De ce dernier théorème résulte que

Deux systèmes primaires t, U sont projectifs l'un avec Vautre, si chacun d'eux est projectif avec un troisième t^,

DETERMINATION DE DEUX SYSTÈMES PROJECTIFS. 83. DeUX

systèmes primaires sont complètement déterminés par la donnée de trois paires d'éléments correspondants a, fti, h, bi, e, Ci, et par conséquent ils sont égaux, si l'on peut faire coïncider trois éléments a» 6> C de l'un avec les éléments correspondants de l'autre.

En effet, il existe toujours un seul et unique élément x^ qui dans 1 un des systèmes ti puisse correspondre à un élément quelconque x donné dans l'autre, vu que le groupe Al» bi» Cl II doit avoir un biquotient égal au biquotient analogue des éléments correspondants a, b, C, X.

Situation en perspective. — 84. Deux systèmes primaires sont perspectifs, lorsqu'ils sont projectifs et quen outre trois paires d^ éléments correspondants sont en situation de perspective.

Si a, b, C et ai, bi, Ci, sont en perspective, il en sera de même d'une quatrième paire quelconque X, X4 puisque les , biquotients analogues de ces deux groupes de quatre éléments sont égaux (v. 63).

Construction. — 85. Etant donnés deux systèmes primaires t, ti par trois couples d'éléments correspondants, on peut se proposer de construire l'élément Xi qui dans ti correspond à un certain élément x de t« Il suffit alors de placer les deux systèmes de manière à ce que trois couples d'éléments correspondants soient en perspective; celui des éléments de (^ qui se trouve alors en perspective avec x sera

56 STSTÉMES PRIMAIRES

l'élément cherché. Au reste, il y a encore d'autres procédés, dont l'application est plus facile suivant les cas (v. 79).

Equation entre deux systèmes projegtifs. — 86, Il est possible d'exprimer, au moyen d'une équation du premier degré, la relation qui existe entre deux systèmes primaires projectifs t U- Soient en effet a, b, C trois éléments de t; si l'on donne dans ti les trois éléments Ki, bi, d qui doivent leur correspondre, les deux systèmes seront déterminés, et une quatrième paire quelconque x, Xi satisfera nécessairement à la condition

(axcb) = (aiXiCibi)

Or le biquotient de quatre éléments peut s'écrire sous une forme particulière, si Ton rapporte les éléments à des origines

fixes. Considérons d'abord le cas où le système t est une lignée et choisissons comme origine un point fixe k dé cette lignée, en regardant l'un des sens de la droite comme positif et l'autre comme négatif. Mais

(ax) = (ak)+(kx) = -(ka)+(kx) (xb) = (xk)+(kb) = — (kx)+(kb)

etc (v. 32);

Nous en concluons que

r i.N(«) (ac) — (lca)+(l(x) ^ (ka)+(ko) Caxcb) - (5S) = (^ ~ - (kx)-t-(kb) '■ -(kc)+(kb)

Les distances des points a, b, C, X à l'origine k, c'est-à-dire

les longueurs (ka), (kb), (kc), (kx), étant représentées respectivement par les lettres a, b, c, x, le biquolient (axcb) pourra s'écrire

Si, au contraire, le système t est un faisceau, nous prendrons pareillement un rayon fixe k, à partir duquel les angles seront mesurés. Quel que soit le sens regardé comme positif,

(ax) = (ak)+(kx) = — (ka)+(kx)

d'où

Sin(ax) = — Sin(ka;.Cos(kx)+Sin(kx).Cos(ka)

Pour la même raison

' Sin(xb) = — Sin(kx).Cos(kb)+Sin(kb).Cos(kx) et ainsi des autres. .

Donc le biquotient (axcb) ou

Sin(ax) . Sin(ac)

Sin(xb) Sin(cb)

est égal à

— SiD(ka).Cos(kx)+Sin(|(x).Cos(ka) .

— Sin(kx).Cos(kb)+Sm(kb).Cos(kx) *

— Sin(ka).Cos(ko)+Sin(kc).Cos(ka) — Sin(kc).Cos(kb)+SiD(kb).Cos(kc)

et par conséquent à

— Tang(ka)+Tang(kx) — Tang(ka)+Tang(kc)

— Taag(kx)+Tang(kb) ' — Tang(kc)+Tang(kb) Cette dernière expression devient

si Ton admet que les lettres a, b, c, x représeittent ici les tangentes des angles formés par les rayons a, b, C, X avec un rayon fixe k.

Lorsque le système t est une feuiilée, le même raisonne* ment est encore applicable.

