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sont parallèles, non seulement les points infinis se correspondent, et les segments projectifs sont proportionnels comme cidessus, mais encore il y a égalité entre ces segments. On dit alors que les lignées sont égales.

Nous faisons maintenant abstraction de la situation en perspective et admettons que l'on puisse déplacer les deux droites I, h sans rien changer à la position relative des points d'une même droite, ni à la correspondance entre les points des deux lignées.

Détermination de deux lignées projegtives. — 97.<Deux lignées projectives t, h sont complètement déterminées, quand on donne trois couples de points correspondants A, Aj, B, Bi, C, Cl (v, 83). Il suffit, pair conséquent, de connaître une paire A, Ai et les points limites J, h, parce qu'alors, en tenant compte des points infinis I, Ji, on possède trois paires. On construit facilement avec la règle le point Xi qui dans une lignée correspond à un point X de l'autre (v. 78).

70 systèmes primaires

Relations entre les rapports de simple section. — 98. Soient deux lignées projectives (, h déterminées par trois paires de points correspondants A, Ai, B, Bi, C, Ci. Une quatrième paire X, Xi doit satisfaire à la condition

(AXCB) =* (AiXiCiBJ donc on a

ièH. (AC) ^ (A,X,) ^ (A,C,) ^ ' (XB) • (CB) (XiBi) • (C^Bi)

d'où

(AX). (AiXx) (AC) , (A,C,)

^^ (XB) • (XiBt) (CB) • (CxB,)

Si l'on remplace X par J et si l'on observe que

Ml= 1

parce que le point de division Ji est à l'infini, on obtient

(AC) . (AiC) (AJ)

^ ^ (CB) • "(C^BJ (JB)

Ites équations (7) et (8) résulte le théorème :

Dam dmx lignées projectives le qtÂOtient de deux rapport»

de simple section correspondants ; J , ;^ \

(XB) (XitJj

leur constante, lors même que les points de division X, Xi

varient; et cette vttieur constante est égale au rapport de

Simple section — -—-^ . ^ (JB)