AB.DC
Ce qu’il Calloit trouver. *
FnOBLllME
53y. Résoudre le quadrilatère complet avec ses trois diagonales , dans tous les cas possiblés. -
On se rappellera que je nomme quadrilatère complet , l’assemblage de quatre droites tracées dans un même plan ; que ce quadrilatère com]det reuferme trois quadrilatères simples de trois formes difTérentesayantchacundcuxdiagonaleSj lesquelles six diagonales se réduisent à trois. Cela posé , les quatre droites proposées, et ces trois diagonales, font sept droites , qui indéfiniment prolongées , forment ce que j’appelle quadrilatère complet avec ses trois diagonales , et comprennent cinquante-une choses à considérer ; savoir, trente droites , et vingt-un angles. Mais de ces cinquante -une choses , cinq quelconques indépendantes les uu(;s des autres étant données , tout le reste est déteruiioé ; c’est-à-dire , qu’on peut trouver les quarante-six autres. Or c’est ce problème qiii est celui de la quadrigonométrie ou tétragonomdtrie , considérée dans sa plus grande généralité , qu’il faut résoudre,
Pour cela , noua procéderons , coiiinib noua l’avons fait (i46 et suiv.) , pour la trigonométrie; c’est-à-dire, qu’ayant pris à volonté pour termes de comparaison, cinq des cinquanlc-une choses qui sont à considérer dans le système, nous réduirons la question à former le tableau général des parties de ce système, toutes exprimées en valeurs deccscinq premières, prises pour termes de comparaison.
Cela posé , soit (fig. 84) AFDG le quadrilatère complet proposé avec ses trois diagonales AD, PG, BC, toutes ces droite» étant indéfiniment prolongées.
Prenons donc, par exemple , pour les cinq données ou ter^ mes de comparaison en valeur de.sqtieHes toutes les autres parties dn système doivent être exprimées , les cinq segmens
AF, FB, BII, ne, CG formés sur les (rois côtés du triangle ABC; on aura d’abord le sixième (5'form. 228).
Les six segmens ainsi connus, on trouvera les trois transversales AH, BG, CF, par la proposition énoncée (196). t Cela fait, on considérera le triangle ABH, par exemple, coupé par ’ la transversale CF , et l’on aura (i'" form. 228) AF.BC.DH = BF.HC.au. De plus, on a évidemment
AH = AD + DH. Donc A H étant trouvée par ce qui vient d'être dit, on aura en combinant les deux équations précédentes,
AU cl DH ; on trouvera de môme BD , DG, CD , F*’D.
Tonies ces lignes étant trouvées, on obtiendra AK et DK. par la proportion suivante, AK: DK;: AH : DH (4' form. 228), en la combinant avec l’équat’.on évidente AD = AK -j-DK, dans laquelle AD est connue par ce qui précède.
Ensuite on trouvera par la proposition énoncée (196) , les
droites FG, FK, GK.
Après quoi on aura I.F par celle proportion (4' form. 228) , LF : LG FÎC : GK , ou LF : LF -t-FG :: FK:GK, danslaqueUe
Ôy6
tout est connu par ce qui précède , excepté LF. On trouvera cvidcnMnent LG par la même propoftion.
Quant à LB, LC, on les aura par la proportion de même genre que la précédente, LB : LC::BH : Cii, combinée avec l’équation LC = LB4-BC.
Ainsi l’on aura déjà toutes les parties linéaires de la ügure proposée exprimées en valeurs des cinq prises pour termes de comparaison. 11 reste donc à trouver les angles.
Mais puisque la figure-est toute décomposée en triangles , et qu’on connoît maintenant les trois côtés de chacun d’eux, on aura les cosinus de tous les angles par ce seul principe connu , que dans tout triangle , le carré de chacun des côtés est é|pil à la somme descarrés des deux autres côtés, moins deux fois leproduit de ces mêmes côtés , multiplié par le cosinus de l’angle qu'ils
comprennent. Fur exemple , toutes les quantités linéaires étant
trouvées p-ir hypothèse, on aura l’angle BAH par cette équation BH = AB -f AH — uAB. AH.cos.BAH, dan.s laquelle il n’y a plus d'autre inconnue que cos. BAH. Ainsi des autres.
