AB)+(BA

crit par un rayon qui tourne de b jusqu'en a.

Comme le mouvement qui engendre un angle, peut avoir lieu dans deux sens, nous regarderons l'un quelconque de ces sens comme positif et l'autre comme négatif. De plus, tout angle sera considéré comme positif, s'il est engendre par un rayon se mouvant dans le sens ' positif * sinon, il sera nég[atif. Cette définition revient à dire que la somme de deux mêmes angles parcourus en sens contraires est nulle. Par exemple, si l'on donne comme positif le sens indiqué par la flèche dans la figure, l'angle (ab) sera positif, puisqu'il est décrit dans ce sens, tandis que l'angle (ba) sera né- 'gatif.

En d'autres termes, nous aurons :

(ab) + (ba) =

serons décrit par un plan qui tourne de B jusqu'en A.

Comme le mouvement qui engendre un angle peut avoir lieu dans deux, sens, nous regarderons l'un quelconque de ces sens comme positif et l'autre comme négatif. De plus, tout angle sera considéré comme positif, s'il est engendré par un pian se mouvant dans le sens positif; sinon, il sera négatif. Cette définition revient à dire que la somme de deux mêmes angles parcourus en sens contraires est nulle. Par exemple, si l'on donne comme positif le sens indiqué par la flèche dans la figure, l'angle (AB) sera positif, puisqu'il est décrit dans ce sens, tandis que l'angle (BA) sera négatif. En d'autres termes, nous aurons : (AB)-{-{BA) =

^^ OU ou

(AB) = — (BA) (ab) = - (ba) (AB) = -^ fBA) quel que soit le sens quel que soit le sens re- quelque soit le sens reregardé comme positif, garde comme positif. gardé comme positif.

32. Il résulte de cette 33. Il résulte de cette 34. Il résulte de cette

convention que convention que convention que

Trois points A, B, C, Trois rayons a, 6, c. Trois plans ABC

situes sur une droite situés autour d'un point passant par une droite (dans un plan) donnant (dans un plan), donnent (autour dFun point) don-

^TAR^l/Rn ~ ^^^^^^^ toujours lieu à régalité: nent toujours lieu à ri

(AB)4-(BC) = (AC). {ab)'\-{bc) = (oc) galité :

En effet, si les points En effet, si les rayons (AB)-HBC) = (AC)

sont dans Tordre A, B, sont dans Tordre a, 6, En effet, si les plans

/^/^ ®^/*??.^'^®^^^ <^^>' ?^ *®^ ^^^^^^ ^^^^' (^^)> sont dans l'ordre L B

(BC), (AC) sont tous de (oc) sont tous de môme C, lesanglesWB) (BC/

même signe- donc on signe ; donc on en con- (ilC) sont tous de même

(AB;+(BC) = (AC) : (o6)-h(6c) = (ac); dut la relation

or, comme la longueur or, comme l'angle (ac) (AB)+(BC) = (ACV

(AC)peut être remplacée peut être remplacé par or, comme l'angle (AO

par--(CA), cette égalité — (ca), cette égalité s'é- peut être remplacé par

s écrit encore sous la crit encore sous la forme —(CA) cpttp PiMiitP

(AB)+(BC)-|-(CA) = 0, qui est symétrique par forme

qui est symétrique par rapport aux trois lettres, (AB)+(BC)'\-(CA) =

rapport aux trois lettres, et reste conséquemment qui est symétrique oar

et reste conséquemment indépendante de la po- rapport aux trois lettres

indépendante delà posi- sition respective des et reste conséquemment

tion respective des trois trois rayons. Par exem- indépendante de la do-

points. Par exemple, si pie, si ces derniers sont sition. des trois plans

ces derniers sont dans dans l'ordre c, a, 6, il Par exemple, si ces der-

1 ordr^ C, A, B, il suffît suffit de substituer dans niers sont dans Tordre

de substituer dans la la démonstration pré- C, A B il suffît de

démonstration précé- cédente c à la place de substituer dans la dé-

dente C à la place de A, a, puis a à la place de monstratîon précédente

puis A la place de B, de 6, enfin 6 a la place c à la place de A, puis

enfin B a la place de C, de c, de sorte que la A à la place de B, enfin

de sorte qne la dernière dernière égalité devient b à la place de C de

égalité devient pour ce pour ce cas sorte que la dernière

""fr aW AR^4./R^^ -n .IW?^^"*"^^^^ =^' égalité devient pour ce

(GA)+(AB)+(BC)=^0, cest-a-dire c^g

""'^tR^Simr^ ~ / Ar^ i (f^ W^ = <f )'. . (CA)+(AB)+{BC) = 0,

(AB)-h(BC) = (AC). La relation est ainsi c'est-à-dire

La relation est ainsi démontrée pour toutes (AB)-^ (BC) = (AC)

démontrée pour toutes les hypothèses pos- La relation est ainsi

les hypothèses pos^ sibles. démontrée pour toutes

^*"^^s* les hypothèses possibles.

