II
sm(xb) (XB) sin(60
existe dans tous les cas possibles.
Premijer cas. La transversale t rencontre les rayons afi^x
et non leurs prolongements.
La trigonométrie enseigne que dahs tout triangle le rapport de deux sinus est égal en valeur absolue au rapport des côtés opposés. Donc on a
sinÂSX (AX)
sinSAX (SX) sinXSB (XB)
sinSBX (SX)'
en divisant ces deux égalités membre par membre, on obtient
SinASX (AX) sinSAX
SinXSB (XB) sinSBX ou ce qui est la même chose
sin(aaî) (AX) sin(ar)
sin(a;6) (XB) sin(60 Cette égalité est vraie d'une manière absolue; il reste à démontrer qu'elle est pareillement vraie, si l'on tient compte
sin(af)
des signes. Or, le facteur ;: — a dans notre hypothèse une
sin(or)
valeur positive, puisque chacun des angles est positif et moindre que deux droits; d'un autre côté, quand x est à l'intérieur
, , X sin(aa?) (AX)
de (a6), les rapports — — — et ; — • sont positifs, et quand
sin(a?o) (XB)
X est à l'extérieur de (ab), ils sont négatifs. Donc les deux membres de l'égalité ont le même signe, ce qu'il fallait démontrer.
Second cas. La transversale t rencontre un ou plusieurs des rayons dans le prolongement.
Si t coupe le prolongement de a, il suffit d'augmenter de
26 SYSTÈMES PBIMÂIRES
180 degrés chacun des augles (ax), (at) du premier cas. L'égalité est vraie d'une manière absolue» ce qui est évident; elle Test encore en tenant compte des signes, puisque sm(aœ) et sin- (at) changent simultanément le leur.
La même observation s'applique au rayon b.
Enfin, quand t rencontre le prolongement de x on augmentera les angles (ax) et (xb) de 180 degrés; les sinus changent de signe à la fois et l'égalité se trouve maintenue. Donc en général le rayon x et son prolongement partagent un angle donné dans un même rapport.
Troisième cas. Le sommet S est à l'infini, et par conséquent les rayons a,b,x sont parallèles.
Si sur l'un des rayons a on prend un point S^, et qu'on le
joigne parles droites a^^bi^x^, aux intersections A,B,X, on aura
toujours
sin(ai.uj (AX) sixï(a^t)
sin(xi6i) (XB) sm(b^t)
Lorsque le point Si s'éloigne de plus en plus, sur a, le se-
(AX) sin(aO cond membre tend vers une limite déterminée 7-—- . „ ^
(XB) sm(o^),
que nous appelons le rapport de simple section de (ab) par x,
sin(ax)
et que nous représentons par — ; .
sin{xb)
Donc on a
sm(ax) (AX) sm(at)
sïn(xb) (XB) sin(60 et cette dernière relation est ainsi démontrée pour toute's les hypothèses admissibles.
44. Si l'angle (abj est donné et que le rayon x décrive tout le plan en tournant autour du sommet, il arrivera qu'à chacune des positions de x correspond une seule et unique valeur pour
sin(aa;) le rapport ; c est ce qui ressort immédiatement de
sin(aî6)
la nature de cette expression.
Réciproquement un angle (ab) étant donné, il existe une seule et unique position de x (y compris le prolongement) telle
sin(a^) , m
que le rapport sott égal à une quanté réelle — .
sm{xb) n
En effet, après avoir coupé par une transversale t les rayons a,b,x respectivement dans les points A,B,X, on doit avoir
s\n(axj (AX) sinfa^)
s\n(xb) (XB) sm(bt)
Il faudra donc déterminer sur la ligne t un point X qui satisfasse à la condition
(AX) s\n(at) m
(XB) sin(6^; n (AX) m s\n(bt)
(XB) n sinfat)
Le problème revient donc à diviser la longueur (ÂB) dans un rapport de simple section égal au dernier membre. Or on trouvera un seul et unique point X, par lequel on fera passer le rayon cherché x.
On peut aussi employer la construction suivante : on mène à la droite a une parallèle p distante de m et à 6 une parallèle q distante de n, en ayant soin qu'elles soient portées toutes
les deux à 1 intérieur de (ah) si — est positif, sinon 1 une en
dedans l'autre en dehors. Le point de rencontre K des deux parallèles est sur le rayon cherché x; car on a
%\x\(ax) (-J) ^ m
ûn{xh) (^) n,
les signes des deux membres étant du reste égaux par suite de la construction.
45*. Tout angle dièdre (AB) d'une feuillée sera divisé par
DE QUATRE ÉLÉMENTS â9
un plan X de la môme feuillée en deux parties (AX), (XB), dont la somme sera toujours égale à (AB). L'expression
sinf^A^
--— sera le rapport de simple section de 1 angle (AB)
s>m(XBj
par le plan X ou bien encore le rapport de simple section des deux éléments A,B par un troisième élément X
Comme les angles dièdres ont pour mesure les angles correspondants formés par les intersections a,b,x d*un plan perpendiculaire à Tarète commune, on aura
sm(AX) &in(ax)
sin(ZB^ sin(xb)
de sorte que toutes les propriétés du rapport de simple section dans le faisceau s'appliquent également à la feuillée.
46. Les résultats principaux de cet article peuvent se résumer ainsi :
Lorsque deux éléments a,b d'un système primaire sont donnés, à toute position x d'un troisième élément correspond une seule et unique valeur du rapport de simple section des éléments a et b par x ; et réciproquement lorsque a et b sont donnés, il existe une seule et unique position de x tel que le même rapport de simple section soit égal à une quantité réelle proposée.
Rappoirt de doubla 8eoti<m ou biquotient.
47. Nous avons vu qu'une longueur (AB) est partagée par un point X de la même droite dans le rapport de simple section
i^. Grâce à un nouveau point de division G on ol>tient (XB)
