W Æ CH
le rlfon MB^ .... ,
trayon NC = .... " . . .
droite conime Mil = *,
la droite câttnnc NH a= T^.
Les deux triangles H, N CH ayant un angle égal en H,
oaiM^cvon.s aA'èir (ad5)
(^’ -KRH -^w)CÏÏ.^ = (nh’4I|B’— Nc’)BB.MHf"
+ — R*')injr = (n^jt* — r*) amx, ou
x\na‘ — a/n) ='amn‘-^|p^/i + nR* — amr'}
d’où l’on tire •> *
ou
j^^/o/n/i* — /n*/j + /jR* — amr* -J>'
na' — am
^e quj^&lloit trouufp.r- •Te SUtfariine
le dh^l^o Ügne ^ârce que la racine négatif e ést "
D ir P O SJ[ T I O N. «65
inaignifianle, à moins'qu’on ne veuille la regarder comme l’indication (l’ime au solution qu’on trouve en effet iNridemment, en f^tmt de l’aiftre côté de la droite MN sur la circonférence dofifle centre. cslN, un autre point C’ à la ^cme distance que le f i lOUlrt la figure est symétriqu«|ÿl^ rien ne prouve .
que cette seconde solution soit relalivéHÏ^^Bigne négatif, les
droites CH, CH , n’étant point prises en sens coi}|lnires l’une de l’autre.
PaOBLÊMEXXXI.
3 1 4. Par deux points pris à volonté sur une cixqpf^érence donnée , men^ deux 'cordes qui se coupent sous un an^ donné , «4 qui aoietd etSifv elles en raison donnée-
Soit AbDC (fig. 54) la circonférenccproposé^ A et B les deux ^ints pris^à volonté sur cette cir90iiféretiÆ||^^t desquel-s doivent oili^cnées les deux cord^’A^, BC, qui doivent former un angle don^||^ÊC et se trouver ,«i raison donnée.
Je mène les droites AB , AC , et je prènd^our inconnues les
deuÿ angles BÂD, CAD; cela pose , faisons
l’angie^fterclié BAD = » m
l’angle cherché n
l’angle donné AÊC — fS-.i i
la droite connue AB = . • t-w» • •
le rapporf9>nné de AD à BC ou .= =* . . ...... b
s BC ^ •
le raj'on donné du cercle = • • • j,* .t R
Par le problème xxi (178) nous avons (formule aj) ■ 4 i= aR.sin. (i + /») ; (A) , et en dhr^nt la a8* par la a5' formule , , sin. (*-*-« — m)
'BOUS avons O = : ; , ou . V • . i
* 8in.(m+») • 1-' ,
5s?h. (m-fn) = sin.(A-l-« — m); (B)- j
il s’agit donc de tirer m et n de oes deux équations. *
56« G E O M E T R ms
En développant la première, j’ai
® = 2R sin. ^ cos. 7j + aR sin.n c^Aj '
a — 2R sin. A cos.n = aR sin.n cmA; •
élevant au carré, j!«y,
O* — iaIlsin.Arcos.«#4R*sin.A*cos.n*=4R‘cos.A*-^-4R*coil*cosî»’
ou à cause de sin. A** + cos. A* = 1
4R*cos.n* — 4oRsin.^ cos.n + a* — 4R*cos.i*= oj d’où l’on tire
asin.^ cos.^
cos.n =
sin.n =3
a cos. k aR
3 R sin.
TrT
V^4R*— a*, et par conséquent ,
8in.m cos.
Voilà donc ‘déjà « trouvée; il reste à trouver m. Pour cela, je développe l’éÿiation (B) :jd||r me donne %
b sin.mcos. n + ùsin.ncos.' + n)cos. /^sin. m cos.fA + n),
ou •
sin.TO (ù cos.n+cofc(ff») = coa.m (sin.(A+n)' — b sin.n) ; '
d’où l’on tire vif
. sin'.(i+n) — ù sin.n
, ou 4ng.OT î= - — i
O cos. n + cos. (x+n) . .
Wais l’équation (A) donne sin. (A + n) = —jr, et par conséquent ' ^ aR
CO8. (A+n) = — 1/4 R* — a*; substituant ces valeurs de
sin. (A+n) et cos^(A+n) dan^ la valeur trouvée ci-dessus pour
, tang. m, nous aurons , tang. ^ ^ *•
aùR cos./ï+V" 4R*= a'
Or noos avons trouvé ci-dessus les valeurs de sin. n cl de cos. n ,• dbnc tai^. m est cotmue. Ce qu’il falloit trouver.
