DKS SYSTÈMES PRIMAIRES DE QUATRE ÉLÉMENTS

Rapport de simple section.

41. Lorsque dans une lignée / on donne deux éléments (points) A et B, un troisième X divise la longueur (AB) en

deux parties (AX), (XB), dont la première s'étend depuis l'origine A jusqu'au point de section X et la seconde depuis ce point X jusqu'à la fin B. L'élément X peut être à l'intérieur ou à l'extérieur de (AB), mais quelle que soit sa position relative et quel que soit le sens de la droite regardé comme positif, la somme des deux segments (AX)-|-(XB) sera toujours égale à la longueur (AB) (v. 32).

(AX) Le quotient pr~^ du premier segment par le second est

ce qu'on appelle /e rapjjor^ f/(? simple section delà longueur (\h) par le point X, ou bien encore le rapport de simple section des deux élémeiits A, B par rélément X.

La valeur de ce rapport est indépendante du sens de la droite; car, en admettant comme positif le sens contraire à celui qu'on pouvait avoir choisi primitivement, on change le

signe des deux parties (AX), (XB), mais on ne modifle point

CAX)

celui du quotient ...,. • (XB;

Si le point X est à l'intérieur de (AB), les deux segments ont toujours le même sens, le rapport est alors positif; en revanche, il est négatif, quand X est hors de (AB), puisque les deux segments ont dans ce cas des signes différents.

Remarquons en outre qu'à ime position donnée de X

(AX) correspond une seule et unique valeur pour le rapport ^p. ;

cela résulte évidemment de la forme de cette expression. De même, // existe toujours un seul point X tel que le rapport de simple section de la longueur (AB) par ce point soit égal

à une quantité réelle donnée

Construisons d'abord ce point. Sur une droite quelconque g passant par A, on fait le segment (AM) égal à m. puis on

porte une longueur (MN) égale à n A:ms le même sens que (AM) ou dans le sens inverse suivant que n a un signe sem-

!ti: ouATHi: i'lémicnts ^3

bl.ililc ou (.'oiili-aire ii celui do m. La j)arallôle menée par M il 13N coupe la droite AB au point cherché X. De la similitude des deux triangles t'ormés ou déduit en el'fet (AX) (A.M) m (XB) (MN) ~ H '

Donc il y a toujours un point X qui satisfait à la condition posée. En second lieu, il ne peut en exister un second X^ car MXi n'étant pas parallèle k BN, l'égalité ci-dessus n'est plus vériiiée.

4:2. Dans les faisceaux et dans les feuillées, nous considérerons seulement les angles qui ne sont pas supérieurs à deux droits. Cette restriction a pour but de simplifier le raisonnement.

Un angle (ah), (jue forment deux rayons a, h d'un faisceau, est divisé par un rayon quelconque x en deux parties (a.v), (l'b), dont la somme (v. 33.) est toujours égale à (ab'). Le

Sin(a.r)

quotieiit des sinus, savoir : -rr. — — tt" est ce que nous ap- ^ Sm(i-6) * '

pelons le rapport de simple section de l'angle (ab) par le

rayon x, ou bien encore le rapport de simple section des

deux éléments a, b par l'élément x.

24 SVSTKMKS PHIMAIRES

Sin(fl.r)

La valeur du rapport ... , . est indépendante du sens ' b\n(:iv) '

du mouvement rotatoire; car si l'on admet comme positif le sens contraire à celui qu'on pouvait avoir choisi en premier lieu, les deux angles (a.r), (xb) changent de signe; il en est de même des sinus; mais le rapport en question n'est point modifié.

Lorsque .x est à l'intérieur de (ab), les deux angles (ax), (xb) ont toujours même signe, et comme d'après l'hypothèse ils sont chacun moindres que deux droits, leurs sinus ont des signes semblables et par conséquent le rapport de simple section est toujours positif. Mais lorsque x est à l'extérieur de (ab), les angles et par conséquent leurs sinus ont des signes différents; d'où il résuite que dans ce cas le rapport est négatif.

sin(/7x)