AB

cos. c sin. sin. c

Wd=-!-,

COS. O cos.c

cos. b *

cos. A —

cos. a = O , ou

cos. b. cos. c cos. & .COS. c

cos. b cos. c = cos. a — sia. b sin. c cos. A , comme ci-dessus.

343. On peut renurquer que celte équation se trouve immédiatement par ce qui a été dit (a43) ; car il est clair que A B'C'D est un quadrilatère gauche qui donne d’après le principe énoncé (a5g),

n’+ÂG*--3ÂB'ÂC'cos.B'AC'=DB'+î3c'— aDB'DC'cos.B'DC,

qni est la même chose que celle qu’on vient de trouver.

On voit, tant par la nature de cette démonstration que par l’analogie des formules , que celle-ci est pour les triangles sphériques, ce qu’est pour le triangle rectiligne dont les côtés sont

O, b, c, et les angles opposés A, B, C, l’équation cos. A = -

sbc

Si dans les équations trouvées ci-des.sus (F), on prend pour inconnues cos. a , cos. b, cos. c, et qu’on en tire sa valeur par les règles ordinaires de l’algèbre , on aura

COS.A. cos.c = cos.B+cos. ô.sin. A.sin.C cos. A. cos. B = cos. C+ cos. c. sin. A. sin. B cos. B. cos. C = cos. A-f cos. a.sin. B. sin. C. Eqnations qui sont de même forme que les premières , et qu’on tire de celle-ci , en substituant les lettres minuscules aux lettres majuscules , et réciproquement , et changeant de plus le signe de chacun des cosinus ; ce qui se démontre également par les triangles supplémentaires. ^

PnOBLiUE I.II.

344. iea trois côtés d*un triangle sphériqtse ABC (fig. i43), étant donnés f et la base BC étant dieisée en deux segmens à

volonté au pointji , trouver l’arc transversal Àli mené du sommet A au point H.

Soient A , B , C les trois angles du triangle sphérique proposé , a,b Cf les côtés respecti renient opposés ; a\ a’, les deux

Segmcns connus BH, CH, b' l’arc cherché Âli.

Les deux triangles ABC, ABH, nous donneront par le problème précédent (form. F)

cos. ô — cos. a cos. c cos.'ô'— cos. o' cos.c

cos. B = : : , cos. B = : jr-. .

sin. a sm. c sin. a sin. c

Egalant ces deux râleurs de cos. ,B , et dégageant cos. b\ nous

aurons

C08. b = (cos. b — cos. a cos. c) h cos. a cos. c.

sm. a

Ce qu’il falloit trourer. Cette formule est analogue à celle que nous arons trourée pour les triangles rectilignes (ig6).

Si l’on multiplie tout par sin. a , on aura (cos. b' — cos. a cos.c) sin. a = (cos. b — cos. a cos. c) sin. a'.

FaOBLÊHE LIII.

3 45. Les trois côtés d’un triangle sphérique ABC ( fig. i43 )

étant donnés , et les deux côtés ^A , étant l’un et l’autre partagés à volonté en deux segmens chacun parles points G, H,

trouver l’arc transversal GH.

Soient A, B , C, les trois angles du triangle proposé, a, b,c, les côtés respeclirement opposés ; a', a", les deux segmens connus Bfî, CH ; c', c", les deux segmens connus BG , ; b", l’arc

transrersal cherché G!^.

Les deux triangles ABC , GBH, donneront (341 , form. F)

cos. b — cos. a cos. c cos. b' — cos. a' cos. c'

cas. B = : : , cos. B = : ; — : ^-7

sm. a sin.c sin. a sin. c

Egalant ces deux valeurs de cos. B , et dégageant l’inconnue cos. b', on aura

, (co8. b — cos. a cos. c\ sin. cl sin. c' , ,

COS..0 = : 1-^ + cos. a cos. c .

sin. a sin. c

Ce qu’il falloit trouver. Cette formule est analogue à celle que nous avons trouvée (398) pour les triangles rectilignes.

