AF) : (A,F) = (AB) : (A.B

Enfin, quand trois points coïncident avec leurs correspondants , il doit en être de même pour les autres paires. Tous les éléments sont des points doubles et les deux lignées sont identiques.

Construction des points doubles. — 138. D'un point T pris sur la circonférence d'un cercle projetez sur celle-ci les lignées A, B, C,.... A|, B^, Ci,.... respectivement en a, b, c,..., ^i> bi> Cl,... Soit p ta droite menée par les intersections (ab^, a^b), (ac^, a,c), (bc^, b^c),... (v. 110).

Pour obtenir le point X4 qui correspond à un point donné X,

il suffit de mener une droite a^xpar les projections du point X *6t d'un point A| de la seconde lignée, puis une autre droite par le point homologue a et l'intersection de a^x avec p, La dernière ligne menée rencontre la circonférence eh x^; la droite Tx^ détermine le point cherché X^. En particulier, les points E, F dont les projections e, f se trouvent à la fois sur p et sur la circonférence, sont les points doubles des deux lignées; car si l'on cherche leurs correspondants, on obtient les mêmes points. De ce qui précède résulte la construction suivante :

On projette depuis un point T de la circonférence d'un cercle ^ur csUe circonférence trois paires de points A, A4, B, B|, C, Ci respectivement e#i a, a^, b, b^, c, C|; puis on mène la droite p par deux des trois intersections (ab|, a^b), (aC|, a^c), (bc^, b^c). Les rayons ' menés du point T aux intersections de p avec le cercle passent .par les points doubles E, F.

139. Etant donnés deux paires de points A, A4 B, B|, et an point double E, construire le second F.

Projetez d'un point quelconque S les deux points A, B sur mQ droite t^ menée par E. La droite qui joint le point S avec

l'intersection S^ de A1A5, B^Bj passera par F. En effet, les deux lignées A, B, E, F. et A|, B^, E,.F étant perspectives.

chacune avec A^, Bg, E, Fg sont projeclives entre elles et par conséquent F est un point double.

Si les deux lignées superposées sont semblables, le point E se trouve alors à l'infini (v. 137), et' la droite ta devient parallèle à AB.

Si les deux lignées sont semblables et si de plus les segments (AB), (A|B,) sont égaux et de même signe, le point E sera encore à l'infini, et ta restera parallèle à AB, comme dans le cas précédent. Le centre S étant pris à l'infini, il fau* dra que la droite SSi et par suite l'intersection F de SSi avec AB soient situées également à l'infini.

Propriétés deb points doubles. — .J40. Le quotient

-; : '! des rapports de simple section des points doubles Xr^ X|F

E, F par deux points correspondants variables X, Xi a une

valeur constante égale à — -7-- (v. 98).

^ (JF) ^

141. Deux lignées projectives superposées sont semblables, quand elles ont un point double à V infini; elles sont, en outre, égales et de même sens, quand elles ont deux points doubles à l'infini.

Ce théorème se démontre aisément par l'impossible.

142. Entre les segments (KX) ou x et (LiX^) ou x^, il existe (v. 87) une équation de la formé ■

(27) mxxi + nx + pxi + q =

Lorsque l'origine L^ côïncideavetrR, et que x = Xi, les

K II E Oi Qr- F

poiots correspoadaDts sont des poiots doubles. Ceux-ci sont alors donnés par les racines de l'équation

(28) x' + .lt^x+-i =

^ mm

Le coefficient du second terme, pris négativement, représente la somme des racines, c'est-à-dire la double distance de l'origine K au milieu du segment des points doubles; le troisième terme est le produit des racines ou des distances des points doubles à l'origine K.

Le point est aussi le milieu du segment (JIi) des points limites. En. effet, la distance-KO ayant pour valeur

est égale à

c'est-à-dire à la demi-somme des longueurs KJ, L^Ii (r. 113). L'équation (27), rapportée au point comme origine, doit être satisfaite par les trois couples de valeurs

x = (01) ===<>, x, = (OI,).

1 = (OJ) (01,), xi = (OJ,) = ->=

On en déduit que

n = — m(OIi)

P = m(OI.)

q == — m(OI0(OO,)

L'équation (28) des points doubles devient, grâce à ces substitutions,

donc

(OE) ou (OF) = ± V(OIi)(OOJ

Pour que le second membre soit une quantité réelle, il est nécessaire et il suffit que les deux segments (OIi), (OOi) soient de même signe; ainsi

Les points doubles de deux lignées projectives superposées sont réels, lorsque le potnt 0^ correspondant au point milieu du segment (JI^) des potnts limites est situé du même côté que son point limite I4 par rapport au point milieu. Si tel nest pas le cas, le produit (01i)(00i) est négatif, et les points doubles sont imaginaires ; néanmoins leur milieu et le produit de leurs distances à un point quelconque des lignées sont encore deux quantités réelles, qui les déterminent par V équation (28).

143. Quand deujc lignées projectives situées sur une même droite nont pas de points doubles réels, il existe de part et d'autre de cette droite un point d'où l'on voit sous des angles égaux et formés dans un même sens de rotation tous les segments compris entre deux points correspondants.

Soit le point milieu de (JLi). Son correspondant 0^ ne doit pas être situé du même côté que I^ par rapport à 0,