CB) 0^^) (CB

expressions est ce qu'on appelle le rapport de double section de la longueur (AB) par les points X et C, ou plus simple-

ment le biquotient des points A,X,C,B. Nous représenterons sa valeur par le symbole (AXCB), qui possède un double avantage : car, en premier lieu, il a le niême ordre de lettres

que le numérateur de la fraction ^ — - égale au

(AC).(XB)

biquotient : : en second lieu, il montre intuitive-

^ (XB) (CB)

ment par la disposition de ses lettres que la longueur (AB) est partagée d'abord par X, ensuite par C.

Quatre points A,X,C,B étant donnés sur une lignée, on peut former avec eux vingt-quatre rapports de double section, en substituant deux lettres l'une à l'autre, par exem- ,

, ^ , (AX) (AC) „

pie, B à G et vice-versâ, dans 1 expression - — - : — —- .Mais

^ (XB) (CB)

trois des biquotients ainsi obtenus sont égaux à ce dernier ; en effet, on a

(AX) (AC)(XA) (XB)(CB) (ÇA)(BC) (BX) (XB) • (CB) (AC) • (BC) (BX) ' (AX) (CA) * (XA)

(AX),(CB)

puisque toutes ces expressions se réduisent à ^ si

(AC).(XB)

l'on observe qu'un segment quelconque (XA) peut être remplacé par — (XA). Les dernières égalités s'écrivent au moyen des symboles comme suit :

(AXCB) = (XABC) = (CBAX) = (BCXA)

Du premier membre se déduisent les trois autres, savoir : (XABC) en permutant A avec la deuxième lettre X, et C avec B; puis (CBAX) en permutant A avec la troisième lettre C et X avec B; enfin (BCXA) en permutant A avec la quatrième lettre B et X avec C. Les différentes permutations possibles sont donc permises; on en conclut le théorème suivant :

Un biquotient ne change pas de valeur quand on petmute tùtUes les lettres deux à deux.

Ce théorème permet d'amener l'une quelconque des quatre lettres à la place qu'on désire, sans modifier toutefois la valeur du rapport de double section. Par exemple, si l'on veut au lieu de (AXCB) avoir C en tête, on permutera C avec A et les deux autres lettres ensemble.