Problème. Etant donnés trois points A, B, C sur une

droite t, en chercher un quatrième X tel que la lignée de ce$ quatre points ait un btqtwtient égal à celui d'une autre lignée de quatre points donnés A^, B^, C^, Xi.

Ce problème est identique avec le suivant :

Etant donnés trois points A, B, C d'une droite^ en chercher un quatrième X tel que la lignée de ces quatre points soit projective avec une lignée de quatre points donnés Ai, Bj, Ci, Xi-

Premier cas. Les deux lignées sont dans un même plan et sur des droites différentes.

Supposons le point X trouvé. Les faisceaux AAi, AB^, ACi, AXi et AiA, AiB, AiC, AiX, formés autour de deux points correspondants A, Ai ont respectivement les mêmes biquotients

que les lignées Ai, Bi, C|, Xi et A, B, C, X, avec lesquelles ils sont en perspective; donc les deux faisceaux doivent avoir des biquotients égaux; de plus, deux rayons correspondants AAi, A^A coïncident, donc les autres rayons correspondants se éoupent sur une droite ^ (v. 67). De là résulte la construction suivante, qui peut s'effectuer avec la règle seule :

DE QUATRE ÉLiHENTS

Menez une droite fa par les points de concours de AB^ avec ÂiB et de ÂC| avec A|G ; puis déterminez l'intersection des deux lignes AX|, t^; la droite qui passe par ce point d'intersection et par A^ coupe t au point cherché X.

Second cas. Les deux lignées sont situées sur une même droite t.

Projetez Tune des lignées A, B, G sur une droite i^ située dans le même plan; déterminez ensuite comme dans le cas précédent le point Xs qui correspond à X^. La projection X de Xa sur t sera le point cherché; car

(AiBiCiXi) = (A,B,C,X,) ^ (ABCX)

Troisième cas. Si les deux lignées îy t^ ne sont pas dans 4in même plan, on même une droite t^ par deux points donnés A, C^ jion correspondants. On projette ensuite la lignée t

:sur ti depuis un point T situé sur CCi ; on obtient les points A, Bj, Cl, Xa. Par l'intersection S de AAi avec B^Bi on lire la droite SXa qui coupera h en Xu En effet les quatre

points A, B, C, X sont en perspective avec A, B,, Ci, X,, et ceux-ci avec Ai, Bi, G^^ X^; donc le premier système est projectif avec le dernier. ^

79. Problème général. Etan$ donnés troiê éléments a, b, C d'un système primaire, en trouver un quatrième \ tel quun certain biqu^tient (acxb) de ces quatre éléments soit égal au hïquotient analogue (ftiCiIibi) d'un • second système primaire donné, ou bien

. Etant donnés trois éléments a, b^ C d'un système primaire^ en chercher un quatrième x tel que le système de ces quatre éléments soit projectif avec un autre système primaire donné.

Si le premier système n'est pas une lignée, nous le coupons par u|ie droite; nous faisons de i^ème pour le second système. Nous cherchons ensuite comme dans le problème précédent un quatrième point tel que les deux lignées soient projectives. L'élément qui passe par ce point est celui qu'on doit trouver.

PROPRIETES PROJECTIVES