EJ)(EI,) = (AJ)(A JO = (GI

En d'autres termes, le point E doit partager le segment (JIi) en deux parties dont le rectangle soit égal au carré de (Gl). Réciproquement, tout point E qui satisfait à cette condition, est un point double (v. 101). Or, quand (JIi) n'est pas plus petit en valeur absolue que 2(GJ) ou que (GH), il existe un tel point E; son symétrique F par rapport au milieu de (JIi) jouit de la même propriété. Les segments (EF), (EjFi) sont égaux et projectifs.

137. Cas particuliers. Quand les deux lignées sont semblables, les points infinis se correspondent et sont superposés; ils forment ainsi l'un des points doubles. Les segments projectifs étant proportionnels, on a

(AX;) : (A,X,) = (AB) : (A^B,) et réciproquement deux points X, X^ qui .satisfont à cette relation se correspondent l'un à l'autre. Donc le point F qui partage le segment (AAi) dans le rapport (AB) : (B4A4) est le second point double, puisqu'on a la proportion