D B P O fi I T I O N. 3«7
^ raOBLJ^HE X I I.
3 1 5. D'un point £ pria à volonté dans U plpn d’un cercla
donné, tracer deux coYdea orthogonales AD, UC, qui soient ^ entre elles en raison donnée.
Soit L le ceotre du cercle proposé, et meuons la droite LE au poiul donné E. Je prends pour inconnues les deux cordes^er- •
chées AD,' BC,%t je suppose ’SST*!
nneonnÎM^D ♦
l’inconmtc BC= j f*
le rappctfl donné dexàj',ou-= a #
le rnysn donné dÛBcrcle = r
la (^îltc connue LE = h ^ ' #
Nous aurons donc, par la Audition du pioblèrae, x -^ây. De " plus, on a 4r’+^*= 8r* — 4 ô*. Substituant dans celle équation la valeur de x tirée de la pMinià|^, qn aura^*(i+o*) = 8r*— 4i’,
^ I y&r' — ii* I 4é*
> et par conséquent X = a ^ ^ ^ »
J’ai supprimé le double signe devant le radical, parce que la •
• seconde solution est évidennnent iusigniCaute. Cependant il^cst ^
aisé de voir que le problème a réellement deux solutions ctcc- ■%
tivcs^fig. rao)^a première exprimée par AD, BC, la seconde par A'D', B'C', qui forment deux figures absolument semblables.
On Voit donc, comme noBi l’avon^Kéjà plusiénrs fois observé, que l’analyse donne tantôt des rncrabs Surabondantes et inutiles , quijie sont que de simples furn^s'algôbrlqoes ^ tantôt quel- ^ ^
ques-unesj aculcmeut|ie. celles qui'peuvoui salisiaii* à la quea-. tion projipée. ^
La corde AD étant connue, Iqjprobléme se induit à^pener * le point donné £ la corde connue AD dtt^ le cercle donné,
ce qui est facile : carei ^un point pris è Tolont^ sur la circonférence, on porte sur elle une autre corde ad — ÂD; qu’ensuite
, 'ilu centre L et du rayon LE on décrive un arc qui coupe ad au ■; point €{ il est clair qu’à cause de l’uiviforinité de courbure du
cercle, on aura ED = ed; ainsi ed étant trouvée par la construction précédente, on aura ED , qu’on portera de E qui est donné au point cherché D. *
LétOiênic solution s’applique évidemment an ca^où le point A doRdé E seroit pris hors de l’aire du cercle ; mais il est clair qu’ar lofS le problème devient impossible, lorsque 4^ devient plus grand que 8r% ou ér>r^/ï.
On Ironveroit également par la même propriété de^prdcs, la solution du problème, si du lieu du rapport des colvea. cherchées , .on connoissoit leur somme , ou lenMfiffcrencc , «S leur produit, ^c. *
FBonnâM B ^ X x i l i
Ol6> D*un point pridià potOmié au-dedana ou au-dAora ^ d’une iphère donnée , mener trois eordea perpendiculaires entre elles , et qui soient en raisons données.
Prenons pour inconnues les trois cordes cherchées, et sdpposons
l’une de ces cordes = . . ; ^
l’une des deux autres = Jt
la troisième * *
le rayon donné de la sph^'»=
la distance du cent;re au point donné où doivent se croiser les * trois cordes pLercBëcs a .... * ^
aJc rapport dt^tué a • . . > "i*. ••••*•• o
• k^rappoiHlonné ~ . c
Nous aisr^s donc, par liil^ondiüons du problème x = *
a ph
^ 131e JP O 6 i T. I O.N. 860
s= c s ; tU pins ( * 3'») * «i» a *'+y* + ••=*» a — 8^'. Substituant clans cette équation, pour x ,y ^ leurs-valeurs tirées des dcux.prewcrcs, on aura a'(i +o*+0 = lar*— 86*. Euuc
Ce qu’il falloit trouver.
