Soit AKB (fig. i46) un angle quelconque. Traçons

dans le plan de cet angle deux axes FF' GG' perpendiculaires entre eux, des points A , B , K, abaissons sur ces axes les perpen-

‘ diculaires Aa', Ao", Bb', Bb", KT, Kl" ; et menons la droite A B.

Cela posé, je nomme A, B, les deux droites KA, KD , l’angle qu’elles comprennent , a', a", les projections respectives

de A sur les axes FF', GG'.

Le triangle AKB me donnera

ÂB‘=ïëA -t-KB*— aKÂ.KB cos.AKB (A); mais il est clair que AB est l'hypothénuse d’un triangle rectangle qui auroit pour petits côtés a'b', a"b“. Donc

ÂB = âï'+'^’’= (o’T — b'ky + {b'’k’—a’ky

= (a'— ô')*— (ô’— a')‘=o'‘-l-ô'*+o"*+4"*— -ao'i'— so’ô*.

4i2 GEOMETRIE

Furcillcmcnt, on voit que A K étant l’iiypothénusc d’un triangle rectangle qui auroit pour petite côtés a'k', d'k’, on doit avoir

KA = a'+a’\ et de même, KB = b'‘ + b’\

Substituant dans les trois premiers tci'mes de l’éqnation (A)

les valeurs de AB, K A, KB , et dans le dernier terme , A, B, A , pour KA, K B, AK B, on aura, en réduisant

A.B.cos. A = a'ô'+o"ô" (B);

c’est-à-dire, qu’en général ,

Si deux droites données forment un angle quelconque , et si dans le plan de cet angle on mène deux axes quelconques perpendiculaires entre eux , le produit des deux droites données par le cosinus de l’angle qu’elles comprennent , sera égal au produit des projections de ces deux droites sur le premier de ces axes ; plus, le produit des projections des deux mêmes droites sur le , second.

Nommons a' a” les angles formés par K A respectivement avec les axes FF, GG'j /2', Æ”, les angles formés par KB avec ces

mêmes a;xes; il est aisé de voir qu’on aura a'k' = AK cos. « ou a' = A cos. a, et jîareillement , a" = A cos. a", ô' = B cos.^', b" = B cos. /3*. Substituant ces valeurs de a', a", b', b", dans l’équation (B) trouvée ci-dessus, nous aurons, en divisant tout

par A. B, cos.A= cos. a' cos.i0' + cos. a' cos./S' (C); c’est-

à dire , que ,

Si deux droites données forment un angle quelconque , et si dans le plan de cet angle on mène deux axes quelconques perpendiculaires entre eux , le cosinus de l’angle compris entre les deux droites données , sera égal au produit des cosinus des angles que forme chacune d’elles avec le premier de ces axes ; plus , le produit des cosinus des angles que forme chacune d’elles avec le second.

5ê)4. Cette théorie s’étend au cas où au lieu de rapporter l’angle proposé à deux axes tracés dans le même plan , on le

DEPOSITION. 4i3

rnpporle à trois axes quelconques perpemlLculaires entre eux. En effet, regardons le point H où se coupent les deux axes

FE', GG', comme la projection d’un troisième axe perpendiculaire aux deux premiers , et les points A, B, K, également comme les projections des véritables points qu’ils représentent : Nous aurons toujours, comme ci-dessus, l’équation

ÂÏÏ’= ÂK V BK — a ÂK. BK. cos. k (A).

Ces droites exprimant les véritables valeurs des distances entre les points A, B, K, et non leurs projections.

