De ce dernier lliéorénio résulte (jue

Deux systèmes primaires \, ti sont projectifs l'un avec l'autre, si chacun d'eux est projcctif avec un troisième (o.

Dkter.mi.nation de deux systèmes projectifs. — 83. Deux systèmes primaires sont complètement déterminés par la donnée de trois paires d'éléments correspondants a, fli, î), bi, C, Ci, et par conséquent ils sont égaux, si l'on peut faire coïncider trois éléments a, ï), c de l'un avec les éléments correspondants de l'autre.

En effet, il existe toujours un seul et unique élément \, qui dans l'un des systèmes ti puisse correspondre à un élément quelconciue \ donné dans l'autre, vu que le groupe a^ bi- Cl \i doit avoir un biquotient égal au biquotient analogue des éléments correspondants a, h, C, \.

Situation en perspective. — 84. Deux systèmes primaires sont perspectifs, lorsqu'ils sont projectifs et quen outre trois paires d'éléments correspondants sont en situation de perspective.

Si a, h, C et ai, bi, Ci, sont en perspective, il en sera de même d'une quatrième paire quelconque \. Xi puisque les biquotients analogues de ces deux groupes de quatre éléments sont égaux (v. 63).

Construction. — 85. Etant donnés deux systèmes primaires t, ti par trois couples d'éléments correspondants, on peut se proposer de construire l'élément \i qui dans ti correspond à un certain élément \ de t. H suffit alors de placer les deux systèmes de manière à ce que trois couples d'éléments correspondants soient en perspective; celui des éléments de ti qui se trouve alors en perspective avec x sera

56 STSTÈMKS PRIMAIRES

l'élément cherché. Au reste, il y a encore d'autres procédés, dont l'application est plus facile suivant les cas (v. 79).

Equation entre deux systèmes projectifs. — 86. Il est possible d'exprimer, au moyen d'une équation du premier degré, la relation qui existe entre deux systèmes primaires projectifs t, tj. Soient en effet a, h, C trois éléments de t; si l'on donne dans ti les trois éléments a^ bi, Ci qui doivent leur correspondre, les deux systèmes seront déterminés, et une quatrième paire quelconque x, Xi satisfera nécessairement à la condition

(axcb) = (aiXiCib,)

Or le biquolient de quatre éléments peut s'écrire sous une forme particulière, si l'on rapporte les éléments à des origines

fixes. Considérons d'abord le cas où le système t est une lignée et choisissons comme origine un point fixe k de cette lignée, en regardant Tun des sens de la droite comme positif et l'autre comme négatif. Mais

(ax) = (ak)+(kx) = -(ka)-r(kx) (xb) = (xk)+(kb) = — (kx)+(kb)

^tc (V. 3i>);

Nous en concluons que

- (!^ (^ - — (ka)- (kx) — (ka-fikc) (axcb) - ^^jj^ ^^jj^ — (kx)-(kb) ' -,kc)^vkb)

Les distances des points a, b, C, X ;i l'origine k, c'est-à-dire

les longueurs (ka), (kb), (kc), (kx), étant représentées respectivement par les lettres a, h, c, x, le biquolient (axcb) pourra s'écrire

Si, au contraire, le système t est un faisceau, nous prendrons pareillement un rayon fixe k, à partir duquel les angles seront mesurés. Quel que soit le sens regardé comme positif,

(ax) = (ak)-l-(kx) = — (ka)-f (k\) d'où

Sin(ax) = — Sin(ka;.Cos(kx)4-Sin(kx).Cos(kaj Pour la même raison

Sin(xb) = — Sin(kx).Cos(kb)^-Sin,kb).Cos(kx) et ainsi des autres.

