AX) (A G

ment la valeur de ,.- ,. • 77777: • (X B) (G B)

Supposons que de quatre points A, B, G, X sur une droite

les trois premiers soient fixes et que le quatrième X décrive la

(AX) (AC) ligne entière. Le biquotient (AXGB), c est-à-dire pr^. : 77^77"

(AX) sera égal à un rapport de simple section --r-j— divisé par la

32 SYSTÈMES PFUMAIHKS

, (AG) quantité invariable .p. ; et comme le rapport de simple sec-

tion a pour chaque position de X une seule et unique valeur,

il en sera de même pour le hif[uotient. Réciproquement, si

l'on donne les points A, B, G, et qu'il s'agisse d'en trouver un

(AX) (AG) quatrième X, tel que le biquotient ... • — -ttt — soitégal aune

p quantité réelle — > il existera toujours un seul et unique

point qui satisfasse à cette condition. On doit avoir en el'fet (AX) . (A G) p (AX) p{CB)

— ou

(XB) (GB) q "" (XBj ^(AGl

or il n'y a qu'un point X qui partage la longueur (AB) d'après

piCli) le rapport connu — -777-- l.a construction de X peut s effec- ^(AG) ^

tuer par le procédé vu plus haut (v. 41.).

Parmi les biquotients que l'on peut former avec les quatre lettres A, B, G, X, nous avons considéré seulement (AXGB); mais les propriétés qui viennent d'être démontrées pour ce dernier, s'appliquent à tous les autres; car on pourra toujours amener par des permutations la lettre variable à la seconde place. Ainsi :

Trois points A, B, G d'uNC droite étant donnes, il existe toujours sur la même ligne un seul et unique point X tel qu'un certain biquotient formé par ces quatre points soit égal à une quantité réelle proposée.

49. L'angle (ab) (jue forment deux rayons a,b d'un faisceau, est divisé par un troisième x dans le rapport de simple

Sin((/,/')

section ^,. ,. .. et par un (luatrième c dans le rapport biu{xb) ' ' ^ '

Sin(V/c) , Siii(V/.r) Sin(y/c)

^. . , L'expression — 7- : .. ., est ce (lue

bui(c6) ^ b\\\{^.ro) bm^cb) '

nous

appellerons le rapport de double section de l'angle (ab) par les rayons x et c ou plus simplement le biquotient de

a, X, c, h ; sa valeur sera représentée par le symbole (axcb).

50*. Une définition analogue peut être adoptée à l'égard de

la feuillée. Le biquotient des quatre plans A, A', C, B sera

^m(AX) ^m(AC) donc le rapport ^.. ...„. : ^■ ç^. , que nous désignerons

par (AXCB).

Comme les angles dièdres de la feuillée ont pour mesure les angles plans formés par ses intersections a, .r, c, b avec un plan perpendiculaire à l'arête commune, le rapport de double section

^m(AX) 'èm(AC) ^m(ax) ^\w(ac)

c /vpi • o- ,rT>\ 6St évidemment égal à (^. ' , . : ^,. . , . ; Sm(A/îJ hm(tB) ® ^m(xb) ^m(cb)

en d'autres mots [AXCB) est l'équivalent de (axcb).

51. Les propriétés du biquotient, démontrées pour quatre points d'une lignée, s'appliquent par analogie à quatre rayons d'un faisceau et à quatre plans d'une feuillée. Elles peuvent en conséquence être énoncées d'une manière générale comme suit :

Le biquotient (aXCb) de quatre éléments a, X, C, b d'un système primaire ne dépend en aucune façon du sens dans lequel le système est engendré.

52. Le biqiwtient (axcb) ne peut avoir quune seule et unique valeur.

53. Un hiquotient ne change point, lorsqu'on permute tous les éléments deux à deux.

54. Si trois éléments sont donnés, il existe toujours un seul et unique quatrième élément tel qu'un certain hiquotient de ces quatre éléments soit égal à une quantité réelle proposée.

Propriété projective du biquotient.

55. Théorème. Lorsqu'une droite coupe un faisceau de quatre éléments, tout biquotient formé avec les intersections de la droite est égal au hiquotient analogue du faisceau.

Soient a, h, c, x les rayons donnés et A. B, C. X leurs

intersections avec une transversale t; il s'agit de démontrer, par exemple, que le biquotient ^AXCO"! est égal à \^axcb). Or, on a toujours ^v. 43)

Sin(a.r) (\\) SinfaO

Siu(^r/0 (\B) 6'iubt'\

et de même

Sm(ac) __ (AC) Sin(aO Siii {rb) ^ (Cli) ' Sin(60 '

en divisant ces deux égalités membre par membre, on obtient (AX) (AG) Sin(oj-) Sin(ac).

(XU) ■ (CB) ~ Sin(.r6) * Sin(c6) '

ce qu'il fallait prouver.

5G. Corollaire. Les quatre points A, B, C, X sont projetés du centre S au moyen des rayons a, h, c, x. Gomme le biquotient est, en vertu du dernier théorème, susceptible d'être exprimé au moyen des rayons correspondants, il donne naissance à une propriété projective (v. 35) et doit être invariable pour toutes les projections des quatre points A, B, C, X. En effet, si l'on coupe le faisceau par une droite ou un plan, l'intersection Ai sera la projection de A depuis le centre de perspective S; de même B^, Gi, Xi, seront les projections de B, G, X. Or, les deux expressions (AXGB) et (A^XiGiBi) seront l'une et l'autre égales à {axâ)) et par conséquent égales entre elles. Donc :

La valeur d'un biquotient de quatre points reste la même, quand on remplace ces points par leurs projections sur une droite ou sur îin plan.

57*. Théorème. Lorsqu'un plan coupe une feiiillée de quatre éléments, tout biquotient formé avec les intersections du plan est égal au biquotient analogue de la feuillée.

Soient A, B, C, X les plans de la feuillée, et ai, b^, q, x^ les intersections de cette feuillée par le plan donné P^.

Menons un plan P perpendiculaire à l'arête, et désignons par A, B, C, X les points où la droite PPi rencontre les différents plans de la feuillée. Il s'agit de montrer que tout biquo-

tient {a^ .i\ Ci 61) est égal au biquotieiit analogue (AXCB),

Or {AXCB) = (nxcb) {ojccb) = (AXCH) (AXCB) = {(h.i\cA)

fv. 50) (v. 55) (v. 55)

Donc

{ai.i\cjf,) = [AXCB).

58*. CoRCLLAUu^. Nous tirons île ce théorème une conséquence semblable à celle que nous avons déduite du théorème précédent.

Lors^iue deux plans cpielconques /', l\ coupent une feuillée, ils forment par leurs intersections avec celle-ci deux faisceaux, dont l'un peut être envisagé comme la projection de lautre

DE QUATRK ÉLÉMKNTS 37

depuis un centre de perspeclivp pris sur farête SSj. Or, les biquotients analogues de ces faisceaux soûl égaux, puisqu'ils sont équivalents au biquotient de la feuillée. Donc :

La valeur d'un biquolient de quatre rayons reste la même, quand on remplace ces rayons par leurs projections sur un plan.

58. — Autrement. Lorsque deux faisceaux a, b, c, x et tti, 6j, fj, a-j sont perspectifs, les droites correspondantes se coupent sur l'axe de perspective (v. 3(3) dans les points A, B, C, X. Or, les biquotients analogues des deux faisceaux sont égaux h celui des biquotients qui est semblablement formé avec les intersections sur l'axe de perspective; en d'autres termes, on a, par exemple, (abcx) = (ABCX) (aAc^x,) = (ABCX) d'où

(abcx) = [oibiC^Xi) c'est-à-dire

Lorsque deux faisceaux sont en perspective tout biquotient formé avec quatre rayons de l'un est égal au biquotient analogue de l'autre.

Cette seconde démonstration est plus générale que la première, car elle admet aussi le cas où les deux faisceaux perspectifs sont situés dans un même plan.

59*. Corollaire. Lorsque deux feuillées sont en perspective, tout biquotient formé avec quatre plans de l'une est égal au biquotient analogue de l'autre.