Ainsi quelle que soit la nature du système primaire a, b, 0, X> le biquotient (axcb) pourra s'écrire sous la forme

— a+x — a+c —x+b • — c+b où les lettres a, b, c, x représentent, dans le cas d'une lignée, les longueurs des segments (ka), (kb), (kc), (kx) formés par les points respectifs a, b, C, X avec un point fixe k de la même lignée et, dans le cas du faisceau ou de la feuillée, les tangentes des angles (ka), (kb), (kc), (kx) formés par les > éléments respectifs a, b, C, X avec un élément fixe k.

87. Revenons aux deux systèmes primaires t, ti proposés. Prenons dans le système t une origine k et représentons par a, b, c, X, suivant les cas, soit les longueurs (ka), (kb).... soit les tangentes des angles (ka), (kb)... Alors

(•■«*) = z=^ ^ zr^

En fixant de même dans le système t| une origine l^, et eo

représentant par a^, h^, C|, X| les longueurs (\A\ (libi)>

ou les tangentes des angles (liai), (li bi)..., nous aurons

i^aiXiCiDiJ .

— Xi+bi , — C|+bi

Mais les deux systèmes t, ti sont projectifs, donc

(axcb) = (aiX^Cibi)

et par suite

,.v — a+x -^a+c — a^+Xj . — at+Ci ^ ^ — x+b • — c+b ~ — xi+bi ' — c^+b, Âpres avoir effectué les opérations nécessaires pour ordonner cette expression par rapport à x et x^, nous aurons la relation suivante * :

(2) I a(b,-cO+b(c,— aO+c(a,-bO j x x, — j aai (bi— cO+bbi(C|— a|)+cci(ai— bi) J x + jaai(b— c)+bb4(c — a)+cci(a — b)| X|

jaai(bc4 — b|C)+bb4(cai — Cia)+cci(ab| — a^b)/ = Of

{*) L'éqaation (2) peut, au moyen de la théorie des dètermi-^, nanls, se déduire de la précédente (1),' pour ainsi dire sans aucun calcul. En effet, elle doit être évidemment du premier degré, soit par rapport à x, soit par rapport à x^ : elle est donc de la forme

xxi+ix+^Xi+iL=o

où les coefficients — , X. JL sont inconnos. De plus, il faut

qu'elle soit satisfaite, quant on remplace x, x^ par les trois couples de valeurs a, a^, b, bj, c, c^.

Donc on a

aa^-J a+ -^ a, H — i- s*=

bbi+-^b+-^bi+^=0 mm m

cCi+-iLc+-^Ci+^=0

60 SYSTÈMES PBIMAIRES

que nous exprimerons plus brièveïuent par

(3) micx'i+nx+pxi+q =

. où

m — a(b|— C4)+b(Ci— a4+c(a|— bi) /^N ; » = — aai(bi— cO— bbi(c4— a^)— cc^Cai— bO ' p ==« aai(b — c)+ bbi(c — a)+cC|(a — b) q = — aai(bC| — b^c) — bl)4(cai— Cia) — cci(abi — aib)

88. L'équation générale à quatre termes (2) est ainsi la traduction algébrique de la relation qui existe entre deux systèmes primaires projectifs; on en peut déduire facilement les principales propi'iétés que nous avons vues jusqu à présent. En premier lieu, elle est symétrique par rapport aux deux systèmes, puisqu'elle est vérifiée quand on remplace a, b, c, x par ^1» b|, C4, X4 et vice-versà; donc les deux systèmes jouent te môme rôle l'un vis-à-vis de l'autre. Elle est également symétrique par rapport aux différentes paires d'éléments correspondants, car elle n'est pas modifiée, si l'on permute a, a4 avec b, h^ ou avec c, d- De ce que l'équation est du premier degré soit en x, soit en X|, on en conclut qu'à une valeur donnée x correspond toujours une seule valeur X4; en d'autres

Si, entre les quatre dernières équations , on élimine les quantités inconnues .^r- , ~ > --L qui sW trouvent au premier degré,

on obtient le déterminant

XXi X Xj 1

aai a a^ 1 — - n bbi b bi 1

CCi. „c Cl 1

Telle est la forme élégante sous laquelle on peut écrire l'équation (2). Les coefficients de xx^, x, Xj ^t le terme connu s'obtiennent sans difficulté.

termes à un élément x du premier sjrstème correspond toujours un seul élément Xi du second et réciproquement. Enfin il est clair que l'équation est complètement déterminée, lorsqu'on donne les valeurs a,a4, b, b|, c, Ci : ce qui revient à dire que deux systèmes projectifs sont déterminés par trois paires d'éléments correspondants.

