De plus , on u évideuinient k = Donc
tang. u + tang. z
tang.* = ° , ou
1 — tang. u tang. z
tang.'* — tang.* tang.rx tang.z = tang. « + tang. *. Substituant dans cette équation la valeur de tang. u üiéo de la preraière , nous aurons
tang.^ — a tang.F tang. s* = (a+i) tang.z, ou
tang. z' + tang. z — = o ;
a tang. * a
d’où l’on tire
\ang.z = - ± +-.
I, ^ 2 a tang. * x^otang. */ a
Ce qu’il falloit trouver.
DEPOSITION. 56j
D’après la tliéocie des quaBÜlcs^jl^co-an'^ulaires, la racine
posiUve donne le point D aompris dans l’angle E AF conformément à l’hypothèse sur laqdUlc le raisonnement a étéét{^U, et la
racine négative 'donne le point IT ^ris dans l’angle supplj^en-
taire FAE'.
Mais il clair que si l’on mène le diamètre DD', et parTe ' point D' la tangente E“F', elle remplira la condition dn pro-
hlème aussi bren que EF a laquelle elle est parallèle et égale; cl par la même raison, si par le point S' on mène le diamètre
D D ", et que par le point D" 04 mène la tangente elle
remplira encore la condition du pr^|déinc aussi bien que E F'. Ces quatre solutions sont toutes «piifcrmêcs dans l’équalion ^trouvée; puisque tang.r répond aux deux arcs z cl air + r (• exprimant Jongle droitl, et donne par conséquent les deux p«nts D, D"^Pm siPracino positive, et D", D", par sa racine négative. ^ ’
Mais le problème a encore quatre autres solutions non comprises dans l’équation, en effet, soit pris sur la cirçonfcrcnce dans
• l’angle BAC (6g. 117) un point d tel que menant par ce point une tangente qui coupe au.x points e,f, les diao^res donnés,
de soit à df dan^la raison donnée;^! cslclairqu’aa Jlerrac de l’énoncé du problème, le point d satisfait à la condition proposée, et qu’il doit se trouver un semblable point d'' à l’extrémité du diamètre mené par le point d. Mais ces sq^|^|iojQ^ ne sont point renferméf^j dans l’équation trouvée ci-àessos. Pour les obtenir, il faut établir le calcul sur la nouvelle hypothèse , c’est-à-dire , qu’on aura alors, non pas comme ci-devant k = «-|-z, raïqs k z= Z — U. Les deux équations seront donc tang. u a tang. z et 4 = Z — U. D’où tirant tang.z par le même procédé quB cidessus , on aura •
f.i \aa tang.C/ a
tang. Z =
■r ' a O tang.
Têi
Sfil GEOMETRIE
On peut réunir toutes solutions en ^p|e^imle et ml^ formule comme il suit,
»atii*g.>î7v
^3 a tang. >&/ o’
le si^R supérieur de i ayal^^^eu pour le premier cas examiné, f el4e signe inférieur pour leiecojtd.
#R O B Lfi™ iwarx X. ^ V
^Vlù. Deux circotj^nces MBiA, NCn. (fig. ii8) étant traeecs dans un même' plan ^ mener d’un point H pris à volonté sur l(^^^ne des centré yt^edroile BC entre les deux circonférences, g ta soit divisée afpixi^ H en raison donnée.
Prenons pour inconulK fiwoifb Cü, et supposons ^ ' l'inconnue CH = »,
le rjumort donné =r = .j . . . . a