Voilà donc le tableau général fox’mé. de toutes les parties de la ügure proposée^ exprimées en valeurs do cinq , qui ont été jy-ises pour termes de comparaison ; et à l’aide de ce tableau, on résoudra le quadrilatère dans tons les cas possibles , comme nous l’avons vu ponr le triangle (160 et suiv.). Ce qu’il falloit trouver.
Il est à remarquer qu’on peut faire entrer, si l’on veut, dans le tableau général les aires des triangles, ou autres parties intégrantes de la figure proposée.
ïiC tableau général une fois formé pour la figure primitive ( £g. 184), prise pour terme de comparaison, 011 fera, d’après les principes développés dans la première section , le tableau général de corrélation de toutes les figures susceptibles d’être traitées par les mêmes formules , modifiées seulement par les signes.
DEPOSITION. 5q7
• . ' P n O B li'Ê M E E.
S38. Resoudn le problème général de ta polygonomèlrie ^ c* est-à-dire , résoudre dans tous les cas possibles un polygone quelconque tracé dans un plan , aoec toutes ses diagonales , et supposant que les côtés et ces diagonales soient tous indéfiniment prolongés, de manière qu’ayant parmi les choses qui sont à con- • sidérer dans la figure , un nombre de données sujfisant pour que tout le reste soit déterminé ] on puisse trouver toutes les autres.
Il csl clair, par ce qui a été dit ci-dessus, que la question SC réduit à former le tableau général des quantités qui entrent dans la composition du système proposé, toutes exprimées en valeurs de quelques-unes seulement d’entre ctles, prises en nombre suffisant pour que tout le reste soit déterminé; c’est-à-dire, en supposant n le nombre des cdtés de ce polygone , que toutes les quantités tAnt Linéaires qu’angulaires qui entrent dans sa composition , devront être exprimées en valeurs de an — 3 d’entre clics prises pour termes de compa-
raison.
Cela posé, soit ABCDEF (fig. i5g) , le polygone proposé.
Je prends pour terme de comparaison, l’un quelconque des
côtés conrme AB; et de plus, les distances CA, CB , DA , DB , &c. de tous les autres angles aux premiers A , B ; ce qui fera , eu effet, le nombre an — 3 de données ou termes de comparaison, comme cela doit être.
Maintenant , considérons successivement les quadrilatères ABCD , ABDE , ABEF , ABCE , &c. ayant pour base commune AB, et chacun un seul des côtés non compris parmi les termes de comparaison.
En appliquant à chacun de ces quadrilatères les formules du problème précedént, on trouvera tous les côtés, diagonales, Bcgmcns , et angles de ce quadrilatère. Ou fera la même chose pour tous, et l’on aurale tableau général cherché des parties delà ligure 2>roposéc, toutes exprimées eu valeurs des an — 3 qui
ont été prises pour termes de comparaison, tableau une fois formé , il répondra, en changeant à volonté Icàljynies de comparaison comme un l'u expliqué pour la trigoigfj^^ie (160 et suiv.), à toutes les questions qui pourront être '^fî^sées sur la résolution du polygone. Ce qu’il falloit trouver.
Le problème se simplille beaucoup , lorsque le polygone est considéré sans ses diagonales ; car alors il n’y a jamais que trois inconnues à trouver , et par conséquent , trois équations à former entre ces inconnues et les données. Or ces trois équations sont^ournics comme pour le triangle par cette proffriété , que clans tout polygone, chacun des côtés est égal à la somme de tous les autres , multipliés chacun par le cosinus de l’angle qu’il forme avec le premier. En conséquence, il n’y a qu’à prendre successivement pour bases trois quelconques des côtés du polygone prop^é , et appliquer à chacun d’euxHa proposition précédente. 11 eu résultera trois équations, dont la combinaison donnera les trois inconf?ï(|i» cherchées.