En faisant disparoîtrc le dénominateur , on a

(cos. b' — cos. a'cos. c')sin. a sin. c==(cos. 6— cos. a cos. c)sin.a'sin.o'.

PnOBLÉMC LIV.

546. De ces six choses , savoir, les quatre côtés d’un quadrilatère sphérique et ses deux diagonales y cinq quelconques étant données , trouver la sixième.

Soit ÂBDC (fig. 144) le quadrilatère sphérique proposé, AD, êc, les deux diagonales.

Je nomme A l’angle BAC, Â' l’angle BAO , et A^ l’autre angle CAD i m, n, p, q, les quatre côtés A B , AC , Sd , CD , respectivement, s, les deux diagonales AD, BC; m', n, p', q', r, s', les sinus des arcs m, n ,p, q ,r, s, et m", n", p", q“, r% s', leurs cosinus.

Puisque l’angle A est la somme des deux angles A', A', nous aurons

i-t-scos. A cos. A' cos. A' = cos. A'+cos. A'* + co8.A‘'*.. -(A) Cela posé (34i, form. F), les triangles BAC, B AD , CAD , donnent

. cos. s — cos. m cos.n cos.p — cos. /n cos.r

cos.A= : T , cos.A=- — : ,

sin.m sin.n Sin. m.sin. r

. . cos. a — ços. 71 COS. r

cos. A = -, — i— : .

sm.Ti sin. r

Substituant dans l’équation (A), et multipliant tout par sin./n* sin. 71* sin.r*, pour faire disparoitre les dénominateurs, nous aurons

sin. m’ sin. n* sin. r* + 3 (cos. p — cos. m cos. r)

(cos.ÿ — cos. 71 cos.r) (cos. s — cos. 771 cos. 71) =

sin. 77i*(cos.y — cos. n cos.r)*+sin.7i* (cos.jb~cos.wi cos.r)*

+ sin. r* (cos. s — cos. m cos. ti)*.

Equation qui ne renferme plus que les six quantités dout on demande la relation.

Si dans cette équation , à la place du carré de chacun des sinus, on substitue l’unité moins le carr •' ’ i cosinus, et qu’on exécute ensuite les opérations indiquées, on aura la formule suivante :

1 — (cos. m' + cos. 7i’ + cos. p' + cos. y* + cos. r* + cos. s*)

+ (cos. m* cos. ÿ*+ cos. n* cos./>* + cos. r* cos. s')

(a cos. m cos. n cos. s + a cos. m cos.p cos. r + 2 cos. n cos. g cos. A + 9 cos. P cos. g cos. s J

(2 cos. m cos. n cos.p cos.ÿ + 3 cos.mcos. g cos.r cos. A

+ 9 cos. n cos. P cos. r cos. s )

Ce qu’il falloit trouver.

54y. Cette formule est analogue à celle que nous avons trouvée ( 33i ) pour le quadrilatère rectiligne; et la loi de sa formation est facile à saisir. Elle a lieu entre les cosinus seulement des angles comparés , et chacun d’eux se trouve par une équation du second degré, lorsque les cinq autres sont donnés.

Ce problème, comme l’on voit, peut s’énoncer ainsi , des six angles gue forment entre elles deux à deux les guatre arêtes gui répondent au sommet d’une pyramide guadrangulaire , cinq guelcongues étant donnés , trouver le sixième.

PROBLEME I. v.

548» Des six angles gue forment entre elles deux à deux les faces d’une pyramide triangulaire , cing quelconques étant donnés , trouver le sixième.

Soit ABC (fig. i45) la base de la pyramide proposée ; je développe la surface de cette pyramide sur le plan de cette base, et je suppose que les triangles ADB, ADC, BDC, ^présentent les trois autres faces. Je désigne chacune d’elles par la lettre majuscule qui est écrite au-dedans entre parenthèses ; c’est-à-dire.,

que je fais BCD = A, ACD = B, ABD = C, ABC = D.