Si les deux éléments correspondants c, Ci sont pris pour origines, les quantités c, C| seront nulles et l'équation (2) deviendra

(5) (abi — aib)xxi— a^biCa— b)x4 +ab(ai — bi)xi= 89. Réciproquement lorsqu entre les longueurs des segments (ou les tangentes des angles) formés par les éUmenis correspondants X, X4 de deux systèmes primaires t, ti avee des origines fixes k, 11, il existe une relation exprimée par une équation du premier degré, les deuœ systèmes sont projectifs.

Soit

mxxi+nx+pxi+q =

l'équation donnée ; soient en outre x, Xi, a, ai, b, bi, C, C|

quatre paires quelconques d'éléments correspondants et X, Xi, a, ai, b, bi, c, Ci les longueurs des segments ou les

tangentes des angles (kx), (li Xj), (ka), (li ai)

De l'équation ci-dessus on déduit

nx+q

ai ==

bi =

mx+p na+q ma+p nb+q mb+p

nc+q mc+p

et par suite

Les biquotients (axcb), (aiXiOibi) peuvent s'écrire

— a-hx — a+c

— x^+b/ — Ci+bi

Or, si l'oD substitue dans cette dernière expression à la place de .X|, ai, b|, C| les Valeurs ci-dessus, on trouve que les deux biquotients sont égaux. Donc les deux systèmes t, ti sont projectifs.

90. L'étroite parenté que nous venons d'établir entre la relation de deux systèmes primaires projectifs et l'équation du premier degré est très^importante au point de vue des ^applications. Un simple coup d'œil suffit quelquefois pour montrer que deux systèmes primaires t, t| sont projectifs. En effet, si nous désignons par x, X|, les longueurs des segments (éventuellement les tangentes des angles) formés par les éléments correspondants x, X4 avec des origines fixes l(, Ij, il est clair qu'à une valeur donnée x correspondra toujours une seule valeur x^ et vice-versà, quand les éléments des deux systèmes t, t| se correspondent un à un. Or cette relation traduite en algèbre amène entre x et x^ une équation du premier degré pac rapport à l'une quelconque de ces quantités, toutes les fois qu'il ne s'agit point d'une question de nature transcendante. Nous en concluons que les deux systèmes t, t^ doivent être alors projectifs. Ainsi

Deux systèmes primaires complets dont totis les éléments se correspondent un à un sont projectifs, quand il ny a pas entre etix une relation de nature transcendante.

Si l'on a reconnu que les éléments de deux systèmes se correspondent un a un, on peut généralement admettre qu'ils sont projectifs. 11 suffit donc de construire trois paires d'élé-

meDts correspoQdaDts; la construction d'une quatrième paire se fera dès lors sans au'cune difficulté. Les exemples suivants et qui o'ont rien de transcendant, montreront les précieux avantages de cette méthode féconde.

Applications. — -91. On donne dans un plan deux droites fixes t, fj et un angle qui tourne autour de son sommet T. Dans la position (xx^ de l'angle, le premier côté x coupe la droite ( en un point X, tandis que le second x^ rencontre ï, enX,.

Si ta droite x tourne jusqu'à ce qu'elle reprenne sa positionînitîale, elle décrira tons les points de (; pendant ce temps, X, parcourra également tous les points de t^. Nous obtenons ainsi deux lignées i, (, et nous remarquerons de suite qu'à un point quelconque X de l'une d'entre elles correspond un seul point X, de l'autre. Nous en concluons que les deux lignées t, t^ sont projectives, ce qu'il est du reste facile de vérifier.

Soient en effet A, B, C, X quatre points quelconques sur (, «t Al, Bi, Cl, Xi les points simultanés ou correspondants sur (,. Les an^es ATA^, BTB^ sont égaux en vertu de l'hypothèse; donc, si on les retranche chacun de l'angle ATB., les restes

AiTBj . ATB seront égaux. Il en est de même pour les autres angles correspondants A^T X^ , ATX, etc. En conséquence, tout biquotient du faisceau des quatre rayons TA^, TB^, TC^ ^ TX^ est égal au biquotient analogue du faisceau TA, TB, TC, TX et par suite tout biquotient des quatre points Ai, B^, Cl, Xj est égal au biquotient formé d'une manière semblable avec A, B, C, X (v. 55); donc les deux lignées t, t^ sont projectives (v. 81).

Trois paires de points A, Ai, B, B^, C, C^ étant construites avec la règle et le compas, toutes les autres paires pourront s'obtenir avec la règle seule. Si l'on donne, par exemple, le point X, on trouvera le point X^ d'après l'un des procédés que nous avons vus (v. 78).

92. On donne dans un plan un point T et deux droites f, t^ fixes. Un segmenir (FX) d'une longueur constante se meut sur une droite t. Dans chaque position on mène par T et par l'extrémité F une droite TF qui coupera t^ eu un point Xj.