Donc le biquotient (axcb) ou

Sin(ax) . Sin(ac)

Sin(xb) Sin(cb)

est égal à

— Sin(ka).Cos(kx)+Siri(kx).Cos(ka) — Sin(kx,)-Cos(kb)4-Sin(kb).Cos(kx) '

— Sin(ka).Cos(kc)+Sin(kc).Cos(ka) — Sin(kc).Cosikb;-rSiii(kb).Cos(kc)

et par conséquent à

— Tang(ka)+Tang(kx) — Tang(ka)-rTang(kc)

— Tang(kx)+Tang(kb) ' — Tang(kcj+Tang(kb) Cette dernière expression devient

58 SYSTÈMES l'RlMAlRES

— a-j-x — a-f-c — x+b • — c-fb

si l'on admet que les lettres a, b, c, x représentent ici les tangentes des angles formés par les rayons a, b, C, X avec un rayon fixe k.

Lorsque le système t est une feuillée, le même raisonnement est encore applicable.

Ainsi quelle que soit la nature du système primaire a, b, C, X, le biquotient (axcb) pourra s'écrire sous la forme

— a+x — a-fc — x-fb ■ — c-j-b où les lettres a, b, c, x représentent, dans le cas d'une lignée, les longueurs des segments (ka), (kb), (kc), (k\) formés par les points respectifs a, b, C, \ avec un point iixe k de la même lignée et, dans le cas du faisceau ou de la feuillée, les tangentes des angles (ka), (kbj, (kc), (k\) formés par les éléments respectifs a, b, C, \ avec un élément fixe k.

87. Revenons aux deux systèmes primaires t, ti proposés. Prenons dans le système t une origine k et représentons par a, b, c, x, suivant les cas, soit les longueurs (ka), (kb\... soit les tangentes des angles (^ka), (kb)... Alors

(axcb) =

— x-rb — c-j-b

En fixant do même dans le système ti une origine I,, et en

représentant par a^. b,, c,, x, les longueurs (liai), (libi),

ou les tangentes îles angles (l,a|\ (li b|)..., nous aurons

(a.x.c.b,) = ^1^ : -^ — x,+b, — Ci-rW

COMPLF.TS 59

Mais les deux systèmes t, t| sont projeclifs, donc

(axcb) = (aix,c,b,) et par suite

^ ^ — x+b ■ — c+h ~ — x,+b, ■ — c,+b, Après avoir elTectué ies opérations nécessaires pour ordonner cette expression par rapport à x et Xj, nous aurons la relation suivante ''' :

C2) |a(bi-cO+b(c,-a,)+c(a,-b,) | x x^

— ^ aai (bi— c,)+bb,(c,— a,)+cci(a^— b,) i x + Jaai(b — c)-|-bbi(c— a)+cci(a — b)j x,

— Jaa,(bc, — bic)+bb,(ca, — c,a)+cci(ab, — ajb)? = 0

(*) L'équation (2) peut, au moyen de la lliéorie des déterminants, se déduire de la précédente (1), pour ainsi dire sans aucun calcul. En elTet, elle doit être évidemment du premier degré, soit par rapport à x, soit par rapport à x^ : elle est donc de la forme

m mm

oi!i les coefficients — , — , — sont inconnus. De plus, il faut m . m m

qu'elle soit satisfaite, quant on remplace x, Xj par les trois couples de valeurs a, a^, h, b^, c, c^.

Donc on a

aaiH a+ -^ ^h H = 0

'm mm

bb,4- — b-f JLb-|-iL=o

'm 'mm

cCiH c-f -i- Ci+ -!- = 0

in m m

que nous exprimerons plus brièvement par

(3) mxxi+nx-f-pxi-fq = 0

où

/ m = a(b,— Ci)+b(c,— a,4-c(ai— b,) n = — aai(bi — c^) — bb,(Ci — a,) — cci(ai — bi) p = aa,(b — c)-|- bbi(c — a)4-cCi(a — b)

[ q = — aai(bci — b,c) — bbi(cai — c^a) — cCi(abi — ajb)

