tang
ou
tang.7(û'+«)
= laiig. i Mang. j (o'+ «) ,
ou
. lanipi a' + ianjÇ- î « = ^'6- i * .-Lg-fo'tann^»
d’où l’on tire
lang. ;n
tang.7o'.lang.7«
' tang. 7 a' + lang. 7 u Or il est clair qoe chacun des cAtés du polygone doit nous donner une équation pareille à la p^jécédenle. Donc nous aurons ■' pour résoudre le problème, les é<^|atiuns suivante^ en nombre égal à celui des côtés du'’polygono , ou des points dounés B , C , D, E , en conimcA^nl par celle que nous venonj de trouver; savoir,
tang. 7 / î:
a-^r ir—r ; f , I
— tang. 7 O tang. 7 «
tang. 70'+ tang. 7 u
tang. 7 u =
tang. 7 ô' tang. 7*
tang. 7 Â' + lang. 7*
TiTr ~ Iri ''
tang. T sf = : f—, :
tang. 7 c +lang.;y
.l«ng.4</' + Ung.f*
— — — — tang.je tang. 7 t e + r ^ H- r
tang. 7* =
tang. je' + langTjt
Avec ces équations qui sont en même nombre que les inconnues , on obtiendra facilement celle que l’on •Voudra. Supposons, par exemple , qu’on veuille obtenir x , on prendra la troisième équation , qui donne x en valeurs de y. On subsli» tuera donc dans celle-ci, pour>', sa valeur en que donne la quatrième équation , et l’onraurà ainsi une équation entre x et s; on substituera dans cette nouvelle équation, pour s , sa valeur en tirée de la cinquiènae ci-dessus; ce qui donnera une équation entre a: et r , on substituera dans cellc-ci la valeur de t en M que donne la première ci-dessus, et l’on aura une équation en V et enfin dans celle-ci, on substituera la valeur de U en valeur de x que fournit la seconde ci-dessus, e^l’on aura une équation qui ne rcfifcrmcra plus d’autre inconnue que X. Il ne s’agira donc plus que de résoudre cette dernière^ équation pour avoir l’inconnue cherchée.
Quoique ce calcul parobse un peu long , la symétrie des formules le rend facile, et montr«ij|B suite qu’en quelque nom- ’ bre. que ^ soient les. points donnéaR,B ^ C, D , &c. l’équatioÉr finale ne peut jamais monter qu’au second degi'é. '
En effet, supposons , pour abréger, tanf«'7t = <',lang.;M=M'&c. les équations trouvées seront évidemment toutes de cette forme:
A-f-Bu'
, J- A'-fB V -
“ “ C'-fU V = ■
; 2 A"-!- BV c*-i-Dy , A"-hB'V ^ ~ C"-hD'V ..
Or en substituant dans la première de ces équations , pour u', sa valeur tirée de la seconde , il est elair que la nouvelle équa-
tion sera encore de cette même forme t'
A' + Bx' C’ + DW ■
Pareillement, ensubslituant dans celle- ci, pour;t', sa valeur tirée de la troisième , on aura encore une équation de cette même forme entre f' eiy, ainsi 4^ suite. De sorte qu’en poussant jusqu’à la dernière ^ on aura une équation ^e cette
même forme, où t sera seule iaconnue ; savoir, t' =
M+Nt'
P + Qt”
dans laquelle M et N seront des quantités connues, et qui par conséquent ne montera qu’au second degré, quel que soit le nombre des points donnés , et à CMsc de la symétrie des équations , la construction ne sera jamais'que la répétition successive d’opérations de même genre. Ce qui fait que ce problème 'qui paroit d’abord compliqué, finit par conduire à des constructions fort simples et £ort élégantes. Mais comme ces constructions sont connues , je ne m’étendrai pas davantage sur ce sujat, d’ailleurs fort curieux. '
• FROBLÙIIE XLVt.
53 1. De ces six choses, savoir les quatre côtés d’un qua-' drilatère et ses deux diagonales , cinq quelconques étant données , trouver la sixième.
