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Après avoir étudié les propriétés projectives des systèmes primaires de quatre éléments, il nous est facile d'aborder le cas où les systèmes sont complets.

Deux systèmes primaires en général.

Egalité des biquotients analogues. — 80. Nous rappelons en première ligne cette propriété fondamentale :

Lorsque deux systèmes primaires sotit projectifs, tout biquotient formé avec quatre éléments quelconques de l'un est égal au biquotient analogue des éléments correspondants de l'autre (v. 62).

81. La proposition réciproque est également vraie. Soient en effet deux systèmes primaires t. i^. Choisissez arbitrairement dans t trois éléments a. b, C et dans ti trois autres «lu bi, Cl que vous regarderez comme les éléments correspon-

dants respectifs de a. b, C Prenez ensuite un quatrième élément (l et déterminez (Ij

fi c \ (la

fil Cl Xi (Il ai

de manière que ce dernier ait avec a^ 1)]. Ci un biquotient (ai fil Cl (11) égal au biquotient analogue (abcd) de l'autre système (v. 79). Puis à chaque élément x de t faites correspondre un élément Xi tel qu'un biquotient (a^ fi^ d^ xj de cet élément et de trois autres a^ bi, (li déjà fixés soit égal au biquotient analogue (ab(lx). Cela fait, il est toujours possible de placer les deux systèmes t, ti de sorte que a, b, C, (1 soient en perspective avec au bi, C|, (li, puisque ces deux groupes ont un même biquotient (v. 75). 11 en sera de même pour chaque nouvelle paire x, Xi, car elle forme avec trois autres paires perspectives a, a^ b, b|, (1, (l|, deux biquotients analogues é^aux. Ainsi :

Etant donnés arbitrairement dans deux systèmes primaires trois couples d'élêînents correspondants a, a^ fi. b|. C, Ci, si à chaque élément \ du premier système on fait correspondre dans le second un élément \,, tel ({u'un biquotient de cet élément et de trois autres déjà fixés soit égal au biquotient analogue des éléments correspondants, les deu.r systèmes primaires seront projectifs.

A plus forte raison :

DeiLv systèmes primaires dont les éléments se correspondent un a un, sont projectifs, lorsque tout biquotient de quatre élé-

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viCTits quelconques de l'un est égal an hiquotient analogue des éléments correspondants de l'autre.