88. L'équation générale à quatre termes (2) est ainsi la traduction algébrique de la relation qui existe entre deux systèmes primaires projectifs; on en peut déduire facilement les principales propriétés que nous avons vues jusqu'à présent. En premier lieu, elle est symétrique par rapport aux deux systèmes, puisqu'elle est vérifiée quand on remplace a, b, c, x par a,, h^, Cl, Xi et vice-versâ; donc les deux systèmes jouent le môme nJle l'un vis-à-vis de l'autre. Elle est également symétrique par rapport aux différentes paires d'éléments correspondants, car elle n'est pas modifiée, si l'on permute a, aj avec b, b^ ou avec c, c^. De ce que l'équation est du premier degré soit en x, soit en x,, on en conclut qu'à une valeur donnée x correspond toujours une seule valeur x,; en d'autres

Si, entre les quatre dernières équations, on élimine les quantiles mconnues — , -i— , — !- (lui s v trouvent au premier degré,

mm lu on obtient le déterminant

aai biji ce,

Telle est la forme élégante sous laqucMIe on peut écrire l'équalion (2). Les coefficients de w^ x, \i et le tenue connu s'obtiennent sans difficulté.

termes à un élément x du premier système correspond toujours un seul élément Xi du second et réciproquement. Enfin il est clair que l'équation est complètement déterminée, lorsqu'on donne les valeurs a, a,, b, b,, c, c^ : ce qui revient à dire que deux systèmes projectifs sont déterminés par trois paires d'éléments correspondants.

Si les deux éléments correspondants c, Ci sont pris pour origines, les quantités c, C| seront nulles et l'équation (2; deviendra

(5) (ab,— a,b)xx,— a,bj(a— b)x, +ab(ni— bi)xi= 0

89. Réciproquement lorsqu'entre les longueurs des segments (ou les tangentes des angles) formés par les éléments correspondants X, X4 de deux systèmes primaires t, t, avec des origines fixes k, li, il existe une relation exprimée par une équation du premier degré, les deux systèmes sont projectifs.

Soit

mxxi4-nx+px,+q = 0

l'équation donnée; soient en outre x, x^, a, Hi, b, b,, C, Ci

quatre paires quelconques d'éléments correspondants et X, Xj, a, a„ b, b,, c, C| les longueurs des segments ou les

tangentes des angles (kx), (I, x,), (ka), (I, ai)

De l'équation ci-dessus on déduit __ nx+q

mx+p __ na+q ma+p nb+q

nc+q c, = -

mc^-p

et par suite

62 SYSTÈMES PRIMAir.KS

Les Liquotierits (axcb), (aiX^db)) peuvent s'écrire

— a-rx — a+c

— x+b ■ — ci-b

— a^+x, — a,-t-Ci

— x^+bi " — Cj+b,

Or, si l'on substitue dans celte dernière expression à la place de x^, a^ b^, c^ les valeurs ci-dessus, on trouve que les deux biquotients sont égaux. Donc les deux systèmes t ti sont projectifs.

90. L'étroite parenté que nous venons d'établir entre la relation de deux systèmes primaires projectifs etVéqualion du premier degré est très-importante au point de vue des applications. Un simple coup d'œil suffit quelquefois pour montrer que deux systèmes primaires t, ti sont projectifs. En effet, si nous désignons par x, x,, les longueurs des segments (éventuellement les tangentes des angles) formés par les éléments correspondants x, x^ avec des origines fixes k, Ij, il est clair qu'à une valeur donnée x correspondra toujours une seule valeur x^ et vice-versâ, quand les éléments des deux systèmes t, t^ se correspondent un à un. Or cette relation traduite en algèbre amène entre x et Xj une équation du premier degré par rapport à Tune quelconque de ces quantités, toutes les fois qu'il ne sagit point d'une question de nature transcendante. Nous en concluons que les deux systèmes t, t^ doivent être alors projectifs. Ainsi

Deux systèmes primaires complets dont tous les éléments se correspondent un à un sont projectifs, quand il n'y a pas entre eux une relation de nature transcendante.

Si l'on a reconnu que les éléments de deux systèmes se corresi)ondent un à un, on peut généralement admettre qu'ils sont projectifs. Il suffit donc de construire trois paires d'élé-

COMI'LKTS (33

ments corrosponilanls; la con>truclion d'une qualriùme paire se fera dès lors sans aucune dilliculté. Les exemples suivants et qui n'ont rien de transcendant, montreront les précieux avantages de cette méthode féconde.