Les trois théorèmes précédents peuvent s'énoncer d'une manière générale comme suit :

Trois éléments a, b, C d'un système primaire donnent toujours lieu à l'égalité

(ab) + (bc) = (ac) (i)

Propriétés pro j actives.

35. Parmi les propriétés qui existent entre les différents éléments d'une figure, les unes ne s'appliquent pas aux éléments correspondants des projections de cette figure; les autres, en revanche, restent intactes et parce qu'elles ne sont pas détruites par la projection, elles sont qualifiées de projec-. tives.

En général, lorsque des relations entre certains éléments d'une figure se laissent exprimer, au moyen des rayons respectifs du cône projetant, ou en dépendent directement, ces relations sont encore vraies pour les éléments correspondants d^une projection qxielconque, et doivent en conséquence être regardées comm^ des propriétés projectives. Par exemple, quand un point est l'intersection de deux lignes dans la première figure, le point correspondant sera de même l'intersection des deux lignes correspondantes dans la projection.

Puisque les propriétés en question sont communes, nous pourrons les étudier dans- celle des projections qui nous permettra de les déduine avec le plus de facilité. C'est ainsi que nous trouverons dans la seule considération du cercle les théorèmes fondamentaux des sections coniques.

Il est évident que, d'un côté, la nature des surfaces sur lesquelles les figures sont situées, et de l'autre, la position du centre de perspective influent sur le nombre et Tétendue de ces propriétés constantes. Lorsqu'il s'agit de plans, comme c'est généralement le cas dans la suite de cet ouvrage, la méthode projective revêt un caractère tout spécial et suffit

INTHODUCTÎON

par elle-même à nous donner une connaissance assez complète des figures planes.

3f6. Si l'on donne un plan P, dans lequel se trouve une droite a et si Ton veut, d'un centre de perspective S situé hors de P. projeter cette droite sur un autre plan, Pi, le cône

projetant de. a sera nécessairement un plan, d'où résulte que la projection a^ est elle-même une ligne droite. En outre, le point où a rencontre l'arête des deux plans P, Pu est en même temps sa projection, et se trouvé conséquemment sur a^. Donc les deux droites correspondantes a et a^ se coupenj sur l'arête PP^, q\x on B,pipe\\e axe de perspective. Cette ligne doit son nom à une certaine affinité qu'elle possède avec le centre de perspective S; en effet.

Lorsque deux figures planes sont en situation de perspective, les droites qui joignent les points correspondants A, Ai pass toutes par un même point S, est le centre de perspective.

Lorsque deux figures planes sont en situation de perspective, les points d'intersection de deux droites correspondantes a, ai sont tous situés sur une même droite, qui est Taxe de perspective.

Le centre et l'axe de perspective sont ainsi reliés entre eux par la même symétrie que la lignée et le faisceau; ils peuvent donc être permutés l'un avec l'autre, toutes les fois qu'on applique le principe de corrélation.

Il résulte de ce qui précède la proposition suivante :

Lorsque deux figures dont tous les points se correspondent deux à deux comme A, B,.. à Ai, B^.. sont planes et perspectives^ les droites correspondantes AB, AjBi se coupent sur l'axe de perspective.

37. Réciproquement, lorsque deux figures dont tous les points se correspondent deux à deux comme A, B,.. à A^, Bi.., sont placées de telle manière qtiune droite AB joignant deux points quelconques d'une figure et la droite AiB^ menée par les points correspondants se coupent sur une droite s, ces deux figures sont planes et perspectives.

Remarquons d'abord qu'à un^ droite dans une figure correspond une droite dans l'autre. En effet, si un point D est

situé sur la droite AB, son correspondant Di est'' sur la droite AiBi et vice-versâ, puisque AD et AiDi doivent se rencontrer

sur Sy de même que AB et A^Bi.

En outre, les deux figures proposées sont planes ; car tout point G de la première est dans le plan des deux droites AB et s, vu que, d'après l'hypothèse, AC rencontre s ; pour un motif semblable, tout point Ci de la seconde est dans le plan des deux droites AiBi et 5.

Il reste à démontrer que les deux figures sont perspectives. Nous distinguerons deux cas.

Premier cas. L^s deux figures ne sont pas situées dans un même plan.