En effet, les intersections des plans correspondants se trouvent dans un plan (v. 38); ce dernier coupe donc les deux feuillées d'après un même faisceau. Les biquotients analogues des feuillées sont conséquemment égaux à un même biquotient du faisceau, et par suite ils sont égaux entre eux.

60*. Théorème. Lorsqu'une droite coupe une feuilke de quatre plans, tout biquo tient formé avec les intersections de la droite est égal au hiquotimt analogue de la feuillée.

Soient A, B, C, X* les plans de la feuillée et A, B, C, X leurs intersections avec la droite donnée. Menons par celle-ci un plan quelconque, qui coupera la feuillée d'après un faisceau de quatre rayons a, b, c, x.

Nous voulons encore démontrer que tout biquotient(AXCB) est égal à {AXCB). Or, on a

iAXCB) = {axcb) (v. 57)

{axcb) = (AXCB) (v. 55)

Donc (AXCB) = {AXCB).

^\*. Corollaire. Lorsque deux ou plusieurs droites coupent une même feuillée de quatre plans, les biquotients analogues formés avec les intersections de chaque droite sont égaux entre eux.

62. Résumé. Nous avons considéré dans cet article tous les cas où deux systèmes primaires sont en situation de perspective, savoir : l» une lignée avec une lignée (v. 56) ; :2o une lignée avec un faisceau (v. 55) : le faisceau est projeté du sommet S sur la droite t; 3° une lignée avec une feuillée (v. 60): la feuillée est projetée une première fois d'un point de l'arête sur un plan passant par la droite, ce qui donne un faisceau ; celui-ci est ensuite projeté de son sommet sur la même droite, d'où résulte la lignée en question ; 4» un faisceau avec un faisceau (v. 58) ; 5» un faisceau avec une feuillée (v, 57) : la feuillée est d'un point de Tarète projetée sur le plan du faisceau; 6-^ une fouillée avec une feuillée (v. 59).

Dans toutes ces combinaisons, les biquotients analogues

* Les majuscules italiques représentent des plans.

sont égaux; donc, lorsque deux systèmes primaires sont perspectifs, tout biquotient formé avec quatre éléments quelconques de l'un est égal au biquotient formé avec les éléments correspondants de l'autre.

Il est évident que cette égalité subsiste encore, quand on fait abstraction de la situation de perspective, c'est-à-dire quand les systèmes primaires sont simplement projectifs ; les différents théorèmes de cet article sont ainsi compris dans l'énoncé suivant :

Lorsque deux systèmes primaires sord projectifs, tout biquotient formé avec quatre éléments quelconques de l'un est égal au biquotient formé avec les éléments correspondants de Vautre.

Conditions pour que deux systèmes primaires de 4 éléments soient perspectifs ou projectifs.

Nous allons maintenant examiner les systèmes primaires qui sont composés chacun de quatre éléments a, b. ('. d, El, bj. l'i. di, et qui ont un biquotient (abcd), (aib^C^di), de

fti \\

même valeur. Les éléments a, ai qui sont représentés par des lettres occupant une même place dans les symboles (abcd), (aibiCidi) seront appelés éléments correspondants.

63. Théorème. En général, lorsque deux systèmes primaires de quatre éléments chacun ont un biquotient de mi^me valeur et qu'en outre trois éléments de l'un sont en situation de perspective avec les éléments correspondants de l'autre, il faut aussi que les quatrièmes éléments soient en perspectire.

Soit (abcd) = (aibifidj) ; déplus, admettons que trois éléments a, C, d soient en perspective avec leurs correspondants ai, Cl, di.

Désignons provisoirement par bz l'élément qui dans le second système est en pers[)ective avec b. Puisque ai,b2. d.di et a, b, C, d sont perspectifs, le biquotient (aib2Cidij est égal à (abcd) et par conséquent à (aibiCidi). Ainsi h^ et b^ doivent être tels qu'avec trois mêmes éléments ai. C,. di ils donnent naissance h des biquotients (aib2Cidi), (aibiCidO '^^ même valeur; donc b2 et bj sont identiques ( v. 54 ), et les deux systèmes donnés sont en situation de perspective.

