L'angle (ab) que forment deux rayons a, 6 d'un faisceau

est divisé par un troisième x dans le rapport de simple

Sin(air) section ^. . ,. et par un quatrième c dans le rapport

Sin(ac) Sin(a^) Sin(ac)

appellerons le rapport de double section de Tangle (ab) par les rayons a? et c ou plus simplement le biquotient de

a, X, Cj b; sa valeur sera représentée par le symbole (axcb).

50* Une définition analogue peut être adoptée à l'égard de

la feuillée. Le biquotient des quatre plans A, X, C, B sera

Sm(AX) Sm(AC) donc le rapport gj^z-vp) • o- ^rn^ > que nous désignerons

par (AXCB).

Comme les angles^ dièdres de la feuillée ont pour mesure les angles plans formés par ses intersections a, x, c, b avec un plan perpendiculaire à Tarête commune, le rapport de double section

Sin(AX) Sir\( AC) , ^ Siu(ax) - SinÇac)

Sin(XB) • S\n(CB) ®^* ^"^'^^^^^^^ égal à g.^^^^^ : ^r^ ;

en d'autres mots {AXCB) est l'équivalent de (axcb).

'51. Les propriétés du biquotient, démontrées pour quatre points d'une lignée, s'appliquent par analogie à quatre rayons d'un faisceau et à quatre plans d'une feuillée. Elles peuvent en conséquence être énoncées d'une manière générale comme suit :

Le biquotient (axcb) de qtmtre éléments a, X, C, b d'un système primaire ne dépend en aucune façon du sens dans lequel le système est engendré.

52. Le biqiMtient (Axcb) ne peut avoir quune setde e$ unique valeur.

53. Un biquotient ne change points lorsqu'on permute tous les éléments deux à deux.

54. Si trois éléments sont dannés, il existe toujours un seul et unique quatrième élément tel quun certain biquotient de ces qu>atre éléments soit égal à une quantité réelle proposée.

Propriété projective du biquotient.

55. Théorème. Lorsqu'une droite coupe un faisceau de quatre éléments, tout biqu4)tient formé avec les intersection^ de la droite est égal au biquotient analogue du faisceau.

Soient a, 6, c, x les rayons donnés et A, B, C, X leurs

intersections avec une transversale t; il s'agit de démontrer, par exemple, que le biquotient (AXGB) est égal à (axcb). Or, on a toujours (v. 43)

Sin(flMc) (AX) SinÇat)

Sin {xb) ~ (XB) ' Sin(ftr) et de même

Sinjac) (AC) Sinjat) Sin (cb) ~ (CB) * Sin(60 '

«n divisant ces deux égalités membre par membre, on obtient

(AX) (AC) Sin(aa?) Sin(ac) (XB) • (CB) ~Sin((r&) ' Sin(c6)'

ce qu'il fallait prouver.

56. Corollaire. Les quatre points A, B, C, X sont projetés du centre S au. moyen des rayons a, b, e, x. Comme le biquotient est, en vertu du dernier théorème, susceptible d'être exprimé au moyen des rayons correspondants, il donne naissance à une propriété projective (v. 35) et doit être invariable pour toutes les projections des quatre points A, B, C, X. En effet, si Ton coupe le faisceau par une droite ou un plan, l'intersection Ai sera la projection de A depuis le centre de perspective S; de raème ft^. Ci, Xi, seront les projections de B, C, X. Or, les deux expressions (AXCB) et (A^XiCiBi) seront l'une . et l'autre égales à (axcb) et par conséquent égales entre elles. Donc :

La valeur d'un biquotient de quatre points reste la même, quand on remplace ces points par leurs projections sur une droite ou sur un plan.

57*. Théorème. Lorsqu'un plan coupe une feuillée de quatre éléments, tout biquotient formé avec les intersections du plan est égal au biquotient analogue de la feuillée.

Soient A, JB, Ç, X les plans de la feuillée, et ai, 6^, Cj, x^ les intersections de cette feuillée par le plan donné Pi-

Menons un plan P perpendiculaire à l'arête, et désignons par A, B, C, X les points où la droite PP\ rencontre les différents plans de la feuillée. Il s'agit de montrer que tout biquo-

tient (a, x^ Ci bi) est égal au biquotient analogue (AXCB).

Or {AXCB) = (axcb) (axcb) = (AXCB) (AXCB) = {(hXiCibt)

Donc

{(hxicj)i) = {AXCB).

58*. Corollaire. Nous tirons de ce théorème une conséquence semblable à celle que nous avons déduite du théorèma précédent.