A chaque point X de t correspond ainsi un seul point Xi sur t^ et vice-versâ. Donc les deux lignées sont projectives. Si l'on glisse toute la lignée t sur elle-même jusqu^à ce que le

point X vienne là où se trouvait F, les deux lignées seront en perspective.

93. Dans un plan sont donnés deux points fixes T, T^, une droite variable oo passant par T, et une perpendiculaire x^ abaissée du point T^ sur chaque droite x.

A chaque rayon du faisceau T correspond une seule droite par Tj et vice-versâ. Donc les deux faisceaux T, T| sont projectifs; on peut s'en convaincre par Texamen des biquotients analogues,

94. On donne dans un plan un point T et deux droites fixes ty fj. On mène par T une droite variable x qui coupe t en un point X, et de ce dernier on abaisse chaque fois sur t^ une perpendiculaire, qui rencontre t^ en X^.

A chaque rayon x du faisceau T correspond un seul point X^ sur t^ ; et réciproquement à chaque point X^ de la lignée ^1 correspond une seule droite par T. Donc le faisceau T et la lignée t^ sont projectifs.

95. On donne un point T et une droite t. Par cette dernière on mène un plan variable X, sur lequel on abaisse chaque fois du point T une perpendiculaire x.

A chaque plan X de la feuillée t correspond une seule

droite x par T; et réciproquement à chaque rayon x du faisceau T correspond un seul plan A'' passant par t. Donc la feuillée t et le faisceau T sont projectifs.

Deux lignées pro]eotives en général.

Génération de deux lignées projectives. — 96. D'après la définition que nous en avons donnée, deux lignées sont projectives, lorsqu'elles peuvent être placées en perspective. Examinons comment dans cette situation les différents points se comportent entré eux, et recherchons s'il n'y en a i^s qui jouissent d'une particularité remarquable.

La projection des points d'une lignée t depuis un centre S

sur un plan ou sur une autre droite située dans le plan projetant, engendre une nouvelle lignée t^ qui est projective avec t. Le rayon qui passe par un point A de f détermine sur fj le point correspondant A^ ; et réciproquement le rayon

mené par le point A^ détermine sur t le point correspondant A. Les deux points A, A^ Jouent donc le même rôle l'un à l'égard de l'autre.

L'intersection G des deux droites t, t^ est en même temps sa projection G^. Ge point est quelquefois nommé le point commun des deux lignées.

Le point infini de t sera généralement désigné par L Le rayon projetant du point I est d'après notre convention (v. 3) une parallèle à t. L'intersection I^ de cette parallèle avec r^ est donc le point correspondant de L Lorsque le rayon projetant parcourt successivement tous lés points de t de manière à tendre de plus en plus vers le point infini I, son intersection avec t^ s'approche en même temps de plus^en plus d'une position limite I^. De même si l'on désigne, comme nous le ferons communément^ par J^ le point infini de t^^ on obtient sur t et sur le rayon parallèle à t^ un point J, qui sera le correspondant de J^. Ges quatre points I, I^, J, J^ jouissent de propriétés importantes et seront appelés dans la suite les points limites des deux lignées.

Supposons qu'un rayon décrive en partant de SJ l'angle intérieur JSI^ du parallélogramme JSIiG, puis continue sa marche pour revenir à sa position initiale ; il parcourra simultanément d'abord les parties JAGBI et IjAiGifiJi ensuite IXJ et IiXiJj. Il y a donc dans les deux lignées quatre branches, que séparent les points limites et qui se correspondent une à une. Par conséquent, si un point B est situé sur la branche JA, c'est-à-dire du même côté que A par rapport au point limite J, le point correspondant Bi sera pareillement sur la branche correspondante IiAi, ou si l'on veut du même côté que Ai par rapport à Ii.

Cas particuliers. Le centre de projection S peut être à Tinfini. Dans ce cas deux segments projectifs quelconques (AS),

(ÂiBi) sont dans un rapport constant; de plus le rayon SI> qui joint le centre avec le point infini de tj a deux points S, I à l'infini, et par suite il se confond avec la droite infinie du plan : en conséquence, le point correspondant Ii est pareillement à l'infini. Nous en pouvons dire autant lorsque les

lignées t, t^ sont parallèles. Dans l'un et l'autre cas, les segments projectifs sont proportionnels, les deux points I, J^ se correspondent et par conséquent les points limites se

GOMPLUTS

trouvent tous à l'infini. C'est là ce qu'on appelle des lignées semblables.

Si le centre S est à l'infini et si, de plus, les droites t, t