64. Théorème. Lorsque deux lignées de quatre points ont un biquotient de même valeur et qu'en outre deux éléments correspondants coïncident, les droites qui joignent les autres points correspondants concourent en un point S, et les deux lignées sont perspectives.

Soient A, B, C, D les points d'une lignée et Ai. H^. C. D^

DK QUATRi: ÉLÉMKNTS 41

les points de l'autre; soit en outre (AHGD) = (A,B,GDJ et supposons que deux points correspondants G coïncident.

Menons les droites AAj, BBi, qui se couperont en un point S.

Le l)i(îuotient (AHCD) est égal au biijnolient analogue du faisceau AA,, 131îi, SG, SD (v. 55), et (Ai Hi C I)i)au biquotient analogue du faisceau AAj, BBi, SG, SDx ; donc, en vertu (le l'hypotiièse, ces biquotients des deux faisceaux ont une même valeur (ABGD). Par conséquent, les droites SD, SDi coïncideront, vu qu'avec trois rayons AAi, BBi, SG elles doivent donner naissance à un biquotient de même valeur (v. 54).

Ainsi les droites AAi. BBi, etc., menées par les points correspondants, concourent en un même point S, qui est le centre de perspective des deux lignées (v. 6).

65. GoROLLAiRK. Puisque deux lignées, ayant un biquotient de même valeur, peuvent être placées en situation de perspective, il en résulte que tout biquotient de l'une est égal au biquotient semblablement formé de l'autre (v. 56).

66. Théorème. Deux lignées de quatre points sont en perspective, lorsqu'elles ont un biquotient de mf-me valeur, et qu'un point de l'une coïncide avec un point quelconque de l'autre.

Soit (ABGD) = (GHIK.) et supposons, par exemple, que B coïncide avec K. On peut amener la lettre K à occuper comme B la seconde place dans le symbole (v. 47). H suffît pour cela de permuter K avec H et G avec I, ce qui donne (ABGD) = (IKGH). Les lignées ont encore un même biquotient et les deux points qui coïncident sont correspondants, donc les droites AI, GG, DH passent par un point (v. 64), et les lignées sont perspectives.

67. Théorème. Lorsque deux faisceaux de quatre rayons ont un biquotient de même valeur et qu'en outre deux éléments

correspondants coïncident, les intersections des autres rayons correspondants sont situées sur une même droite et les faisceaux sont perspectifs.

Soient a, h, c, d les rayons d'un faisceau, et a^, b^, c, d^, ceux de l'autre; soit en outre (abcd) = (aibicd^), et suppo-

sons que deux rayons correspondants c coïncident.

Par les points aai, bbi menons une droite s. Le biquotient {abcd) est égal au biquotient analogue de la lignée aa^, bb^, se, sd, (v. 55) et (a^bicd^) au biquotient analogue de la lignée aai, 661, se, sdi; donc, en vertu de l'hypothèse, ces biquotients des deux lignées ont une même valeur {abcd). Par conséquent, les points sd, sdi coïncident, vu qu'avec trois points ottj, 661, se ils doivent donner naissance à un biquotient de même valeur (v. 54).

Ainsi, les rayons correspondants se coupent en des points aa^, bb^, etc., situés sur une même droite 5. Les deux faisceaux sont donc perspectifs (v. ;>('»), et la ligne s en est taxe de perspective.

Di: QUATHi: KLK.MENTS 43

()8. CoROLLAiHi:. l*iiis(jiio (li'U\ faisceaux, ayant un biquolient (le même valeur, peuvent être placés en situation de perspective, il en résulte que tout biquolient de l'un est égal au biquotient semblablement formé de l'autre (v. 58).

09. Théorèmi:. Deui' faisceaux de quatre rayons sont perspectifs, lorsqu'ils ont un biquotient de même valeur, et quun rayon de l'un coïncide avec un rayon quelconque de l'autre.

La démonstration est semblable à celle qui a été donnée précédemment (v. 66).

70*. Thkorème. Lorsque deux feuillées de quatre plans ont un biquotient de même valeur et qu'en outre deux éléments (plans) coincident , les plans correspondants se coupent en des lignes situées dans un même plan, et les deux feuillées sont perspectives.