Lorsque deux plans quelconques P, Pi coupent une feuillée, ils forment par leurs intersections avec celle-ci deux faisceaux, dont Tun peut être envisagé comme la projection de l'autre

depuis un centre de perspective pris sur l'arête SSi. Or, les biquotients analogues de ces faisceaux sont égaux, puisqu'ils sont équivalents au biquotient de la feuillée. Donc :

La valeur d'tm biquotient de quatre rayons reste la même, quand on remplace ces rayons par leurs projections sur un plan.

58. — Autrement. Lorsque deux faisceaux a, b, c, x et a^, 6j, Cl, a?i sont perspectifs, les droites correspondantes se coupent sur Taxe de perspective (v. 36) dans les points A, B, G, X. Or, les biquotients analogues des deux faisceaux sont égaux à celui des biquotients qui est semblablement formé avec les intersections sur l'axe de perspective; en d'autres termes, on a, par exemple,

(abcx) = (ABCX)

(oibiC^Xi) = (ABCX) d'où

{abcx) = (aibic^xi) <î'est-à-dire

Lorsque deux faisceaux sont en perspective tout- biquotient formé avec quatre rayons de Vun est égal au biqiu)tient analogue de l'autre.

Cette seconde démonstration est plus générale que la première, car elle admet aussi le cas où les deux faisceaux perspectifs sont situés dans un naême plan.

59*. Corollaire. Lorsque deux feuillées sont en perspective, tout biquotient formé avec quatre plans de l'une est égal au biquotient analogue de Vautre.

En effet, les intersections des plans correspondants se trouvent dans un plan (v. 38); ce dernier coupe donc les deux feuillées d'après un même faisceau. Les biquotients analogues des feuillées sont conséquemment égaux à un même biquotient du faisceau, et par suite ils sont égaux entre eux.

60"*". Théorème. Lorsqu'une droite coupe une feuUlée de quatre plans ^ tout biquo tient formé avec les intersections de la droite est égal au biquotient analogue de la feuUlée.

Soient A, B, C, X"^ les plans de la feuillée et A, B, C, X leurs intersections avec la droite donnée. Menons par celle-ci un plan quelconque, qui coupera la feuillée d'après un faisceau de quatre rayons a, 6, c, x.

Nous voulons encore démontrerJlque tout biquotient (AXCB) est égal à {AXCB). Or, on a

{AXCB) = {axcb) (v. 57)

{axcb) = (AXCB) (v. 55)

Donc (AXCB) = {AXCB).

61*. Corollaire. Lorsque deux ou plusieurs droites coupent une même feuillée de quatre plans, les biqtwtients analogues^ formés avec les intersections de chaque droite sont égaux entre eux.

62. Résumé. Nous avons considéré dans cet article tous^ les cas où deux systèmes primaires sont en situation de perspective, savoir : 1^ une lignée avec une lignée (v. 56) ; 2o une lignée avec un faisceau (v. 55) : le faisceau est projeté du sommet S sur la droite t; 3^ une lignée avec une feuillée (v. 60) : la feuillée est projetée une première fois d'un point de Tarëte sur un plan passant par la droite, ce qui donne un faisceau ; celui-ci est ensuite projeté de son sommet sur la même droite, d'où résulte la lignée en question ; 4^ un faisceau avec un faisceau (v. 58); 5» un faisceau avec une feuillée (v. 57) : la feuillée est d*un point de Tarête projetée sur le plan du faisceau; 6^ une feuillée avec une feuillée (v. 59).

Dans toutes ces combinaisons, les biquotients analogues.

* Les majuscules italiques représentent des plans.

sont égaux; donc, lorsque d6ux systèmes primaires sont perspectifs, tout biquotient formé avec quatre éléments quelconques de l'un est égal au biquotient formé avec les éléments correspondants de l'autre.

Il est évident que cette égalité subsiste encore, quand on fait abstraction de la situation de perspective, c'est-à-dire quand les systèmes primaires sont simplement projectifs; les différents théorèmes de cet article sont ainsi compris dans l'énoncé suivant :

Lorsque deux systèmes primaires sont projectifs, totU hi* quotient formé avec quatre éléments quelconques de l'un est égal au biqtwtient formé avec les éléments correspondants de l'autre.

Conditions pour <|ue deux systèmes primaires de 4 éléments

soient perspectifs ou projectifs.

Nous allons maintenant examiner les systèmes primaires qui sont composés chacun de quatre éléments a, b, C, d, ai, bi, Cl, di, et qui ont un biquotient (abcd), (aibiCidi), de

GO

même valeur. Les éléments a, ai qui sont représentés par des lettres occupant une même place dans les symboles (abcd), (aibiCidi) seront appelés éléments correspondants.