Soit ABDC (fig. i3a ) le quadrilatère proposé; je désigne
parm, n,p, q, les quatre côtés AB, AC, BD, CD, et par
r, «,,les deux diagonales AD, BC. Il s’agit donc de trouver une équation entre ces six quantités m, n,p, q , r, s , de manière que cinq quelconques d’entre elles étant données , on puisse en tirer la sixième.
Soient *, y, z les trois angles BÔC, ADCjADB; noos aurons par conséquent xx=y+z. Donc
cos.x = cos.y cos. X — sin.ysin.z, ,
ou sin. y sin. z = coa.j cos. z — cos. x ,
et en élevant au carré ,
sin.y’.sin.e* = cos. y* cos. s*-|-cos. x* — aoos.x cos.y cos.x, ou
(l— COS.y*) (l — COS.X*) := C0S.>*C03.X* + C03.X* — 3C0S,XC0S.yC03.:,
oa 1 — cos.^* — MS. Z* + cos.y* cbs.
= cos. J'* cos.^’h- cojpy^ a cos. x cos.y cos. r, ou 1 + 2 cos. AT cos.y cos. r '^Pfcos. ** + cos. ^*+ cos. z* CA). Cela posé, les trois triangles BDO^j^DC, ADB, donnènt
cos. * —■ , cos. y = »
■apq %qr
p* + r*— OT*
spr
Substituant ces valeurs décos, x , cos.^, cos.z, dans l’équalion (A) ; et multipliant p^ 4^*yV pour .faire disparoUre le dénominateur, on aura.- . "
4p‘ÿ*r* + (p'-f-ÿ* — jf) Cÿ’-fr’— /»•) (p* + r*— m*)
= r’ (p‘-fy*— s’)*+p%*-l-r* — «•)•+ ÿ*(p* + r* — m*)* (B). Cette éqiiation doit résoudre la question proposée, puisqu’elle ne renferme plus que les six quantités m , n,p,q, r, s. Développons donc ces termes, en, exécutant les opérations fcdiquées. Nous aurons, en transposant et réduisant,
+ {m'n's' + m‘p'r* + n’q'r'-hp'q's')
■ /m‘ny-{^m'n'q'^m‘pY + m’q'r’ + m‘q's'+m'r's'\
\ + n'p'q' -f- rfp'r' -H n'p's' -f- n'r's' + p’r’s' + q'j*s' }
Ce qu’il falloit trouver. *
loi suivant laquelle les quantités comparées entrent dans cette formule , est picile à saisir 3 car 1°. Ibs six premiers tçrmes sont les carrés de ces six côtés , multipliés chacun par la quatrième puissance du côté opposé (en regardant les deux diagonales eomiue côtés opposés l’un à l’autre ; ce qui est vrai , si l’on considère les poLntsjdans l’ordre A, B, C,D ). a°. Les quatre termes suivans sont Ifif pcpduits des carrés des trois côtés de chacun des quatre ttiar\gles ABC, ABD, BCD, ACD, qui ont leurs sommets aux points A,B, C, D. 3°. Enfin , les douze derniers termes sont les produits des carrés des, côtés combinés troi.s à trois, de chacun des trois quadrilatères ABDG, ABCD, ACBD. La somme de ces douze derniers termes est donc égale n la somme des dix premiers , l’équation oyant en tout vingtdeux termes.
Dans celte fornnilc les six quantilés m , n , p , ç , r, ne se trouvent élevées cliacone qu’aux second cl quatrième degrés; le premier- et* te^^f^isième ne s’y IrouTcnt pas. D’où il suit, 1®. que ciii^Iji^lliAcon'qiics de ces quantités étant données, aura la -sii)J^jpar une équation du qualQimçJegré soluble à la nianic^ de celles du second ; a®, que cctié*formule ne contenant que des quantités élevées au carré , est applicable sans aucun cliangcmcnt de signes (46) à tous les systèmes corrélatifs possibles; c’est-à-dire, aux trois espèces de quatfrilatcrc5.dont nous avons parlé (lo.!) (fig. i5a, t55, i54).
La formule précédente est conforme à celles qu’ont trouvées Tx-xell et Euler, qui se sont l’un et l’autre occupés de cette question dans lei Mémoires de l’Académie de Pétersbourg.On peut y parvenir de jplii^urs manières, parlicdttérement par le tliéorèrpe^ (196) , sons faire intervenir les quantités linéo-angu- 1b ires dans le calcul : mais j’ai clioisi la démonalratiop qui m o paru la plus courte. Cette formule est susceplibl^iin grand nombre d’applications.