Soient A, B, C, D les plans d'une feuillée et A^, B^, C, Di ceux de l'autre; soit en outre (ABCD)= (A^B^CD^)

et supposons que deux plans correspondants C coïncident. Par les droites AA^, BB^ menons un plan S. Le bi-

44 SYSTÈMK PRIMAIRE

quotient (ABCDJ est égal au hiquolient analogue du faisceau AA^, BB^, se, SI) (v. 57) et (A^B^CD^) au biquotient analogue du faisceau AA^, BB^, SC, SD^ ; donc, en vertu de l'hypothèse, ces hiquotients des deux faisceaux ont une même valeur. Par conséquent, les droites SD, SD^ coïncident, puisqu'avec trois rayons AA^, BB^, SC elles doivent donner naissance à un biquotient de même valeur- Ainsi les plans correspondants se coupent suivant des droites situées dans un même plan .S, et les deux feuillées sont perspectives (v. 38).

71. * Théorème. Deux feuillées de quatre plans sont perspectives, lorsqu'elles ont un biquotient de même valeur et qu'un plan de l'une coïncide avec un plan quelconque de l'autre.

La démonstration est encore semblable à celle du § 6G.

72. Théorème, Lorsqu'une lignée et un faisceau de quatre éléments chacun ont un hiquotietil de même valeur, il est toujours possible de les placer en situation de perspective, c'està-dire qu'on peut mettre les points de la lignée sur les rayons correspondants du faisceau.

Soit (ABCD) = (abcdj.

Placez la lignée t de telle manière qu'un point A se trouve

Dt: gUATllK KLÉMENTS 45

sur le rayuii correspondant a. Par les autres points B, C, D, menez des droites b^, Cj, (/, [»arallèles à a. Le faisceau «1, hi, Cl, di a un même bi(iuotient (jue la lignée A, B, C, D (v. 55) et par conséquent que le faisceau a, b, c, d; de plus, les éléments correspondants a, ai coïncident; donc les deux faisceaux sont en perspective et se coupent en des points Al, Bi, Cl, Di situés sur une droite ^i (v. 67), Prenez sur cette dernière une longueur (A,I) égale à (AB), menez par I une parallèle au rayon a et par l'intersection B3 avec b une parallèle t.^ à h. La lignée A3, B3, C3, Ds formée par les intersections de t^ avec les rayons a, b, c, d est en perspective avec ce faisceau. En outre, elle est égale k la lignée A, B, G, D; car les différents segments sur ts et sur t sont proportionnels aux segments correspondants sur t^; ils sont donc proportionnels entre eux; et puisque (A3B3) = (AB), il en résulte que (B3C3) = (l^C), etc.

73* Thkorème. Lorsqu'une lignée et une feuillée de quatre éléments chacun ont un biquotient de même valeur, il est toujours possible de les placer en situatioti de perspective, c est-àdire qu'on peut mettre les points de la lignée dans les plans correspondants de la feuillée.

Coupez la feuillée par un plan (juelconque, puis, au moyen de la construction précédente, mettez la lignée en perspective avec le faisceau des quatre intersections.

74* Théorè:me. Lorsqu'un faisceau et une feuillée de quatre éléments chacun ont un biquotient de même valeur, il est toujours possible de les placer en situation de perspective, c'est-àdire qu'on peut mettre les rayons du faisceau dans les plans correspondants de la feuillée.

Soient %, bi, Ci, di les rayons du faisceau et a, b, c, d les intersections de la feuillée avec un plan perpendiculaire à l'arête ; soit en outre (abcd) = (aib^Cidi).

Mettez les deux faisceaux de manière à ce qu'une paire d'éléments correspondants a, «i coïncident; les faisceaux se-

ront alors en perspective et les autres rayons correspondants se couperont en des points situés sur une droite s (v. 67). Menez à SSi une perpendiculaire par son milieu et soit C le point où elle rencontre l'axe s. De C comme centre et avec se pour rayon tracez une circonférence, qui coupera ^^ en deux points; puis joignez ces points avec S, Si par les droites /, ii, j, ji. Il est évident que les angles (ij), (iiji) sont droits. Les faisceaux a, b, c, (/, /, j, et «i, ^i, Ci, rfi, i^, ji sont en situation de perspective; tout biquotient formé avec quatre rayons de l'un est donc égal au biquotient formé avec les éléments correspondants de l'autre.

