Une involution se trouve, surabondamment détermi

118 SYSTÈMES PRIMAIKES

Dée par deux paires de points conjugués A, Â^ B, B^, car chaque paire A, A4 en représente deux A, A|, C, C|, et trois paires suffisent pour déterminer deux lignées projectives.

Point central. — 154. Comme le point infini des deux lignées est à la fois I et J^, il faudra, s'il y a involution, que les points I^ et J coïncident. Donc

Dans detix lignées involutoires, les points limites 1^ et i se trouvent réunis en un point J qus nous appellerons le point central de Vinvolution.

- La propriété réciproque est une conséquence de la définition; donc

Deux lignées projectives superposées de telle manière que les points limites J, l^ coïncident, sont en involution.

- Points doubles. — 155. Si dans une involution les deux branches qui coïncident, sont correspondantes, les deux lignées auront des sens contraires et, par conséquent, des points

El F B J A E Ai

doubles réels (v. 136). En passant au besoin par l'infini, on peut aller de A vers A| sans reneontret* ni B ni B^ et vice* yersâ. On dit alors que les .paires ne se séparent pas. Dans ce cas, les segments projectife égaux (AAi), qui S0J3t superposés» ne comprennent pas les points limites J, I^.

Si, au contraire, les deux branches qui coïncident ne sont point correspondantes, les deux lignées, auront un même $ens, et comme le segment (JI|) est toujours moindre que

Al B' J A El

(GH), il en résulte que les points doubles seront toujours imaginaires^ (v. 136). Les points correspondants sont situés de part et d'autre du point central. Ce sont alors des segments négativement projectifs qui sont superposés. On remarquera qu'il n'est pas possible d'aller d'un point A à son conjugé Â{, sans passer par l'un des points B, B^; en d'autres termes, les paires se séparent. Donc

Dans toute involtUion les points doubles sont réels, quand les paires ne se séparent pas ; ils sont, en revanche, imaginaires

quand les paires se séparent.

Involution dans le polygone complet de quatre sommets. — 156. Soient quatre points M, N, P, Q situés dans un même plan. Si nous menons toutes l^s droites possibles

par deux quelconques de ces quatre points, nous obtenons hs trois paires suivantes :

1<» MN, PQ, x|ui se coupent en. un point a, 2<> MQ» NP, quii se coupent en un poi&t b, . Zp MP, NQ» qui se CQ.opent en un point \.

Chaque paire est ainsi représentée par les quatre lettres M« Ni P,. Q. L'^D&emble:.de ces droites i^onstitue ce que nous

appellerons un polygone complet de quatre sommets. Menons une transversale quelconque et soient À, A^ ses intersections avec la première paire, B, B^ celles avec la seconde et X, X^ celles avec la troisième. Les quatre points M, N> Â, a de Tune des droites MN sont projetés sur la transversale depuis les deux autres sommets P, Q d'abord en X, B, A, Ai puis en Bi, Xi, A, A| ; donc

(XBAAi) = (BiXiAAO d'où (v. 53)

(XBAAO = (XiB^AiA) Nous avons, par conséquent, sur une droite deux lignées projectives telles que le point A, considéré successivement comme appartenant à la première lignée et à la seconde, a, dans les deux cas, le même point A^ pour correspondant. De là, le théorème :

Tout polygone complet de quatre sommets est coupé par une transversale quelconque en trois paires de points qui forment une involution.

Constructions Vun point conjugué. — 157. Etant données deux lignées en involution par deu^ paires de points A, Ai, B, Bi, construire le point X qui correspond à un point donné Xj.

Premier procédé. La lignée A, Ai, B, X devant être projective avec Ai, A, Bi, Xi à cause de l'involution, la construction du point X pourra s'effectuer comme pour les lignées superposées (v. 78, second cas). :

Deuxième procédé. L'involution forpée sur la transversale au polygone complet de quatre somi](kets nous doime également un moyen très^simple de construire avec là règle le point cherché X.

Prenez deux points N, Q en ligne droite avec Xi (V. la figure

précédente); joignez par des. droites NA, NB, QA^, QB^, l'un de ces points N aVec un point de chacune des deux paires données, et l'autre Q avec les points conjugués A^, B^. La droite MP qui joint les intersections (NA, QB^), (NB, QA^) des lignes ne contenant pas de points conjugués, passe par X.

