Si les points infinis se correspondent , c'est-à-dire si

J est à l'infini, le rapport LÀ. est égal à — 1, et par con-

(JB)

séquent on a

a une va-

m (AX) (AxX,)

(XB) (XiB,)

,,., (AX) (XB)

ou (10) ^

(A,XO (X,BJ

Lorsque dans detix lignées projectives les points infinis se correspondent, il s* en suit que les segments projeetifs sont proportionnels ; les lignées sont alors semblables. Si de plus deux segments projeetifs sont égaux^ il en est de même pour tous les autres, et les lignées sont égales.

Distances 0es points correspondants aux points limites. — 100. Les quatre points A, J, I, X et leurs correspondants

-or»

satisfont à l'équatioa

(jx) • (IX) (jaXi) • aixo

mais chacun des rapports M , ^^ est égal à -

donc on a

(AJ) (I,X,)

(JX) . (AJi) d'où

(1 4) (XJ) (Xili) = (AJ) (AJJ Donc, en regardant A, A^ J, I^ comme fixes et X, Xi comme variables, on peut. énoncer le théorème suivant:

Dans deux lignées projectives le produit des distances (XJ), (^i\) de deux points correspondants variables X, X^ aux points limites respectifs J, Ii a une valeur constante.

101. Réciproquement, lorsque dans deux lignées dont les points se correspondent un à un, le produit des distances de deux points correspondants quelconques X, Xi à deux points fixes J, I^^ situées sur ces lignées a une valeur constante et de même signe les deux lignées sont projectives.

Soient A, Ai deux points correspondants-; on aura, en vertu de l'hypothèse

(XJ) (X,I,) = (AJ) (AJ,) Les points J, Ii regardés comme points limites et A, A^ comme correspondants déterminent deux lignées projectives (v. 97); appelons Xg le point projectif de X. D'après le théorème précédent, il faut que

(XJ)(XJ,) = (AJ)(AiIi), donc (XJ)(X2li) = (XJ)(XJ,)

Cette égalité ne peut avoir lieu que si Xa coïncide avec Xj, ce qu'il fallait démontrer.

102. Il en résulte qu'étant donnés deux points correspondants A, Aj dans deux lignées projectives t, ti, si l'on prend de l'autre côté des points limites J, I^ deux points X, X^ situés à des distances égales en valeur absolue à celles de A, A^, les points X, X^ seront correspondants, car ils satisferont à la condition

(XJ)(X,I,) =^ (AJ)(AJJ

Donc

Dans deux lignées projectives il y a symétrie par rapport atuv points limites J, h. En d'autres termes, si l'on tourne autour du point limite J l'une des branches de t de manière à

ce qu'elle tombe sur l'autre et si l'on fait la même chose pour t^y deux points quelconques qui coïncideront dans t auront pour correspondants deux points qui coïncideront également.

CâRAGTÉBISTIQUE des lignées PROJECTIVES. — 103. Le

produit constant (XJ)(Xil4) des distances de deux points correspondants aux points limites J, I^ sert à déterminer numériquement deux lignées projectives, abstraction faite de leur position dans l'espace. En effet, si ce produit est le même pour t, t^ et pour s, s^y la première lignée t étant superposée sur s et la seconde t^ sur s^ de manière à ce que les points limites coïncident, il faudra, en vertu de l'hypothèse, que deux points quelconques superposés de t et s aient pour correspondants deux points superposés de h et s^.

Si les points infinis se correspondent le produit (XJ)(XiIi) est alors infini et ne peut pas en conséquence servir de caractéristique. Les lignées, étant alors semblables, sont déterminées par la valeur du rapport constant -i — L des seg-

(AiX,)

ments projectifs (v. 99).

Points des segments nuls. — 104. Généralement dans les lignées non semblables, les distances de deux points correspondants aux points limites J, Ii sont différentes. Toutefois pour deux paires de points ces distances sont égales entre elles. La construction de ces points peut s'effectuer comme suit :

Superposez les deux lignées l'une sur l'autre de manière à ce que I^ coïncide avec J et que A^ tombe du côté de A en Ai; construisez un cercle sur le segment des points extérieurs A, J comme diamètre, puis menez une perpendiculaire à la droite

74 STSTÈMES PHIMAIRES

âJ par le troisième point Âi. La distance du point J à Tintersection Ga de la perpendiculaire avec le cercle est la distance

AXi, C

cherchée : en la portant sur les deux lignées de part et d'autre des points limites, on obtiendra de la sorte quatre points. Nous désignerons généralement par G et G^ les deux points situés sur deux branches correspondantes et par H et Hi les deux autres.