63. Théorème. En général, lorsqm deux systèmes 'primaires de quatre éléments chacun ont un biquotient de même valeur et quen outre trois éléments de fun sont en situation de perspective avec les éléments correspondants de Vautre, il faut amsi que les quatrièmes éléments soient en perspective.

Soit (abcd) = (aibiCidi) ; de plus, admettons que trois éléments a, C, d soient en perspective avec leurs correspondants ai, Cl, di«

Désignons provisoirement par b2 l'élément qui dans le second système est en perspective avec b« Puisque ai, b2, tîi, di et a, b, C, d sont perspectifs, le biquotient (aib2Cidi) est égal à (abcd) et par conséquent à (aibiCidi). Ainsi b^ et b^ doivent être tels qu'avec trois mêmes éléments ai, Ci, di ils donnent naissance à des biquotients (aib^Cidi), (aibiCidi) de même valeur; donc b2 et bi sont identiques ( v. 54 ), et les deux systèmes donnés sont en situation de perspective.

64. Théorème. Lorsque deux lignées de qv>atre points ont un biquotient de même valeur et quen outre deux éléments correspondants coïncident, les droites qui joignent les autres points correspondants concourent en un point S, et les deux lignées sont perspectives.

Soient A, B, C, D les points d'une lignée et Ai, B^, C, D^

les points de l'autre; soit en outre (ABCD) — (A^BiCOi) et supposons que deux points correspondants C coïncident.

Menons les droites ÂÂi, BBi, qui se couperonten un point S. ^

Le biquotient (ABCD) est égal au biquotient analogue du faisceau AA^, BBi, SC, SD (v. 55), et (Ai Bi C Di) au biquotient analogue du faisceau AAp BBi, SC, SDi; donc, en vertu de l'hypothèse, ces biquotients des deux faisceaux ont une même valeur (ABCD). Par conséquent, les droites SD, SDi coïncideront, vu qu'avec trois rayons AAi, BBi, SC elles doivent donner naissance à un biquotient de même valeur (v. 54).

Ainsi les droites AAi, BBi, etc., menées par les points correspondants, concourent en un même point S, qui est le centre de persp^ective des deux lignées (v. 6).

65. Corollaire. Puisque deux lignées, ayant un biquotient de même valeur, peuvent être placées en situation de perspective, il en résulte que tout biquotient de l'une est égal au biquotient semblablement formé de l'autre (v. 56).

66. Théorème. Deux lignées de quatre points sont en perspective, lorsqu'elles ont un biquotient de même valeur, et qutm point de l'une coïncide avec un point quelconque de l'autre.

Soit (ABCD) = (GHIK) et supposons, par exemple, que B coïncide avec K. On peut amener la lettre K à occuper comme B la seconde place dans le symbole (v. 47). Il suffit pour cela de permuter K avec H et G avec I, ce qui donne (ABCD) == (IRGH). Les lignées ont encore un même biquotient et les deux points qui coïncident, sont correspondants, donc les droites AI, CG, DH passent par un point (v, 64), et les lignées sont perspectives.

67. Théorème. Lorsque deux faisceaux de quatre rayons ont un biquotient de même valeur et qu'en outr€ deux éléments

correspondants coïncident, les intersections des autres rayons correspondants sont sitttées sur une même droite et les faisceamt sont perspectifs.

Soient a, 6, c, d les rayons d'un faisceau, et a^, 61, c, d^^ ceux de l'autre ; soit en outre {abcd) = («ifticdi), et suppo-

sons que deux rayons correspondants c coïncident.

Par les points ooi, bbi menons une droite s. Le biquotient (abcd) est égal au biquotient analogue de la lignée aoi, bb^y se, sd, (v. 55) et (a^bicdi) au biquotient analogue de la lignée ooi, 661, se, sdii donc, en vertu de l'hypothèse, ces biquo* tients des deux lignées ont une même valeur {abcd). Par con^ séquent, les points sd, sdi coïncident, vu qu'avec trois points aa^y bbi, se ils doivent donner naissance à un biquotient de même valeur (v. 54).

Ainsi^ les rayons correspondants se coupent en des points aa^, 66j, etc., situés sur une même droite s. Les deux fais^ ceaux sont donc perspectifs (v. 36), et la ligne s en est l'axe de perspective.

68. Corollaire. Puisque deux faisceaux, ayant un biquo* tient de même valeur, peuvent être placés en situation de perspective, il en résulte que tout biquotient de l'un est égal au biquotient semblablement formé de l'autre (v. 58).