532. Proposons nous , par exent’^le, cette question que nous avons déjà traitée (5a8), les trois an^le» d’un triangle et les (listancwtde leurs trois somnuta éun quatrième point quelconque • pris dans Je même plan étant donnés , trouver les trois côtés de ce
ïriangle. **
Soit ABC le triangle chei^clté (fig. »35),^D le point donné, ABCD sera un quadrilatère daho lequel on connoîtra les trois côtés Xd, bd, CD, cl de plus, les rapports des trois auVés côtés entre eux, puisqu’ils composent un triangle dont les trois
angles sont connus.
Supposons donc AC=/i, BC=s, BD=p, CD = y
XÛ = r. La formule trouvée oi-dessus sera applicable à ce quadrilatère. De plus , on a .
’ — » . . sin.C
AB : BC : : sin.C : sin. A, ou m = s . — r ,
sin.A
sin. B *
cl pareillement n = s •
Sgo GEOMETRIE
Substitannt les valeurs de m, n, dans cette formule , elle ne renfermera plus d’inconnues que «. Il ne s’agira donc que de dégager cette inconnue; ce qui est facile, Téquation ,
quoique du quatrième degré, est soluble à la uta^iàw des équations du second..
353. Proposons-nous cette autre question. Connaissant les quatre côtés d’un quadrilatère et le produit des deux diagonales , trouver ces dsagonales.
Soit ABDC (fig. iSî) le quadrilatère proposé. Soient nt, n P, q, les quatre côtés donnés AB, AC, BD, CD, r, s, les deux
diagonales inconnues AD, BC, et h leur produit donné par hypothèse.
- Jb i‘
Nous aurons donc , rs = i, ou s = - , s* . Substituant
cette valeur de s‘ dans la formule trouvée, et multipliant tout par r*, notis aurons
f*{k‘+ m'p'+ n‘q' — m*q*—n’p*) -h i*{m'q* + q'mè -f n‘p*+p*n*-— m’n'p* — m'n'q' — m'p'’q* — /»*!* — n’p'q' — n'i’ —
(k*+m'n'k*+p’q‘k‘-^.in‘q‘k‘ — n'p'k’) = o.
Equation du quatrième degut^qni se résoud comm<^lles du
second, r étant coiihu, on aura s par l’équation s = -. Ce qu’il
‘it' ’’
falloit trouver. ^ ^ ~ .*
334. Proposons-nous encore cette autre question : trois circonférences étant tracées dans un même plan , trouver une quatrième circonférence qui soit tangente aux trois autres.
Soient A, B, C, (fig. i36) les centres des trois circonférences données j D celui de la circonférence cherchée. Nommons a,h,c les rayons des trois circonférences données, x celui de la circonférence cherchée; et enfin, m , n, p , q , r , s , \ea six droites AB,
AC, BD, CD, AD, BC : les trois quantités m, n, s , sont données par hypothèse , et quand on aura trouvé x , on aura lés trois autres p, y, r, par ces équations p = b-^-x, y = c+x,
r = a+x } H i^lerdonc h trourer^rj mais ABDC est un quacli ilatère : on donc lu) ((ppliquer la formule trouvée ci-
dessus (i3,i),’t^-à-dire, qu’il n’y aura qu’à substituer dans celle formulé,' au tîeurks Irois quantilés p, q, r, les Irois A + x, c+x, a+x,|^aIors celte formule ne renfermera plus d'autio inconnue que x, et se réduira au second degré. .
Je n’elfeclue pas ce calcul parce que ce problème a été résolu d’une manière plus simple par des géomètres de premier ordre, tels que Yictc, Newton, Euler, et que la seule synthèse en fournit plusieurs solutions très-élégantes. Mon objet a été seulement de faire voir que la formule trouvée ci-dessus est susceptible d’un grand nombre d’applications. Je me propose de l’étendre ci-après au calcul des polygones, soit plans, soit gauches, soit tracés sur la ^rface d’une sphère, ainsi qu’aux polyèdres d’ui» nombre quelconque de côtés.
probuAmb
554. Connaissant le» quatte côtés et les deux diagonales d’un quadrilatère, trouver les segniens de^ces diagonales , et ceux qui sont formés par le» côtés prolongés jusqu’ à leurs rencontres respectives (fig. 137).