Quoiqu’on soit maître do prendre à volonté ces bases successives parmi tous les côtés du polygone , le choix que l’on peut faire de l’nn ou de l'autre da4||ftaque cas , peut simn|fiGer plus ou moins le calcu^Lorsque lotis les angles sont donnes hors un, ce calcul s’abrège naturellement puisque l’aPglc inconnu s’obtient d’abord par une simf^ addition ou soustraction j et qu’enè suite il n’y a pins à formei^ue deux de» trois équations dont nous avons parlé ci-dessus , pour obtenir les deux autres inconnues. Mais ces détails m’entraîneroient hors des bornes que je me suis prescrites; ils font l’objet spécial , quant au quadrilatère, des deux belles dissertations deLexell , insérées dans les Mémoires de l’Académie de^Mtersbourg dont j’ai déjà parlé. Et quant aux polygones en général , ils sont traités dans la polygonomélrie de Simon Lhuilier. L’un *et l’autre sont partis do principes un peu différens du mien : je me contenterai ici , , de faire voir sur un cas particulier , comment ou peut toujours en partant de ce dernier, former dans chaque cas particulier les trois équations nécessaires à la solution du problème.
Soit donc , par exemple , ABCDE (fig. i3g bis) nn pentagone
dans lequel tout est donné , excepté les deux côtés AB , BC , et ‘ /\
l’angle compris ABC.
J’ai d’abord cet angle ABC par cette propriété générale des polygones , que la somme des angles est égale à autant de fois deux angles droits qu’il y a de côtés, moins quntrMngles droits; c’est-à-dire , qu’en nommant « le quart de circonférence , on * aura A-pB-|-C-|-D-t-E = 6«-. D’où je tire de suite l’angle chcrclie B ^ 6*" *— ( A-t-C-p D 4* E *
13 étant connu , il ne nous reste plus que deux équations à former par la propriété énoncée ci-dessus entre les données et
les inconnues AB, BC ; nommons-lcs x et y , et prcnone-les successivement pour bases. J’aurai donc
* = AE.cos.AB A£-pED.cos..AB l^-pDC.cos^ÂlT DC-py.cos. AJ3 CJ3 y=x.cos.fiC BA-l-AE.cos.BC AJB+Eü.cos.BC ED-f-DC.cos. BC DG.
Mais i". on a AB AE = A. a". Si l’on prolonge AB et DE jusqu’à ce (qu’ils se rencontrent en m, on aura
Âb"eÔ= AmE = A-PE — a^.
3*. Pareillement, AB DC = 4» — (A-f E-t-D). 4". Enfin
AB CB = B. Donc la première des deux équation ci-dessus devient
X = AE.cos.A — ED.cos.(A+E)-l-DC.cos.(A-l-E + D)-l-y COS.13.
On verra par le même raisonnement, que la seconde devient
y = xcos.B — AE.cos.(B-t-A) + ED.cos.(B-p A-t-E)-f DC.cos.C.
De ces deux équationsalu premier degré , où tout est connu , excepté X et y , il sera facile de tirer chacune de ces inconnues : ce qu’il falloit trouver. On traitera de même tous les autres cas, en quelque nombre que soient les côtés du polygone plan, considéré sans scs diagonales ; et c’est à cette question particulière qu’on rcstrainl ordinairement ce que l'on nomme polygonor-
4ob GEOMETRIE
nictrie. Elle est envisagée dans le problème précédent sons nne acception plus générale : j’y considère le polygone avec toutes ses diagonales et ses côtés indé&niment prolongés , et j’y comprends tes polj'gones gauches , auxquels convient bien également le principe énoncé ci-dessus, mais poor lesquels il est iusuillsant.