69. Théorème. Deux faisceaux de quatre rayons sont pers^ pectîfs, lorsquils ont un biquotient de même v€Ueur, et qtiun rayon de Vun coïncide avec un rayon quelconque de Vautre.

La démonstration est semblable à celle qui a été donnée précédemment (v. 66).

70*. Théorème. Lorsque deux fmillées de quatre plans ont un biquotient de même valeur et quen outre deux éléments^ (plans) coïncident, les plans correspondants se coupent en des lignes situées dans un même plan, et les deux feuillées^ sont perspectives.

Soient A, B, C, D les plans d'une feuîllée et A|, B^, C, D| ceux de l'autre; soit en outre (ABCD)===^ (A^B^CD^

et supposons que deux plans correspondants C coïncident. Par les droites AA^, BB^ menons un plan S. Le bi-

quotient (ABCD) est égal au biquotient analogue du faisceau AA^, BB^, se, SD (v. 57) et (A^B^CDJ au biquotient analogue du faisceau AA^^, BB^, SC, SD^ ; donc, en vertu de l'hypothèse, ces biquotients des deux faisceaux ont une même valeur. Par conséquent, les droites SD, SDi coïncident, puisqu'avec trois rayons AA^, BBu SC elles doivent donner naissance à un biquotient de même valeur- Ainsi les plans correspondants se coupent suivant des droites situées dans un même plan S, et les deux feoillées

sont perspectives (v. 38).

71. * Théorème. Detix feuillées de quatre plans sont perspectives, lorsquelles ont un biqtiotient de même valeur et quun plan de l'une coïncide avec un plan quelconque de Vautre.

La démonstration est encore semblable à celle du § 66.

72. Théorème, Lorsqu'une lignée et un faisceau de quatre éléments chacun ont un biqitotient de même valeur, il est toujours possible de les placer en situation de perspective, c'està-dire quon peut mettre les points de la lignée sur les rayons correspondants du faisceau.

Soit (ABCD) = (abcd).

Placez la lignée t de telle manière qu'un point A se trouve

sur le rayon correspondant a. Par les autres points B, C, D, menez des droites b^, c^, d^ parallèles à a. Le faisceau Oi, bu Cl, d^ a un même biquotient que la lignée A, B, C, D (v. 55) et par conséquent que le faisceau a, b, c, d ; de plus» les éléments correspondants a, ax coïncident; donc les deux faisceaux sont en perspective et se coupent en des points Al, Bi, Cl, Di situés sur une droite t^ (v. 67). Prenez sur cette dernière une longueur (A4I) égale à (AB), menez par I une parallèle au rayon a et par l'intersection B3 avec b une parallèle {3 à h. La lignée A3, B3, C3, D3 formée par les intersections de tg avec les rayons a, 6, c, d est en perspective avec ce faisceau. En outre, elle est égale à la lignée A, B, C, D ; car les différents segments sur h 6t sur t sont proportionnels aux segments correspondants sur t^; ils sont donc proportionnels entre eux; et puisque (A3B3) = (AB), il en résulte que (B3C3) == (BC), etc.

73"^ Théorème. Lorsqu'une lignée et une feuillée de quatre éléments chacun ont un biquotient de même valeur^ il est tot^ jours possible de les placer en situation de perspective^ cest^àdire qu^on peut mettre les points de la lignée dans les plam correspondants de la feuillée.

Coupez la feuillée par un plan quelconque, puis, au moyen de la construction précédente, mettez la lignée en perspective avec le faisceau des quatre intersections.

74* Théorème. Lorsqu'un faisceau et une feuillée de quatre éléments chacun ont un biquotient de même valeur ^ il est toujours possible de les placer en situation "de perspective^ c'est-àdire quon peut mettre les rayons du faisceau dans les plans correspondants de la feuillée.

Soient ai, &i, Ci, dx les rayons du faisceau et a, 6, c, d les intersections de la feuillée avec un plan perpendiculaire à l'arête; soit en outre (abcd) = (oab^Cidi).

SYSTÈMES PRIHAIRR3

Mettez tes deux faisceaux de manière à ce qu'une paire d'éléments correspondants a, ai coïncident; les faisceaux se-

ront alors en perspective et les autres rayons correspondants se couperont en des points situés sur une droite « (t. 67). Menez à SSi une perpendiculaire par son milieu et soit C le point où elle rencontre l'axe s. De C comme centre et avec se pour rayon tracez une circonférence, qui coupera s en deux points; puis joignez ces points avec S, Si par les droites i, t'i, j, ji. Il est évident que les angles (tj), (iiji) sont droits. Les faisceaux a, b, c, d, i, j, et <h, h, ci, di, \, ji sont en situation de perspective; tout biquotient formé avec quatre rayons de l'un est donc égal au biquotient formé avec les éléments correspondants de l'autre.