Il suffit que cinq de ces six choses, les quatre cotés elles deux diagonales, soient données, pour 'que tout le reste soit déterminé : mais comme par le problème précédent on trouve la sixième, nous les regarderons ici comme données toutes six. Soient H le point d’intersection des deux diagonales, F celui
des côtés AB, CD, prolongés, et G celui des côtés AC, BD, oussi prolongés. Il s’agit donc de trouver, 1*. les quatre segmciis
Ail, B H, CH, DU, formés sur les diagonales j a”, les hnit
segmens AF , BF, CF, DF j AG, BO, CG, DG, formés sur les côtés prolongés.
Nommons x , y , les deux segmens B H, CH, de la diagonale BC; K, V, les deux segmens All, DH, de la diagonale AD ; et
Sja G E 0 M E T R I E
(le plus, comme dans le probWinepr<î<k3dent, A B ^ m, AC = /; ,
Bü=/j,Cl5 = y, ÂÏ5==r,BC—
Les triangles ABC, BDC, coupés respectivement parles transversales AH, DU, donneront (ipfi), u’s = fn'y^ti’x — sxy
Otant ces deux équations l’une de l’autre, et oLseryant que *^*^r/*= (t' + «) — u) = r(u — u), on aura ,i-
sr(t> — u)=y(p' — ffi,*) + a:(7’ — n'). Parla même raison, ona sriy — x)—u{q'— p‘) + v{n‘--m'}.
Mais v = r — «,^ = s — x-, substituant ces valeurs de i',y; dans les équations precedentes, et réduisant, elles deviendront s(ffi* + r* — P*) — 3sru = x{m* + q* — n' — p*)
^ ♦■(»»* + «’ — n’) — asrx = u (w* + y* — n‘ — p*) j
équations qui sont l’une et l’autre du premier degré.
Eliminant u entre <^s dteûx équations, nous aurons- P*) {fn'+q*—''h’-ip') — 2sr'(m‘ + s' — n')
(w' + y* — n' — p*)*— (as/-)* ’
les trois autres segmens^, *>, « , se trouveront de meme ; d’où l’on voit que les côtés et diagonales d’un quadrilatère quelconque étant dotuiés, cliacun des quatre segmens formés par ces diagonales s’obtient par une équation du prem^r dègré.
“ Il en est de même de chacun des liuit segmens formé? sur les côtés prolongés jusqu’à leurs communes intersections. On les obtient, soit pur un calcul semblable au précédent, soit en établissant la corrélation dos figures d’après ce qui a étédit (loi). Enfin ayant trouvé, comme on vient de voir, ceux des diagonales, on peut en déduire c^x des côtés comme il suj^
Le triangle ABH coupé par là transversale CF me4feî^ra(3 1 8)
AF DÎÎ.BC = BÊ.ÂD.CH.J)onc à cause do BPisi AF — ÂD, on aura . >
AF.DH.BC = AF.AO.CB-fAB.Aü.ClI,
et par conséquent
— ÂB.ÂD.CH
DH.BC— .ÂD.cTi’
formule dont le dernier membre ne contient plus que des quantités connues. Il en est de meme de chacun des sept autres segmens. Ce qu’il falloit trouver.
Cette formule n’est encore applicable qu’à la figui’o sur laquelle le raisonnement a été établi ; mais par le tableau général de corrélation formé (102) entre les quadrilatères de toutes les formes possibles , on voit que pour appliquçr cette formule aux figures 63 et 64 , il n’y a aucun changement à faire , puisque d’après C0 tableau, aucune des quantités m ,n,p, q,r , s , u , ou
AB, AC, CD, BD, AD, BC, AH qui entrent dans l’équation
précédente , ne devient inverse, excepté CD , qui n’entre dans la formule qu’au carré. Il est dono facile d’appliquer c^tto formule aux quadrilatères de figure quelconque,
rnOBLÉMB XLVIII.
