PROBLÈME LIX

.35g. Des dix droites qui joignent deux à deux cinq points quelconques pris à volonté dans l'espace , neuf quelconques étant données , trouver la dixième.

Soient A, B, C, D, E, (fig. 14g)» les cinq points proposés, soient les dix droites qui joignent ces points deux à deux.

AB = m,.AC = n, AD = r, BC = s, BD=p, CD = q,

AE = U , BE = X , CE =j', DE = r.

Il s’agit donc de trouver une équation entre les dix quantités

Pi Çt r, 5, U, x,y, Z, de manière que neuf quelconques d’entre elles étant données, on puisse trouver la dixième.

Pour trouver cette équation, je considère, par exemple, les six angles qui ont leur sommet commun au point E , et pour bases, les six droites m, n, p, q,r, 5,e\.)G nomme ces angles, m', n',p', y', r, a', respectivement. J’aurai donc (346) entre les cosinus de ces six angles, l’équation suivante,

1 — (cos. m'*+cos. n'‘+ &c.) + &c.

Pour avoir l’équation cherchée, il ne reste donc plus qu’à Substituer à chacun de ses cosinus , son expression en valeurs des dix quantités m , n , p , y , &c. or cela est facile , car nous avons les six équations suivantes ,

■ cos./n =

7 xu

cos. n cos.p' cos. y' cos. r'