XJ OK
puisque les points doubles sont imaginaires. Prenez sur la perpendiculaire en une longueur (OS) moyenne proportionnelle entre (OOi) et (OIi). Je dis que l'angle XSXi sous
lequel on voit du point S deux points correspondants quelconques X, X| a une grandeur constante.
En effet, l'angle 1SI| = JSJ|; de plus, comme
(OJ) : (OS) = (OS) : (00,),
les deux triangles rectangles SOJ, 800, sont- semblables et par suite l'angle OSO, == OJS = JSJ,. En outre, vu la position du point O4, l'angle OSO, a le même signe que JSJ,. Si l'on tourne le faisceau SI, SO, SJ, SX d'un angle égal à ISIj, les trois premiers rayons coïncideront avec leurs correspondants, et puisque les deux faisceaux sont projectifs, les quatrièmes rayons SX, SX, devront aussi coïncider. Donc l'angle XSX, est constant.
144. La réciproque du dernier théorème se démontre facilement. Or, les points doubles, tout en étant imaginaires, sont néanmoins déterminés par leur milieu Oet par le produit (OIi)(OOJ ou (OS)^; ils ne dépendent donc en aucune sorte de la grandeur de l'angle XSX|. Par conséquent
Si autour d^un, point S on fait tourner dans un même plan un angle XSX, de grandeur constante, jses côtés détermineront sur une droite fixe deux lignées projectives, X, X| qui auront toujours les mêmes points doubles (imaginaire), quelle qus soit la grandeur de l'angle XSX^.
145. Supposons qu'autour du points on fasse tourner un angle de grandeur constante, les côtés détermineront deux lignées projectives sur la droite infinie du plan. Si l'on mène autour d'un même point T des rayons parallèles aux côtés de l'angle mobile, les intersecttons avec la droite infinie seront les mêmes. En vertu du théorème précédent, les points doublés. ne dépendent pas de la grandeur de l'angle. Donc
Tou4; angle qui tourne autour de son sommet^ forme par les
intersections dé' ses côtés avec la droite infinie du plan deux lignées prqjectives, qui ont les mêmes points doubles imaginaires, quelles que soient la grandeur de V angle et la position du sommet.
Deux faisceaux projectils autour d'un point et dans un plan.
146. Lorsqu'une droite coupe deui^ faisceaux projectifs TA, TB,.. TA|, TB^,.. ayant un même sommet T et situés dans un même plan, elle forme par ses intersections A, B, C,... A|, B^, Cl,... deux lignées projectives. Si X et Xj représentent deux points correspondants de ces lignées, les rayons TX, TXi seront aussi correspondants, et par suite les droites TE, TF menées par les points doubles Ë, F seront elles-mêmes des rayons doubles. Pour obtenir ces derniers, il suffira donc de rechercher les points doubles E, F d'après le procédé indiqué plus haut (v. 138). Quand le point T d'où l'on projette la lignée sur la circonférence d'un cercle, coïncide
BEB,
avec le sommet T des deux faisceaux, la construction a lieu comme suit :
114 STSTÈMES PRIMAIRES
Pour construire les rayons doubles e, f de deux faisceaiix projectifs ayant un même soinmet T et situés dans un même flan, on fait passer par le sommet T une circonférence de cercle; on détermine ensuite la droite p où, se coupent toutes les paires de droites abi , ajb menées par les intersections a, b de deux rayons d'un faisceau avec la circonférence et les intersections correspondantes ai, bi, prises inversement. Les deux rayons qui aboutissent aux extrémités de la corde p sont les rayons doubles cherchés.
Quand les faisceaux ont des sens contraires, il en est de même pour les lignées A, B, G,.. Ai, Bi, Gi ; les points E, F et, par conséquent, les rayons doubles sont alors toujours réels. Quand les lignées sont de même sens, les points doubles sont tantôt réels, tantôt imaginaires: les rayons doubles, qui aboutissent à ces points, seront donc réels dans certains cas; dans les autres, ils seront dits imaginaires.
Propriétés des rayons doubles. — 147. Le quotient
ÇiWex) Sin(ea?i) . . , . ,
^. \ ,, : ^. , — T- des rapports de simple section des rayons
S\n(xf) Sm{x^f) ^ ^
doubles e, f par deux rayons correspondants variables x, a?^ a une valeur constante, (v. 118).