Projection sur. le cercle. — 158. D'un point T de la circonférence d'un cercle projetons sur cette dernière deux lignées en involution A, A|, B, B^, X, X^... Les droites a^b, abi

A, F A BXEJj; B,

quî joignent deux projections a, b à leurs correspondantes ai, bi prises inversement se coupent sur une droite p (v; 110). De même les droites ab, aibi qui joignent deux paires de points conjugués se rencontrent sur p. En effet, vu l'involution, il est periîiis de regarder le point B comme appartenant à la lignée ti et B^ comme son hofnôlogue dans t; en d'autres termes, on peut désigner b par d^ et b^ pard; or,rintersection dç a^d, ad^, c'est-à-dire celle de ab, a^b^ est sur p. Donc Si d'un point T de la circonférence d'un cerde on projette

sur cette dernière en a, a^ b, b^,... detix lignées involutoires Â^ Ai, B, B^,... les intersections de deux droites dofii Vune est menée par deux projections qt^lconques a, b et l'autre par les points correspondants a^, b^ se trouveront totUes sur une droite fixe p.

159. En revanche, les droites aa^, bb^ menées par les projections correspondantes concourent en un point fixe P. En effet, soit Ti un second point pris sur la circonférence du

E XA^BFB, A X,

cercle. Puisqu'il y a involution, la lignée A, AJ, B, B^... est projective avec la lignée A^, A, B^, B,...; donc le faisceau TA, TAj, TB, TBi,... est projectif avec le faisceau TA^, TA, TB^, TB,... et par suite avec Tia,, T^a, T^b^, T^b,... Dooc, toute droite aa|, qui joint les intersections (TA, T^a), (TAi, Tjai) de deux rayons TA, TAi du premier faisceau avec les rayons correspondants Tiaj, Tia prjis inversement passe par le centre projectif P. De là, le théorème.

St d'un point T de la circonférence^ d'un cercle on projette sur cette dernière en a, ai, b, bi,.. deux lignées involutoires A>

Al, B, Bj,... les droites aai, bb^, menées par les projections correspondantes se couperont toutes en un point fixe' P.

Construction des points doubles. — 160. Les deux propriétés précédentes nous permettent de construire le point X conjugué à un point donné Xi, ainsi que les points doubles E, F, lorsque l'involution est déterminée par deux paires A, Al, B, Bi.

Premier procédé. D*un point T d'une circonférence de cercle (v. la figure du § 1 58) projetez sur cette dernière les points A, A4, B, Bi, X^ en a, a^, b, b|, X|.et menez la droite p par les intersections (ab^, a^b), (ab, a^b^). Les deux lignes axi, a^x devant se couper sur p, le point x sera, par conséquent, sur la droite ai(axi, p) et le rayon Tx déterminera le point demandé X.

Si Ton cherche comme ci-dessus le point correspondant au point E dont la projection e est située à la fois sur la cir<5onférence et sur la droite p, on trouvera le point E luimême; donc les rayons Te, Tf menés du sommet T aux intersections de la droite p avec la circonférence, passent par les points doubles de l'involution.

Second procédé. D'un point T d'une circonférence de cercle (v. la figure du § 159) projetez sur cette dernière en a, ai,,., les points donnés A, A^,... de l'involution. La droite xxi devant passer par le- point fixe (aai, bbi) ou P„ il suffira de mener la droite Pxi, qui rencontrera la circonférence en un second point x; le rayon Tx contient le point cherché X.

Ainsi toute droite menée par P rencontre la circonférence en deux poinjts, qui peuvent être coi^sidérés .coiaïae les projections X, Xi de deux points^ cofijugués. Si la droite menée

par P est tangente au cercle en un point e, la droite Te passera par un point double E.

Quand les paires Â, Â^, B, B^, ne se séparent point, il en est de même des projections a, ai, b, bi sur la circonférence. Le point P se trouvera conséquemment hors du cercle, et l'on pourra mener, en général, deux tangentes. Dans ce cas, les points doubles sont réels et distincts.

Si les deux paires de l'involution se séparent, le point P devra se trouver à l'intérieur du cercle et les points doubles seront imaginaires.

Propriétés métriques. — 161. Dans deux lignées projectives on a en général la relation (v. 100)