Placez ensuite ces deux faisceaux de manière à ce que i

nr, QUATRK KLÉMCNTS 47

coïncide avec h et soit s^ Taxe de perspective où se coupent aai, hbi, cd. Or, comme (abij)= (aib^hj^), les deux rayons j,j^ doivent se rencontrer sur la même droite que a, (h, c'est-àdire sur Si; mais /, ,/,' sont parallèles, puisque les angles (ij), (hji) sont droits; donc,/, jx sont parallèles à Si et par suite cette dernière ligne est perpendiculaire sur i.

Maintenant il suffira de tourner le plan du faisceau a^, h^, c^ autour de Si jusqu'à ce ([ue S, se trouve sur la perpendiculaire * érigée en S sur le plan du faisceau a, h, c, . . . Les plans menés par les rayons correspondants a, ai, etc., forment évidemment une feuillée égale à celle qui est donnée et contenant en outre le faisceau a^, b^, Ci, dp

75. Nous venons de passer en revue les six combinaisons que l'on peut établir avec les systèmes primaires de quatre éléments, et nous avons i)ar là démontré que si deux systèmes ont un biquotient de même valeur, il y a toujours possibilité de les placer en situation de perspective. Il en résulte qu'ils sont alors projectifs. Ainsi :

Deux systèmes primaires de quatre éléme)its chacun sont projectifs, lorsqu'ils ont un biquotient de même valeur.

Cette propriété générale est la réciproque du dernier théorème de l'article précédent; elle entraîne évidemment l'égalité de tous les biquotients formés avec les éléments correspondants (v. 6:2). Il nous sera donc permis de désigner dorénavant par le nom de systt'mes primaires projectifs deux systèmes primaires ayant un biquotient de même valeur.

* Cette rencontre est possible seulement quand le sommet Si est plus éloigné de l'axe que S, c'est-à-dire quand l'angle (fli^'i) du triangle ainsi est moindre que l'angle (ai) du triangle ais\. Or si tel n'est pas le cas, il suffit de poser les deux faisceaux de manière à ce que j co'iucide avec ji, car («1 )i) est alors moindre que {aj).

SYSTÈMES JMUMAIHES

Constructions .

7G. Problème. Etant donnés trois points A, B, G sur une droite t, en chercher un quatrième X tel qu'un certain biquo-

tient de ces quatre points nit une valeur — .

Admettons qu'on veuille avoir (AGXB) = — ; si la lettre X,

qui représente le point inconnu, n'occupe pas la troisième place dans le symbole, on l'y amènera par des permutations (v. 47).

Menez par un des points donnés A une droite quelconque fi;

prenez sur cette dernière un segment {XC^) = p- l*uis, dans le même sens, si p et q sont de signes contraires, sinon dans le sens inverse, vous porterez une longueur (GiBi) = y. La droite menée parallèlement à ti par le point de concours S de GG, avec HBi coupera t au point cherché X.

DK nUATRK ÉLÉMENTS 49

En clTet, les quatre points A, B, C, X sont en perspective du centre S avec A, 13i, Ci, Xi, ce dernier étant le point infini de h; donc le biqnolient -— — : -pr-r^ est égal à

(ACi) . \aX,) (GiBi) ■ (X,Bi)'

Mais, d'un côté, ,^, .,\ = — — par suite de la construc- (CiBi) q

tion; de l'autre ' ^ = — 1, en vertu de la définition

(XjBi)

du point infini (toutes les fois que le point de section est à l'infini, le rapport de simple section est égal à — 1; ce fait ressort de la construction indiquée à la page 22 : en effet, si l'on porte une longueur (AM) quelconque, puis en un sens inverse une longueur égale (MN), le point X s'éloigne à l'infini et le rapport de simple section vaut — 1). Ainsi

(AC) (AX) , , ^. ,,^^„, , p

■^-77- : -7777-7- c est-a-dire (ACXB) a pour valeur -^ • (CB) (XB) q