De plus , je désigne les angles compris entre ces (aces denx à deux par la lettre minuscule écrite près de la droite qui leur est

4o8 GEOMETRIE

commane , ou de l’arête que forme leur intersection ; c’est-À dire

que je iais, ABD ABC, ouC 0 = m, B 0 = n,A D = r,

Cela posé , nous avons vu ( a54 ) que dans toute pyramide triangulaire, l’aire de chacune des bases est égale à la somme de toutes les autres, multipliées chacune par le cosinus de l’angle compris. Donc nous avons les quatre équations suivantes :

A = B cos.ÿ + C cos./>+D cos.r B = A cos.y + C cos.s + D cos.n C = A cos./) + B cos. a +D cos.wi D => A cos.r + B cos.n+C cos.m.

Eliminant de ces quatre équations du premier degré trois quelconques des quantités A, B, C, D , la quatrième disparoîtra d’elle-même comme facteur commun à tous les termes ; et l’équation deviendra

( I — cos./n* — cos.p* — cos.r* — acos.m cos./7cos.r)

(i — cos.m* — cos.n* — cos.«* — a cos.m cos. n cos.*) cos. m cos. n cos.jo -h cos. m cos. r cos. a-h cos. n cos.

-h coa.p cos. a — cos. m* cos. y -h cos. y

Effectuant les opérations indiquées , et divisant tout par • 1 — cos.m*, on obtiendra l’équation suivante :

1 (cos.m* + cos. n*-fcos.p*-f-cos.y*-l-cos.r»+cos. **)

+ (cos. m* cos. y* -f cos. n* cos. p' -f- cos. r* cos. a’)

(a cos. m cos. n cos. a -|- a cos. m cos.p cos. r-t- a cos. n cos. q cos.

-f a cos. P cos. q cos. a

(a cos. m cos. n cos.p cos. q-\-i cos. m cos. q cos. r cos.

-f a cos. n cos.p cos. r cos. a

Ce qu’il falloil trouver.

Il est à remarquer que dans cette équation de condition entre les six angles formés par les faces d’une pyramide triangulaire entre elles, les cosinus seuls se trouvent, et n’y sont élevés qu’au second degré : d’où il suit que cinq quelconques d’entre

eux

DE POSITION. 4oÇ)

cnx étant donnés , on aura le sbiicnie par une simple cqualioii du second degré.

54ç. Supposons , par exemple, que les trois faces A, B , C soient perpendiculaires entre elles; on aura donc cos.p = o, cos. ÿ = o, cos. s=:o : donc l’équation se réduira à i = cos. /n’ + COS. n* + cos. r*, ainsi qu’on l’a déjà démontré.

Si l’on suppose que la hauteur de la pyramide devienne infinie; les angles m, n , r, deviendront droits, et leurs cosinus O : de plus, les angles s,p, g, se confondront avec ceux du triangle ABC, c’est-à-dire , qu’on aura s = A,j)=B, g — C-, donc la formule deviendra.

1 — 3 cos. A cos. B cos. C — cos. A’ — cos. B* — cos.C’ = o. Propriété qui appartient, en cilct, comme on lésait, aux angles de tout triangle.

35o. D’un point quelconque pris au-dedans de la pyra-» mide, coneevons une perpendiculaire abaissée sur chacune des faces. Il est évident que ces lignes formeront deux a deux des angles qui seront les supplémens de ceux que forment entre elles les faces de la pyramide ; c’est-à-dire qu’en désignant ces perpendiculaires par A', B', C', D', savoir par A' celle qui tombe sur la face A ; par B', celle qui tombe sur la face B, &c. , et par v, l’angle droit : on aura

A'^' = 3 » — A^B, A'^C' = a * — a'^C , &c. donc si l’on désigne ces angles par m', n',p', g', r', s', c’est-à-dire qu’on fasse C' D' = m'. B' D' = n', &c. , on aura

OT = 3 — m', n = a — n', Sec. ' ' Substituant donc les valeurs de m, n, p , &c. dans la formule trouvée ci-dessus , elle nous donnera la relation qui existe entre ces angles m\ n, p\ &c. or les équations ci-dessus donnent ; cos. m = — cos. m', cos. n = — cos. n', fife.