Les droites AAi, BBi sont dans le plan mené par AB et AjBi ; elles doivent donc se rencontrer quelque part en un point S. Si l'on prend hors de AB un autre point C et son correspondant C^, on démontre que pour une raison semblable les droites AAi et CCi se couperont en un point; il en est de même pour BBi et CCi. Or, les trois droites AAi, BBi, CCi se rencontrant deux à deux et n'étant pas situées dans un plan, convergent forcément vers ua seul et unique point S.

Si l'on donne donc deux points correspondants quelconques, on prouvé comme ci-dessus que la droite menée par ces points doit rencontrer deux des trois droites AAi, BB^, CG^ en leur point de concours S.

Second cas. Les figures sont dans un même plan.

Soient encore A, Ai et B, Bi deux paires de points correspondants; soit Aj le point d'intersection de AA^ avec s. La droite correspondante de AA^ doit rencontrer celle-ci sur s, donc en A^ et ensuite passer par le point A^ correspondant de A; ainsi A2A1 correspond à AjA. Nous en pouvons dire autant de B^Bi et B^B. Les deux droites AgA, BjB se rencontrent quelque part en un point S. Puisque S appartient à AjA et à BjjB, son point correspondant doit être à la fois sur A Al et sur BjBj ; en d'autres termes, S est en même

temps SOD point correspondant. Dès lors, si l'on prend une

troisième paire quelconque de points correspondants C, C^^,

on prouve que CCi passe par S en observant que les droites

se, SCi se correspondent et doivent avoir en outre d'après

l'hypothèse un même point commun sur s.

Les deux figures sont donc en perspective ; la droite $ est

Vaxe de perspective.

Une conséquence très-remarquable de ce théorème est

que si l'un des plans tourne autour de l'axe s, les deux

figures restent en perspective dans chaque position. Mais

nous reviendrons plus tard sur ce sujet.

38*. Lorsque deux figures (ou surfaces) dont tous les points se correspondent deux à deux comme Â, B, C. à ku Bi, C^.. sont perspectives et que tout plan ABC, mené par trois points de l'une, a pour proijection le plan ÂiBiCi mené par les points correspondants de t autre, il faut que ces plans correspondants se coupent toujours da/ns un même plan &

En effet, tous les points de l'intersection de deux plans correspondants et seulement ces points ont la propriété de coïncider avec leur projection. L'intersection de deux plans correspondants ne saurait donc rencontrer deux autres plans correspondants ailleurs qu'en un point de leur intersection, sinon elle les rencontrerait en des points qui ne coïncideraient pas chacun avec leur projection respective. Ainsi toutes les intersections se coupent mutuellement et sont en conséquence situées dans un même plan S.

Puisqu'un plan a pour projection un plan, il en résulte qu'une droite a pour projection une droite, et que deux droites correspondantes se coupent dans le plan S.

39*. Lorsque deux figures {ou surfaces) dont tous les points se correspondent deux à deux comme A, B, C, à Ai, Bi, Ci..,

sont placées de telle manière quun plan ABC, mené par trois points quelconques d'une figure et le plan AiBid mené par les points correspondants se coupent dans un même plan S, ces deux figures sont perspectives.

Nous pouvons montrer en premier Heu qu'aux différents points d'un plan ABC mené par trois points d'une figure correspondent les points du plan AiBiCi mené par les trois points correspondants de l'autre ; car à tout point D du plan ABC doit correspondre un point Di situé dans le plan AiBjCi et vrce-versà, puisque, en vertu de l'hypothèse, les plans ABD ou ABC et AiBiDi doivent se couper en S> de même que les plans ABC et AiBiCi.

- Si par les droites correspondantes AB, A^Bi on mène deux plans correspondants, ceux-ci, d'après l'hypothèse, auront avec S une même iatet^eçtion, que devront couper AB et A^B^, En menant par ces dernières lignes, deux autres plans correspondants, on verrait pareillemoiit que AB et AjB^ rencontrent la nouvelle intersection commune.

Donc AB ^t A^Bi passent nécessairement par le point commun de ces deux intersections; en d'avttres termes, les droites correspondantes AB et A^Bi se coupent dans le plan S.

Cela posé, un raisonnement analogue à celui du premier cas dans le théorème 37 démontre que les deux surfaces sont en perspective.

- 40. Il n'est pas hors de propos de faire observer que dans les quatre derniers théorèmes de cet article se présente un genre particulier de figures projectiyes : aux parties planes correspondent constanunent des parties planes. C'est là ce que nous pouvons appeler la projection simple; et dorénavant nous supposerons toujours les figures projectives engendrées dans ces conditions.

PROPRIETES PROJECTIVES