FROBLâME LI,
3ô(), De ces six choses , savoir les trois angles formés à l'un des sommets d’une pyramide triangulaire , par les trois arêtes qui s’y réunissent prises deux à deux , et les trois angles formés de même à l’un quelconque des trois autres sommets par les arêtes qui s’y réunissent prises aussi deux à deux ; de ces six choses , dis-je , cinq quelconques étant données , trouver la sixième.
Soit DEÇA (fig. i4o) la pyramide triangulaire proposée. Je compare les sommets D , B , et je cherche le rapport qui doit
exister entre les trois angles BDC, ADC, ADB, formes au ■ommet D par les trois arêtes 1)B, DC, DA qui s’y réunissent prises deux à deux, et les trois angles oêc, ABC, D^Â ,
formés au sommet B par les trois arêtes BD, BC B A qui s’y réunissent aussi prises deux à deux ; de manière que cinq quel-? conques de ces six angles étant donnés , on puisse trouver le sixième.
Je suppose, BDC = a, ADC = b, a6b = c , DBC = a' ABC = A^,DÊA = t/.
Le triangle DCA me donne CA =DC DA— aDC . DA cos. CDA
et le triangle BCA. CA=BC+BA — 2BC.BA.c0s.CBA
Otant cette dei-nière équation de la première , on aura
(dc-bc)+(dâ-ba)-3Dc.dâ cos.CDA+aBC.BA.cos.CBA=o.
Mais par le principe de la proportionnalité des sinus avec les côtés dans les triangles ABC, A BD, nous avons
DEPOSITION. 4oi
BD : BC::sin.DCB : sin.BDC BD : DCrrsin.DCB : sin.DBC BD : BA:;sin.DÂB : sin.BDA BD : DA::sin.DAB : sin.DBA Tirant de ces quatre proportions les valeurs de BC, DC, BA,
DA, et substituant dans l’équation trouvée ci-dessus en divisant tout par BD , nous aurons
sin.DBC* sin.BDC* sin.DBA* sin.BDA*
sin.DCB*
sin. DCB*
acos.CDA
sin. DBC . sin. DBA sin. DCB . sin. DAB
sin . DAB* sin. DAB*
. sin.BDC. sin. BD A
-acos.CBA
sin. DCB .sin. DAB
Celte équation renferme encore les deux angles DCB, DAB, qui n’entrant point dans le rapport cherché , doivent être éliminés , ce qui est facile ; car les trois angles de tout triangle valant deux droits, on a par les triangles DBC, DBA,
sin.DCB = sin.(BDC+DBC) , sin.DÂB = ain.(BDA+DBA)
Substituant donc ces valeurs dans l’équation (A) , en mettant’ pour chacun des six angles considérés, la quantité prise ci-dessus pour la représenter, on aura
sin. a'* sin. O* sin.c'* sin.c*
sin.(o + a')* sin.(a-f-a')* 8in.(c-fc')* sin.(c + c')*
, sin.a'sin.e' ,, sin.asin.c
acos.o-: -, TT'. f K — 2COS.O 7^. 77 : (B)
sin.(a+a )sin.(c+c) 8in.(a+a )sin.(c-|-e)
équation qui ne renferme plus que les six quantités cherchées.
Pour faire disparoitre les dénominateurs, il n’y a qu’à multiplier par sin . (a a') sin . {c + c) , et l’on aurs (sin. a" — sin. a*) sin.(c+e')*+ (sin. <?'*— sin. c*) sin.(a+a')* ^
3 sin.(a-l-a') sin.(c-fc') (sin. a' sin.c' cos. é — sin. a sin. 6 ços. A')
Mais (laS) on a sin. a'* — sin.a* = sin. (a'+a) sin.(a'— a) } sin. c" -r- sin. c* = sia. (c'-t-c) sin. (c' c).