Donc la nouvelle équation sera de la même forme de la première, à cela près que le signe du quatrième terme qui est — ,

deviendra +, c’est-à-dire, que si d’un point quelconque pris au-dedans d’une pyramide triangulaire, on mène des perpendiculaires sur les quatre faces de cette pyramide, et qu’on désigne par m , rt , P , y , r , s , les six angles formés deux à deux par ces perpendiculaires ; de manière qu’en distinguant ces perpendiculaires par i'", 2', 3', 4', m soit prise pour représenter l’angle compris entre la 1"* et la a'j n, l’angle compris entre la i"* et la 5'; P, l’angle compris entre la a' et In 4'; y, l’angle compris entre la 5'’ et la 4'; r, l’angle compris entre la 1"' et la 4'} l’angle compris entre la a' et la 5', on aura la formule suivante, 1 — (cos.f7i‘-l-cos.n*-l-cos.p*-Hcos.ÿ*-hcos.r’-i-co8.s*)

+ (cos.m' cos. 9’ + cos. n' cos.p*-t-cos.r*cos.s‘)

(2Cos.mcos.ncos.s*(- acos.mcos.pcos. r+ acos.ncos.ycos.r'^

+ 7 cos. P cos. y cos. 5

/a cos. mcos. n cos p cos. q + a cos. m cos. q cos. rcos. y -1- 2 cos. n cos.p cos. r cos s

Et comme la direction des faces de la pyramide est supposée quelconque , celte formule est applicable aux six angles que forment entre elles deux à deux quatre droites menées d’un même point dans l’espace suivant des directions quelconques. Cette formule est donc applicable aux six angles que forment deux à deux entre elles les quatre arêtes du sommet d’une pyramide quadrangulaire ; et par conséquent aussi, aux quatre côtés et aux deux diagonales d’un quadrilatère sphérique; ce qui s’accorde avec ce que nous avons déjà trouve par une méthode dilTérenle dans le problème précédent.

55 1 . Supposons que de quatre arêtes ou lignes droites partant d’un même point il y en ait trois qui soient perpendiculaires entre elles; par exemple, la première , la deuxième et la troisième, les trois angles m, n, s, seront doue droits , leur cosinus sera o, et l’équation trouvée ci-dessus se réduira à cos p’-i-cos.ÿ’-bcos. r’ = i.

C’est-à-dire, qu’en général si trois droites quelconques sont perpendiculaires entre elles , la somme des carrés des cosinus des

DEPOSITION. 4ii

angles qu^eües forment avec une mime quatrième droite , est égale au carré du sinus total. Et par conséquent , la somme des carrés des sinus des mêmes angles est double de ce carré du sinus total.

352. Si l’on imagine nn plan perpendiculaire à cette quatrième droite , les angles que formeront les trois autres avec ce plan , seront les coinpiémens des angles qu’elles forment avec la quatrième droite; donc si trois droites quelconques sont perpendiculaires entre elles, la somme des carrés des sinus des angles qu'elles forment avec un plan quelconque transversal , est égale au carré du sinus total , et la somme des carrés des cosinus des mimes angles est double de ce carré du sinus total.

Cette proposition est , comme on le voit, applicable aux angles formés par les arêtes d’une pyramide triangulaire avec la base de cette pyramide, lorsque ces trois arêtes sont perpendiculaires cnli'e elles.

On peut arriver h ces mêmes propositions par une autro méthode que je crois utile d’expoaer.