Il est évident que G et Gi sont projectifs; car, d'après ua théorème de géométrie élémentaire, la corde (GgJ) est moyenne proportionnelle entre le diamètre (AJ) et sa projection (A2J) sur le diamètre; en d'autres termes on a

(G2J)(G,J) = (AJ)(A,J) donc

(GJ) (GJi) = (AJ)(AJi)

On en conclut que G et Gi sont correspondants (v. 101); de même pour H et Hj.

Ces points G, H, Gi, Hi jouissent de plusieurs propriétés remarquables et reçoivent pour une raison que nous allons bientôt voir, le nom de points des segments nuls.

Segments projectifs égaux. — 105. Soient deux lignées t, tx déterminées par' les points A, J, A^, I^. L'équation (1 1)

donne la proportion : (AJ) : (IiXi) =^ (XJ) : Gi^i); or 1^ différence des antécédents est à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent :

(AJ)-(XJ) : (I^XO-OiAi) = (AJ) ; (IiXi) = (XJ) : (I^A,) ou

(AJ)+(JX) : (A,I,)+(IiX,) = (AJ) : (I,X,) = (XJ) : (I,A, ) donc

(12) (AX) : (AiX,) = (AJ) : (l^X,) = (XJ) : (I,A,) En conséquence, si Ton prend sur i un point X tel que (XJ) soit égal à p fois (I1A4), le segment (AX) sera pareillement égal à p fois sa projection (A1X4). Nous pourrons donc résoudre le problème suivant :

Etant données deux lignées projectives t, t^ et tme paire de points correspondants A, Ai, trouver un point X tel que le segment (AX) soit égal à sa projection (A4X4).

Il suffit de porter sur t du même côté que A par rapport à J une longueur (XJ) égale à (liA|). On peut, sans employer

l'un des procédés vus plus haut (v. 78), construire le point X^. En effet, la proportion (12) montre que (AJ) = (ïi X^) si (AX) = (AiXi), On portera donc pareillement sur tj^ du côté de A| une longueur (IfXi) égale à (AJ). Les deux points obtenus X, X| sont correspondants, puisqu'ils satisfont à la condition (XJ)(XiIi) = (AJXAJi), et de plus les segments projectifs (AX), (A^X^) sont égaux.

Si l'on prend sur l'autre branche de t une longueur (BJ) égale à (Âil|) et sur l'autre branche de t^ une longueur (BJi) égale à (AJ), on obtiendra une nouvelle paire de points correspondants, puisque (BJ) (B,J|) = (AJ[)(AJ|); en outre (AB)=(A,B4). Il y aurait donc une seconde paire de points B, Bi formant/lavec la paire donnée A, A| des segments égaux; mais nous remarquerons que si, dans la position de perspective, le rayon projetant parcourt la partie (AB), il parcourt simultanément non pas (AB), mais toute la droite ^i hormis ce segment. De pareils segments dont les extrémités seules sont projectives et qui comprennent les points limites peuvent être appelés segments négativement prqjectifs.

Nous concluons de ce qui précède la propriété suivante : Lorsqtie dans deiio? lignées projectives on donne une paire de points correspondants A, A^, et que les points limites ne sont pas à Vinfini, il est toujours possible de déterminer une seconde paire X, X| telle que les segments (AX), (AjX^) soient projecttfs et égaux ; il est encore possible de déterminer une troisième paire B, B| telle que les segments (AB), (A4B1) soient égaux, mais négativement projectif s.

Vu la symétrie dans la correspondance des deux branches de t avec les deux branches de t^, il est clair que, si l'on fait du côté de B la longueur (CJ) = (AJ) et du côté de B, la longueur (C4I4) == (AiJ^), les points C et Ci seront correspondants, et de plus (BC) == (BjC^). Donc on a des deux côtés des points limites deux segments (AX), (BC) égaux entre eux et à leurs projections. Remarquons encore qu'on obtient aussi deux segments (CX), (C1X4) égaux à (AB) et (A4B4), mais négativement projectifs comme ces derniers.