148. Si, dans les deux faisceaux, on prend pour origine une même droîle k, les tangentes x, x^ des angles compris entre deux rayons correspondants x, Xi et l'origine k seront liées entre elles par une équation de la forme
mxxj + nx + pxi + q == Si de plus on fait x = xi, cette relation devient
mm
Les deux racines représenteront les tangentes des angles
(ke), (kf) formés par les rayons doubles avec l'origine. Le
produit des racines est toujours égal au terme connu --i—; et
leur somme au coefficient pris avec le signe moins.
Soit la bissectrice des rayons e, f , en d'autres termes, soit
2(fco) = {ke) + {kf)
d'où
Tan. mo) = Tang(fe) + Tang(/^/-) nj-p ^ ^ ^ 1— Tang(&e>Taug(fe/^) 'q— m La bissectrice o est donc toujours réelle. Or, comme les deux rayons e, f doivent satisfaire aux conditions
Tangfei). Tang(e;i) = Tang(ai). Tang(ai;i)
Tang(/0. TangYii) = Tang(af). Tang(aiji) il en résulte qu'ils sont situés symétriquement par rapport à la bissectrice de l'angle {iji)\ les rayons doubles et les rayons limites i, ji ont ainsi une même bissectrice. Donc
Qwlle que soif la nature des rayons doubles e, /", le produit des tangentes des angles (fe), (kf) formés par un rayon quelconque k avec les éléments doubles e,fa toujours une valeur réelle. De même, l'angle compris entre les rayons doubles possède dans tous les cas une bissectrice réelle, qui est également celle de V angle (iji) formé par deux rayons limites non correspondants.
149. Soient autour d'un point deux faisceaux suporposés, dont les angles correspondants sont égaux chacun à chacun et dirigés dans le même sens. Ces deux faisceaux, qu'on peut former par la rotation d'un angle de grandeur constante, sont coupés par la droite infinie du plan en deux lignées projec-
il6 SYSTÈMES PRIMAIRES
tives, dont les points doubles sont imaginaires et indépendants soit de la grandeur de l'angle générateur» soit de la position du sommet (v. 144). Donc
Les rayons doubles imaginaires de deux faisceaux superposés dont les angles correspondants sont égaux et formés dans un même sens, ont dans chaque plan des directions constantes.
Deux fouillées projeçtives autour d'une même droite.
150. Etant données autour d'une même droite t deux feuillées projeçtives, si l'on mène un plan perpendiculaire a l'arête commune, les intersections formeront deui faisceaux projectifs. Les plans qui passent par t et par les rayons doubles e, f, ou par les rayons limites «, j, ii, ji seront «espectivement les plans doubles ou les plans limites des deux feuillées et jouiront de propriétés analogues à celles que nous avons démontrées pour les faisceaux.
Liguées projeçtives en involution.
Définition. — 151. Deux lignées projeçtives t, t^ situées sur une même droite sont, comme nous l'avons vu, complètement déterminées par trois couples de points A, Âi, B, B|, C, Cl, qui sont arbitraires. Or, il peut arriver que le point A
coïncide avec Ci et que A^ coïncide pareillement avec C. En d'autres termes, les deux lignées t, t^ peuvent être superpo-
sées de telle manière que les extrémités non correspondantes de deux segments projectifs égaux (AC), (A^C^) se recouvrent. Dans cette situation particulière, les lignées constituent ce qu^OD appelle une involtUion de points.
En général^ des lignées projectives sont involutoires ou, ce qui est la même chose, elles forment une involution de points, lorsqu'un des points, considéré successivement comme appartenant à Vune puis à l'autre des deux lignées, a, dans chacun des deux cas, le mêms point pour correspondant.
Points conjugués. — 152. Soient deux lignées projectives t, fi superposées, et supposons que les points A, C de Tune coïncident respectivement avec les points G^, A^ de l'autre. Tout. point X de ï peut être envisagé comme représentant un point Z4 de t^. Puisque les deu?^ lignées sont projectives, le biquotient (ACXZj doit être égal à (AiCiXiZ^) ou, par suite de l'hypothèse, à (CAX^X) ou bien encore, vu les permutations possibles, à (ACXX^) ; donc le point X^ doit coïncider avec Z.
De là résulte qu'il est permis d'envisager un point quelconque comme appartenant à l'une ou à l'autre des lignées, sans que sa projection change; c'est ce qu'on exprime en disant qu'on peut dans une involution permuter deux lettres correspondantes X, X^. Les deux points d'une même paire sont appelés pour cette raison points conjugués.
Lorsque deux lignées sont en involution, tout point considéré tomme appartenant à l'une puis à l'autre des deux lignées doit avoir dans chacun des deux cas le même point pour correspond dant. Quatre points quelconques sont toujours projectifs avec leurs conjugués.