Mais il est clair que dans ce cas AB est la diagonale d’un parallélipipèdc rectangle qui auroit pour cotés les trois projections de

cette droite sur les trois axes, et que par couséquentson carré — «

AB doit être égal à la somme des carrés de ces trois projections. C’est-à-dire, qu’en ,4!^igpant.pM! pmixitions deKA^

KB snr le nouvel axe, on aura

ÂB = (a'— - b'")\

ou AB ’= d'+b''+a"*+b’*+a'"'->rb‘'‘—iia'b'—iarb"-2a"b". Pareillement, on aura,

KÂ = et KB =

Substituant ces valeurs dans les trois premiers termes de l’équation, et réduisant, on aura

A . B . cos. * = a'ô'-f a" b' + o"A*' (B) ;

c’est-à-dire , qu’en général ,

.'4^5. Si deux droites données formant un arigle quelconque dans l’espace, on en fait les projections sur trois axes perpendiculaires entre eux, le produit des deux droites données parle cosinus de l’angle qu’elles comprennent est égal au produit des projections de ces deux côtés sur le premier axe , plus au produit de ces mêmes côtés sur le second axe , plus au produit de ces mêmes côtés sur le troisième axe.

Nommons **; a"', les angles formés par KA respcctive-

Digitii by !'■ >ogIe

'»i4 GEOMETRIE

incnl avec les trois axes ; /J', è”, les trois angles formés par K B

avec les mêmes axes. I] est aisé de voir que la projection de K A sur le premier axe sera A cos, c’est-à-dire, qu’on aura a = A coa. et pareillement, a’ = A cos. a” = A cos.<i", i' = B cos.jB', b" = B cos. jS", b" = B cos./8”'. Substituant ces valeurs dans l’équation (A), et réduisant, on aura cos.it = cos. «'cos. /5' + cos. a"cos.^"+cos.«t‘"cos.j3" (B);

c’est-n-dire , que

Si deux droites données formant un angle quelconque dans l’espace , on en fait les projections sur trois axes quelconques perpendiculaires entre eux , le cosinus de l’angle compris entre ces deux droites sera égalà la somme des produits des cosinus des angles fermés par chacun des axes avec les deux côtés de l’angle proposé.

Si l’on suppose que l’angle k se réduise à zéro, on aura cos. k = 1 , «' = ;0', «" = /3', a!" = /B"'} donc l’équation se réduira à cos.«'*+cos.o'*+cos.a"* = i ; ce qui est le même principe que celui qui a été démontré ci-dessus (35i).

Soient menés dans une sphère trois rayons perpendiculaires entre eux, et nommons R la valeur de chacun d’eux. Imaginons de plus un quatrième rayon mené suivant une direction quelconque , en regardant celui-ci comme deux rayons qui forment entre eux un angle nul, et lui appliquant la formule (B) , nous aurons , A = R , B = R , &c. cos. k = i , a' = b', a" = a"' = b"'. Donc l’équation se réduira à, o'*-l-a‘'*4- o"* = » j c’està-dire , que

Si dans une sphère on mène trois rayons perpendiculaires entre eu.x , et que de leurs extrémités qui sont sur la surface de la sphère on mène des perpendiculaires sur un quatrième rayon quelconque , la somme des carrés des parties de ce rayon interceptées entre ces perpendiculaires et le centre , est toujours la même, quelle que soit la direction de ce quatrième rayon, et égale au carré de ce même rayon ; d’oà il suit aussi que la somme des carrés de ces perpendiculaires sera double du carré de ce même rayon.

Si l’on imagine un plan pei pcmiiculairc à ce qualrièine rayon, les angles que formeront les trois autres avec ce plan, seront les conipléincns des angles qu’elles forment avec la quatrième droite, donc la somme des carrés des projections de trois rayons dune sphère , perpendiculaires entre eux sur un plan quelconque , est toujours double du carré du rayon,

PROBLÙUE LVI.

556. Trois circonférences quelconques , que Ce soient de grands ou de petits cercles , étant tracées sur la surface d’une sphère , trouver une quatrième circonférence qui soit temgente aux trois autres.

