Un simple coup d'oeil jeté sur la forme de l'expression

(AX> (AC

7x^ • -TpHx montre qu'un biquotient est indépendant du sens

de la droite, car si l'on regarde comme positif le sens contraire à celui qu'on a d'abord choisi, les segments (AX), fXB), (AC), (CB), changent de signe, mais cela ne modifie nulle-

(AX) (AC

ment la valeur de t^tô^ • 77717: •

(XB) (CB)

Supposons que de quatre points A, B, C, X sur une droite

les trois premiers soient fixes et que le quatrième X décrive la

' (AX) (AC) ligne entière. Le biquotient (AXCB), c est-à-dire -^ • 7pô7

(AX) ^ sera égal à un rapport de simple section ^rrrr divisé par la

(AC) quantité invariable .p^. ; et comme le rapport de simple section a pour chaque position de X une seule et unique valeur, il en sçra de même pour le biquotient. Réciproquement, si l'on donne les points A, B, C, et qu'il s'agisse d'en trouver un

(AX) (AC^ quatrième X, tel que le biquotient TvnT"' /rR\ soitégalàune

P quantité réelle — • > il existera toujours un seul et unique

point qui satisfasse à cette condition. On doit avoir en effet (AX) . (AC) ^ p (AX) ^ p(CB)

(XB) • (CB) "^ ^" (XB) ç(AC)

or il n'y a qu'un point X qui partage la longueur (AB) d'après

p(CB) ,

le rapport connu ..p — La construction de X peut s effectuer par le procédé vu plus haut (v. 41.).

Parmi les biquotients que l'on peut former avec les quatre lettres A, B, C, X, nous avons considéré seulement (AXCB); mais les propriétés qui viennent d'être démontrées pour ce dernier, s'appliquent à tous les autres; car on pourra foujours amener par des permutations la lettre variable à la seconde place. Ainsi :

Trois points A, B, C d'une droite étant donnés^ il existe toujours sur la même ligne un seul et unique point X tel quun certain biquotient formé par ces quatre points soit égal à une quantité réelle proposée.