Eai suppnmé le double signe devant le radical, pâÇbo que les valeurs riégàtives sont ici insigpilianlcs. Mais I9 problcnte a une iiiCiiité de solutions : car si.ay'ant trouvé Xjij^ar exemple, ou imagine par le point donaè,pù cjoivenl se croiser les trois perpendiculaires un diaml^tro, u est clair que toutes les cordes passant par le même prtifit dopné , et faisant le môme angle qne^x avec ce diamètre , seront égales et pourront être prises pour ■Àf^inconnue. On peut rendre le problème détermina, en prescrivant pour œndilion que x^doit n%tjqmvcr dans tel ou tel graad^rcle passant par le poinl^onn^ Alors le problème au^ sué^rntioiis^ puisquknr êiridemment substituer l’une a de toutes les manières possibles les trois inconnues x,y^ Z, .ce qui fait six combinaisons différentes. Ainsi l’cqjiation, quoique du sccomkdi^ seulement, ou plutôt du. premier, puisqu’elle n’a pointf^ second terme, n’en donne pas moins los six seslutions effectives dont le^ublènae est susceptible.
I«a solution précédente supplique évidemment an ças où lo point donné seroit pris hors du volume de la sphère ,’’jtaais alors la quantiA'xadiealc devient imaginaire, si l’on a ar*) ou
PR^OBtKME XXXIV.
Sl.y. Jyun point pris à volonté auMledans ou au-dchors d’une tphèref mener trois plans perpendiculaires entre eux , tels que les aires des trois cercles formant les intersections de ces jj^ans avec la sphère , soient en raisons données. ,
Prenons pour inconnues les rayons des trois /:erclcs chcr-
* OEOMETRIË * ché« , les aires de ces Ceccles seront comme les carrés de ces rayons. Bopposuns donc «
l’un de ces rajmns = - •. . x
l’un des deux autres =±a . . . y
le troisième = x
le rapport de l’aire du cefcle dont le rSiyon est » à celle du cer-
ck dom Je rayon est x ou — a
le rapport de l’aire du cercje dout le rayon est y à celle du
cercle dont le rayon est Z ou
le rayon de la sphère donnée =
ladialanoe da centre de la sphère au^oiat donné d’où doivent
partir les trois plans perpendiculaires æ Mi b
Nous aurons donc, parles conditions du problème «*= y;*=cz*; de plus (i35),-on a **+y* + z*= 3r‘— A*. Substituant dans cette équation les Taleurs de ar, y , tirées des deux premières, on aura a*{i+ a +r) = 5r*-“ è* J donc ", -,
i+o+c • i+od-Ci, . i + a+c
Ce qu’il falloit trouver.
On doit ici faire les mémes'observations sur les racines que dans le problème précédent
P a O B I. i M £ XXXV., '. -
3 18. ^Connaissant les angles d’un triangle ABC (fig. \ et les distances de chacun de ses côtés à un point donné D pris dans le même plan, trouver les trois côtés de ce triangle.
Désignons par A, fi, C, les trois angles <loni||a’du triangle; par O, é, c, les côtés respectivement opposés ; et par a , b', c les ^ perpendiculaires données abaissées du point D aw ces côtés l espeuivement. ^
Qu point ^uné D , )e mène des nfetes aux angles A , 13, C ;
il est évident ql^ l’aire da triongle prrfposé^J3C est la sonntic deMÎroa des deux triangles A BD, jffjiSi) > rtnnns Faire du triangle BCD; c’est-à-dire, qu’on a
, ^ — = vi- •
ABC = ABD 4- ÆD —
MaisA^C = iÂB.ÂC.sIn. BA^= ;3c sin.-A
[ABD sî=- 1 ÂB. c' = { cc\ ACD = X bb\ = {aa. Dpne l’équation ci-deasus devient^fi •
bc sin.A = o o*
Or, par la proportionnalité des sinu3 àvec les côtes, le triangle
ABC donne b ^ a — — r , c = a ‘^Substituant ces valeurs sin.A sin.A ‘ ,
dans l’équation précédente, et divisant par sin.B siri.C, on aura h sin. B+ e'sin. C - o'sin^^ ^
sin. B sin. C
sin.B-1- c’ sin. C — a’ sin. A
sin. A sin. C
• b' sin. B -H c' sin. Ç — a sin. A . ^
^ sin. A sin. B > . ■
Ce qu’il falloit trouver.
Si lefoint D étoit placé sur Faire nWme du triangle o' deviendrûit inverse , et par cotiséquent il faudroit ^ changer le signe dans le^ formules piécédentes.
Il est facile de résoudre ce problème sans calcul , en commençant par construire , comme nous l’avons indiqué (19^) > ^gure semblable à la figure cherchée.
Tl cslégalemenl facile d’étendre celte solation au cas ôAiùilicu d’un triangle, ce seroit un autre polygMe quelconque qui serok proposé.