Soient A , B ,C, (lîg. i47) les centres, ou plutôt les pôles des trois cercles proposés; D celui du cercle cherché. Joignons les quatre points A, B, C, D, par des grands arcs de oercle. Il est

clair que les trois arcs 6a, Î5B, ScÎ, qui partent du point D, passeront par les points de contingcucc a, ô, c de la circonférence cherchée avec les trois cercles donnés A , B , C.

Cela posé je désigne par a , b , c \es rayons curvilignes des

trois cercles donnés, c’est-à-dire, les arcs de cercle Aa, Bô, Ce, compris entre leurs pôles respectifs et leurs points de contingence

avec le cercle cherché ; et par k , le rayon circulaire , Da , ou Dô, ou De de ce cercle cherché. ' ■>

Soient de plus AB = /», AC = n, Sd = p i CD = y , AD = r, ÊC = s.

Nous aurons donc (346) la formule suivante,

I — (cos. cos. 71* -h cos. &c.) 4- &c.

Mais on a évidemment r = a-ha; , p^b + s: , q^c+x. Substituant ces valeurs dans l’équation précédente au lieu dn r, p, q, il viendra une autre équation qui ne renfermera plus d’inconnues que x , il ne s’agira donc plus que de dégager oette inconnue. Ce qu’il falloit trouver.

rnOBIiÊME LVII.

ùSjt Quatre sphères étant données dans V espace , trouver une cinquième sphère qui soit tangente aux quatre autres.

Soient (fig. i48) A , B , C, D les centres des quatre sphères données , a , i , c, d, leurs rayons , E le centre de la sphère cherchée j R , son rayon; ni, n , p , q , r,s,les six droites connues

AB , AC , BD , CD , AD , BC ; m\ ri, p\ q\ é, s', les six angles

inconnus AEO , AEC , &c, qui ayant leurs sommets au point E ,

sont appuyés respectivement sur les droites m, n,p, &c. nous aurons donc les six équations suivantes

, ae’+be — ab’

cos. m = — — -J

aAE.BE

ou parce que AB — m, et que de plus on a évidemment

AE = o+R , BE = 6-hR, on aura

r(7+R) Ib + R) > et par la meme raison ,

cos »' = (« + R)-+(e+R)»-na(u-t-R) (c-1-R; ■

cos.n' = (j+R)- + (^+R)--T-

COS. y' = (e + R)-+(^+R)-+?‘

COS / = (fl+R)*+(rf+R)‘ +r»

COS. s =

Pc plus , entre les six angles m', ri, p', q', r', s, on a (346) l’équation de condition

I + (cos. cos. n'* + &c.) + &c.

Substituant dans cette équation les valeurs de cos. m', cos.n', ooB.p', &c. trouvées ci-dessus chacune en valeurs de R et des

quantités

quantités données , il viendra une équation où il n’y aura plus que R d’inconnnc, et qtii,à ce que je présume, ne sera que du second degré. Mais le calcul étant fort long, quoique sans aucune difficulté , je me contente de l’indiquer.

FROBI.:ÈME lViIT.

3.58. Résoudre le problâme général de la quadrigonométrie sphérique, c'est-à-dire, résoudre dans tous les cas possibles un quadrilatère composé de quatre grands arcs de la sphère.

Il est clair que la questionse réduit à former le tableau général des parties du quadrilatère sphérique proposé, toutes exprimées en valeurs de quelques-unes seulementd’entre elles, prises pour termes de comparaison , en nombre suffisant pour que tout le reste soit déterminé.

Ce problème est analogue à celui que nous avons résolu (3j7) pour le quadrilatère rectiligne, et comme les propriétés sur lesquelles nous avons établi cette solution appartiennent également avec de légères modifications , au quadrilatère sphérique, on suivra la même marche pour la formation du tableau général relatif à ce dernier. Ce qu’il falloit trouver.

Par la même raison, l’on peut appliquer à la résolution des polygones sphériques, c’est-à-dire, composés de grands arcs de la sphère , la méthode que nous avons suivie (338) pour la résolution des polygones rectilignes.