Pour étudier la nature de ce rapport .menons
sin(.r6)
une transversale t, qui coupera le faisceau a,b,x respectivement en A,B,X, et admettons comme sens positif: 1° dans tout rayon le sens du sommet S à l'extrémité du rayon proprement dit et non de son prolongement, l^^ dans la ligne t l'un quelconque des deux sens, pai- exemple le sens de A vers B, 3<^ pour les angles, formés tous jtar les directions positives des droites, un sens quelconque, tel que le sens de a vers b. Avec ces conventions on peut démontrer que l'égalité sin(«j?) (AX) sin^r/O
= — ■ (in
sm{xb) (XB) s\n{bt) existe dans tous les cas possibles.
IM'cniitT cas. La transversale f rencontre les rayons a.byV et non leurs i>rolongemenls.
m: QUATKi: i':i,i':.mi:nts 25
La trigonométrie enseigne (jiie dans tout triangle le ra[)port de deux sinus est égal en valeur absolue au rapport des côtés opposés. Donc on a
sinASX rAX)
sinSAX (SX) sinXSB (X13)
sinSBX (SX)' en divisant ces deux égalités membre par membre, on obtient SinASX (AX) sinSAX
sinXSB (XB) sinSBX ou ce qui est la même chose
sin(aa7) (AX) sin(af)
siu{xb) (XB) s\n(bt)
Cette égalité est vraie d'une manière absolue; il reste à
démontrer qu'elle est pareillement vraie, si l'on tient compte
s\u(at) des signes. Or, le facteur '■ a dans notre hypothèse une
sin(bt)
valeur positive, puisque chacun des angles est positif et moindre que deux droits ; d'un autre côté, quand x est à l'intérieur
sin(orx) (AX) de (ah), les rapports et sont positifs, et quand
sh\{xb) (XB)
X est à l'extérieur de (ab), ils sont négatifs. Donc les deux membres de l'égalité ont le même signe, ce qu'il fallait démontrer.
Second cas. La transversale t rencontre un ou plusieurs des rayons dans le prolongement.
Si t coupe le prolongement de a, il suffit d'augmenter de
180 degrés chacun des angles (ax), {at) du premier cas. L'égalité est vraie d'une manière absolue, ce qui est évident; elle l'est encore en tenant compte des signes, puisque sin(air) et sin {at) changent simultanément le leur.
La même observation s'applique au rayon h.
Enfin, quand t rencontre le prolongement de x on augmentera les angles {ax) et {xh) de 180 degrés; les sinus changent de signe à la fois et l'égalité se trouve maintenue. Donc en général le rayon x et son prolongement partagent un angle donné dans un même rapport.
Troisième cas. Le sommet S est à Tinfini, et par conséquent les rayons aJ),x sont parallèles.
Si sur l'un des rayons a on prend un point S^ et qu'on le
joigne parles droites rti,6,,.ri, aux intersections A,B,X, on aura
toujours
sln(rti.rj') (AX) sin(r/jf)
sin(.ri6i) (XB) sin(^/^if) Lorsque le point S^ s'éloigne de plus en plus sur a. le se-
(A\i <in((70
cond nu'mbre tend vers une limite déterminée -
(XB) imipt).
DK nUATUI': KLÉMKNTS 27
que nous appelons le rapport de simple section de (ah) par x,
sin(ff.r) et que nous représentons par ;; .
siii(.r/>)
Donc on a
sin(aa;) (AX) sin(':/^)
sinf.''^) (Xii) sin(60 et cette dernière relation est ainsi déndontrée pour toutes les hypothèses admissibles. •
44. Si l'angle (ab) est donné et que le rayon x décrive tout le plan en tournant autour du sommet, il arrivera qu'à chacune des positions de x correspond une seule et unique valeur pour
sin(a.r)
le rapport ■ ; c est ce qui ressort immédiatement de
sin(.r6)
la nature de cette expression.
Réciproquement un angle (ab) étant donné, il existe mie seule et unique position de x (y compris le prolongement) telle
sm(ax) m
que le rapport — soit égal à une quanté réelle — .
sm{xb) n
En effet, après avoir coupé par une transversale t les rayons a,b,x respectivement dans les points A,B,X, on doit avoir
i\w(ax) (AX) sinfa^)
sinfj,"^; (XB) û\\(bt)
Il faudra donc d^îterminer sur la ligne t un point X qui satisfasse à la condition
(AX) ?>'\w(at) m
(XB) i\n(bt) n
(AX) m su\(bt)
ou = — .
(XB) n s\n(at)
Le problème revient donc h. diviser la lonirueur (AB) dans un rapport de simple section égal au dernier membre. Or on trouvera un seul et unique point X, par lequel on fera passer le rayon cherché x.
On peut aussi employer la construction suivante : on mène à la droite a une parallèle p distante de m et à 6 une parallèle q distante de n, en ayant soin qu'elles soient portées toutes
les deux à 1 intérieur de (ab) si — est positif, sinon lune en
dedans l'autre en dehors. Le point de rencontre K des deux parallèles est sur le rayon cherché x; car on a
s\n(a.r) {J^J vi
sin(.r6; tJL.) fh
les signes des deux membres étant du reste égaux par suite de la construction.
45*. Tout angle dièdre (AB) d'une fouillée sera divisé par
un phiii A' lie la même leuilléu en deux parties (AX), (XB), dont la somme sei'a toujours égale à (ABJ. L'expression
sinf.lA;;
sera le rapport de simple section de 1 angle (AB)
<'hi(\Bj
par le plan A' ou bien encore le rapport de simple section des deux éléments A,B par un troisième élément A'.
Gomme les angles dièdres ont pour mesure les angles correspondants formés par les intersections a,b,x d'un plan perpendiculaire à l'arête commune, on aura sinf.-lA^ s\n(ax)
èm{XBJ sin(xb)
de sorte que toutes les propriétés du rapport de simple section dans le faisceau s'appliquent également à la feuillée.
40. Les résultats principaux de cet article peuvent se résumer ainsi :
Lorsque deux éléments a.b d'un système primaire sont donnés, à toute position x d'un troisième élément correspond une seule et unique valeur du rapport de simple section des éléments a et bpar x; et réciproquement lorsque a et b sont donnés, il existe une seule et unique position de x tel que le même rapport de simple section soit égal à une quantité réelle proposée.
Rapport de double section ou biquotient.
47. Nous avons vu qu'une longueur (AB) est partagée par un point X de la même droite dans le rapport de simple section
Lj i. Grâce à un nouveau point de division G on obtient
(XB)
30 SYSTÈMliS PRIMAIRF.S
(AC) (AX) (AC) un rapport analogue . Le quotient :- — de ces deux
" (G13) * (XH) (GB)
expressions est ce qu'on appelle le rapport de double section de la longueur (AB) par les points X et G, Qu plus simple-
ment le hiqnotimt des points A,X,G,B. Nous représenterons sa valeur par le synabole (AXGB), qui possède un double avantage : car, en premier lieu, il a le même ordre de lettres
