Problème. Etant donnés trois points A, B, C sur une

50 SYSTÈMES PEUMAIRES

droite t, en chercher un quatrième X tel que la lignée de ces quatre points ait un biquotient égal à celui d'une autre lignée de quatre points donnés Aj, Bj, Cj, Xi.

Ce problème est identique avec le suivant :

Etant donnés trois points A, 13, C d'une droite, en chercher un quatrième X tel que la lignée de ces quatre points soit projectice avec une lignée de quatre points donnés Aj, li^. Ci. Xi.

Premier cas. Les deux lignées sont dans un même plan et sur des droites différentes.

Supposons le point X trouvé. Les faisceaux AAi, AB^, ACj, AXi et AiA, AiB, AiC, AiX, formés autour de deux points correspondants A, Aj ont respectivement les mêmes biijuotients

que les lignées Aj, B^, C,, Xj et A, B, C, X, avec lesquelles ils sont en perspective; donc les deux faisceaux doivent avoir des biquotients égaux; de plus, deux rayons correspondants AA,, A^A coïncident, donc les autres rayons correspondants se coupent sur une droite ^2 (v. (w). De là résulte la construction suivante, qui peut s'elTectuer avec la règle seule :

DE OLTATMi: KLKMKNTS 51

Menez une droite fa par les points de concours de AH, avec A,B et de AC, avec A, G; puis déterminez l'intersection des deux lignes AXj, ta; la droite qui passe par ce point d'intersection et par A, coupe t au point cherché X.

Second cas. Les deux lignées sont situées sur une même droite t.

Projetez l'une des lignées A, 13, G sur une droite I2 située dans le même plan ; déterminez ensuite comme dans le cas précédent le point X2 qui correspond à X^. La projection X de X2 sur t sera le point cherché; car

(AiBiGiXi) = (A^B^G.X^) = (ABCX)

Troisième cas. Si les deux lignées t, ti ne sont pas dans un même plan, on môme une droite t^ par deux points donnés A, Cj non correspondants. On projette ensuite la lignée t

sur ^2 depuis un point T situé sur GGi ; on obtient les points A, B2, Gi, X2. Par l'intersection S de AA^ avec BgBj on tire la droite SX2 qui coupera h en Xi. En effet les quatre

points A, B, C, X sont en perspective avec A, B2, Ci, X2, et ceux-ci avec Ai, Bi, C^, X^ donc le premier système est projectif avec le dernier.

79. Problème général. Etant donnés trois éléments a. b, C d'un système primaire, en trouver tin quatrième \ tel qu'un certain biquotient (acxb) de ces quatre éléments soit égal au biquotient analogue (ftifiXibi) d'un second système primaire donné, ou bien

Etant donnés trois éléments a, b, C d'un système primaire, en chercher un quatrième x tel que le système de ces quatre éléments soit projectif avec un autre système primaire donné.

Si le premier système n'est pas une lignée, nous le coupons par une droite; nous faisons de même pour le second système. Nous cherchons ensuite comme dans le problème précédent un quatrième point tel que les deux lignées soient projectives. L'élément qui passe par ce point est celui qu'on . doit trouver.

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES