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Substituant donc ces valeurs de cos. m', cos.n, &c. dans la formule ci-dessus, on aura l’équation cherchée entre les dix quantités m,n,p,q,r,s,UiXyy,z} ce qu’il falloit trouver.

Il est à remarquer que cette équation ne renferme aucuns, radicaux, et que quelle que soit l’inconnue, elle sera toujours soluble àla manière du second degré; car il est évident qu’elle doit être symétrique entre les dix quantités m, n, p, Ç, &c. qui joignent deux à deux les points proposés : donc si l’on prouve que dans un cas seulement elle estsoluble comme celle?du second degré , elle le sera dans tous les cas. Or si l’on suppose que x , par exemple, soit l’inconnue, il est clair que tout le reste étant

donné, on Iroavcra facilement les points B, E, avec la règle et le compas : mais on sait que toute construction qui s’opère avec la règle et le compas peut s’exprimer par une équation ou une suite d’équations toutes du second degré. Donc on aura , en effet X, par une suite d’équations successives toutes solubles comme celles du second degré. Donc la même chose aura lieu pour toute autre des dix quantités m,n,p, &c. qui entrent dans l’équation générale.

FROBLâME LX.

ô60t Résoudre le polyèdre dans tous les cas possibles , ou ce qui revient au même, un polyèdre quelconque étant proposé, former le tableau général des parties tant linéaires qu’angulaires qui entrent dans sa composition, toutes exprimées en valeurs de quelques-unes seulement d’entre elles , prises pour termes de comparaison, iÈfTWfKIII^'su^sant pour que tout Iq reste soit déterminé.

En nommant n le nombre des angles solides ou sommets du polyèdre proposé, il est aisé de voir que le nombre des choses indépendantes les unes des antres, qui doivent être connues pour que tout le reste soit déterminé, est 5{n — a). Ce nombre est donc celui des quantités qui doivent être prises pour termes de comparaison , et en valeurs desquelles toutes les autres doivent être exprimées pour former le tableau demandé. Cela posé ,

Soient A , B , C , D , E , F (fig. 1 5o) , les sommets du polyèdre proposé. Je prends pour termes de comparaison les trois côtés du triangle ABC, dont les trois sommets A, B, C, sont au

nombre de ceux du polyèdre, et de plus, les distances AD , BD,

CD , AE, BE, CE, &c. de tous les autres angles aux premiers A , B , C ; ce qui fera , en effet , le nombre 3 (/i — a) de données ou termes de comparaison , comme cela doit être.

Maintenant considérons successivement tous ces points cinq à cinq, en comprenant toujours dans ces cinq, les trois A, B, C;