Si
4oa GEOMETRIE
Substitnant les valeurs tle sin. a'' — sin. a*, et de sin. c'* — sin. c* dans l’équation précédente , et divisant todt par sin. (a' + a) sin. (e'+c) , la formule se réduira à
sin. (a'+o) sin. (c' — c)+sin.(c'+c) sin. (a' — o)
= sin. a' sin. c'cos. 6 — sin. a sin. c cos. 6', (G),
Ce qu’il falloit trouver.
34oi Si l’nrctc DB devient perpendiculaire au plan BC A , l’angle CAB sera la projection de l’angle CDÂ ; les angles D^C,
DBA seront droits ; et par conséquent^ en nommant w le quart de circonférence , on aura a' = « , e' =■ -v ; donc l’équation (C) deviendra cos. a cos.c = cos. 6 — sin. a sin. e cos. ; (D) équation qni donne l’angle de projection b', lorsqu’on connoît les trois angles a, b, c formés au sommet D de cet angle.
Comme dans ce cas, l’angle BÔC ou a, est le complément de /\ — l’angle BCD d’inclinaison de la droite BC sur le plan de projection BCÂ , et DBA ou c , le complément de l’angle d’inclinaison
de la droite DA sur le même plan; l’équation précédente peut être mise sous cette forme :
sin.DCB.sin.DAB = cos.CD A — cos.DCB cos.DAB.cos.CAB, ou
cos. CAB
cos. CDA — sin.DCB sin. DAB cos.DCB cos.DAB
Formule qui donne l’angle de projection CAB d’un angle connu cB A en valeur des angles d’inclinaison DCB , DAB. ^
34l. La formule (D) trouvée ci-dessus renferme dans ses développemens toutes celles de la trigonométrie sphérique; car si l’on regarde (fig. 1 4o et 1 4 1) , D comme le centre d’une sphère ;
les angles bBc,CDA,bBa, ou n, A, caseront les trois côtés du triangle sphérique formés sur la surface de la sphère par les
intersections que forment sur elle les plans BDC, CDA, BDA, et l’angle CBA, ou A'; c'est-à-dire, celui qui est formé par les
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DEPOSITION. 4o3
deux plans, BDC, BDA, sera l’angle opposé au côté b. Donc en nommant a,b,c , les trois côtés de ce triangle sphérique, Â , B , C, les angles respectivement opposés : on aura A' = B , o' = A , c'= C, l’équation (D) trouvée ci-dessus appliquée au triangle sphérique en question , deviendra.
cos acos.e=cos.A — sin.osin.cc08.B;etparlamémeraison,onaura
cos.Acos.c=cos.a— sin.Asin.ccos.A
cos.o cos. A=cos.c — sin .asin.A cos .C. (F)
Nous aurons donc ces trois équations entre les six choses à considérer dans le triangle sphérique, et par conséquent , trois quelconques d’entre elles étant données, on en tirera les trois autres.
3 4 St. Si au lieu de déduire, comme nous le venons de faire , les équations précédentes d’un principe plus général, on veut les chercher directement, on y parviendra par un calcul fort simple, en suivant la même marche.
En effet, soit ABC (fig. i4s) le triangle sphérique proposé, D
le centre de la sphère. Menons les trois rayons DA, DB, DC, et par le sommet A , les deux tangentes AB', AC', aux arcs AB, ÀC, il est clair qu’on aura
B'AC' = A, b6c = o, CÔA = A,c6b = c.
Or les triangles AB'O, DB'C', appuyés sur la base commune
B'C', donnent
BD'’= ÂF’+ 10*— a ÂB^.ÂC' COS.B AC'
B^’= Wd + CD’— a B^.CD.cos. B'DC'.
Otant ces deux équations l’une de l’autre, et supposant le rayon de la sphère représenté par i ; on aura à cause des triangles B'AD, C'AD, rectangles en A,
BÏ3’— ÂB'*= i, CD^ — ÂÔ = 1 ;
et par conséquent, en divisant tout par a ,
i+AB'.AC'.cos.A — B'Ü.C'D.cos.o = o,
4o4 GEOMETRIE
oa à cause de AB' = tang. c, sin. c