Placez ensuite ces deux faisceaux de manière k ce que t

coïncide avec û et soit Si l'axe de perspective où se coupent uoi, bbi, cci. Or, comme (abij)= (chb^iij^y les deux rayons j,yj doivent se rencontrer sur la même droite que a, ai, c'est-àdire sur Si; mais j, j^ sont parallèles, puisque les angles (ij), (i\j\) sont droits; donc j, jx sont parallèles à $i et par suite cette dernière ligne est perpendiculaire sur i.

Maintenant il ^ffîra de tourner le pian du faisceau a^, b^, C| autour de Si jusqu'à ce que S, se trouve sur la perpendiculaire^ érigée en S sur le plan du faisceau a, b, c, . . . Les plans menés par les rayons correspondants a, ai, etc., forment évidemment une feuillée égale, à celle qui est donnée •et contenant en outre le faisceau a^, 61, c^, di.

75. Nous venons de passer en revue les six combinaisons que l'on peut établir avec les systèmes primaires de quatre éléments, et nous avons par là démontré que si deux systèmes ont un biquotient de même valeur, il y a toujours possibilité de les placer en siluatiou de perspective. Il en résulte qu'ils sont alors projectifs. Ainsi :

Deux systèmes primaires de quatre éléments chacun sont projectifs, lorsquils ont un biquotient de même valeur.

Cette propriété générale est la réciproque du dernier théorème de l'article précédent; elle entraîne évidemment l'égalité de tous les biquotients formés avec les éléments correspondants (v. 62). Il nous sera donc permis de désigner dorénavant par le nom de systèmes primaires projectifs deux systèmes primaires ayant un bfquotient de môme valeur.

* Cette rencontre est possible seulement quand le sommet Si est plus éloigné de Taxe qne S, c'est-à-dire quand Tangle (aiti) da triangle aiim est moindre que Tangle (ai) du triangle aisi. Or si tel n*est pas le cas, U suffit de poser les deux faisceaux de manière à ce que j coïncide avec }'*, car (al ji) est alers moindre que (aj).

CSonstructions.

76. Problème. Etant donnés trois points A, B, C sur une droite t, en chercher un qtuitrième X tel quun certain biquo-

P tient de ces quatre points ait une valeur -^.

Admettons qu'on veuille avoir (ACXB) = -^; si la lettre X,

qui représente le point inconnu, n'occupe pas la troisième place dans le symbole, on l'y amènera par des permutations (v. 47).

Menez par un des points donnés A une droite quelconque ^i;

prenez sur cette dernière un segment (ACi) == p. Puis, dans le même sens, si p et g sont de signes contraires, sinon dans le sens inverse, vous porterez une longueur (CiBi) = ?. La droite menée parallèlement à t^ par le point de concours S de CCi avec BBi coupera t au point cherché X.

En effet, les quatre points Â, B, C, X sont en perspective

du centre S avec A, Bi, Ci, Xi, ce dernier étant le point in-

(AC) (AX) fini de h; donc le biquoticnt ^— ^ : ^--^ est égal à

(ACi) . 2^ (CiBi) • (XiBO'

Mais, d'un côté, T^r-^rr = P^r suite de la construc-

(CiBi) q

tion; de l'autre „ \ = — 1, en vertu de la définition

(^iBi)

du point infini (toutes les fois que le point de section est à l'infini, le rapport de simple section est égal à — 1 ; ce fait ressort de la construction indiquée à la page 22 : en effet, si Ton porte une longueur (AM) quelconque, puis en un sens inverse une longueur égale (MN), le point X s'éloigne à l'infini et le rapport de simple section vaut — 1). Ainsi

^ : 4^ c'est-à-dire (ACXB) a pour valeur -^ . (CB) (XB) q

77. Problème général. Etant donnés trois éléments a, b, C d'un système primaire en trouver nn quatrième \ tel qu'un certain biquotient (acxb) de ces quatre éléments ait une va-

P leur donnée -=— .

Nous ramenons ce cas à celui que nous venons de traiter. Si le système primaire n'est pas une lignée, nous le coupons par une droite f, puis nous cherchons sur cette aroite un point X tel qu'avec les trois intersections A, B, Cil donne nais-

sance à un biquotient (ACXB) dont la valeur soit— . L'élément 1 mené par ce point X satisfait à la condition posée.