Applications. — 91. On donne dans un plan deux droites fixes t, t^ et un angle qui tourne autour de son sommet T. Dans la position (xx^) de l'angle, le premier côté x coupe la droite t en un point X, tandis que le second x^ rencontre /j en X^.

Si la droite x tourne jusqu'à ce quN^lle reprenne sa position initiale, elle décrira tous les points de t; pendant ce temps, x^ parcourra également tous les points de t^. Nous obtenons ainsi deux lignées l, t^ et nous remarquerons de suite qu'à un point quelconque X de l'une d'entre elles correspond un seul point X^^ de l'autre. Nous en concluons que les deux lignées t, t^ sont projectives, ce qu'il est du reste facile de vérifier.

Soient en effet A, B, G, X quatre points quelconques sur t, let Al, Bi, Cl, Xi les points simultanés ou correspondants sur fj. Les angles ATÂ^, BTB^ sont égaux en vertu de l'hypothèse; donc, si on les retranche chacun de l'angle ATBj, les restes

AjTBj , ATB seront égaux. Il en est de même pour les autres angles correspondants A^TX^ , ATX, etc. En conséquence, tout biquotient du faisceau des quatre rayons TA^, TBj, TC^ , TXj est égal au biquotient analogue du faisceau TA, TB, TC, TX et par suite tout biquotient des quatre points Ai, Bj, Cl, Xj est égal au biquotient formé d'une manière semblable avec A, B, G, X (v. 55); donc les deux lignées t. t^ sont projectives (v. 81).

Trois paires de points A, A^, B, B^, G, G^ étant construites avec la règle et le compas, toutes les autres paires pourront s'obtenir avec la règle seule. Si l'on donne, par exemple, le point X, on trouvera le point X^ d'après l'un des procédés que nous avons vus (v. 78).

92. On donne dans un plan un point T et deux droites t, t^ fixes. Un segment (FX) d'une longueur constante se meut sur une droite t. Dans chaque position on mène par T et par l'extrémité F une droite TF qui coupera t^ en un point Xj.

A chaque point X de t correspond ainsi un seul point Xi sur t^ et vice-versà. Donc les deux lignées sont projectives. Si l'on glisse toute la lignée t sur elle-même jusqu'à ce que le

co.mplp:ts

point X vienne là où se trouvait F, les deux lignées seront en perspective.

93. Dans un plan sont donnés deux points jQxes T, T^, une droite variable x passant par T, et une perpendiculaire x^ abaissée du point T^^ sur cliafjue droite x.

A chaque rayon du faisceau T correspond une seule droite par Tj et vice-versâ. Donc les deux faisceaux T, Ti sont projectifs; on peut s'en convaincre par l'examen des biquotients analogues.

94. On donne dans un plan un point T et deux droites fixes t, t^. On mène par T une droite variable x qui coupe t en un point X, et de ce dernier on abaisse chaque fois sur t^ une perpendiculaire, qui rencontre t^ en X^.

A chaque rayon x.d\i faisceau T correspond un seul point Xj sur t^ ; et réciproquement à chaque point X^ de la lignée t^ correspond une seule droite par T. Donc le faisceau T et la lignée t^ sont projectifs.

95. On donne un point T et une droite t. Par cette dernière on mène un plan variable X, sur lequel on abaisse chaque fois du point T une perpendiculaire x.

A chaque plan A^ de la feuillée t correspond une seule

SYsrEM^:s imumviriis

droite x par T; et réciproquement à chaque rayon x du faisceau T correspond un seul pian X passant par t. Donc la feuillée t et le faisceau T sont projectifs.

Deux lignées projectiver en général.

Génération de dt^ux lic.néks pHOJtcnvKs. — 06. D'après la définition que nous en avons donnée, deux lignées sont projectives, lorsqu'elles peuvent être placées en perspective. Examinons comment dans cette situation les différents points se comportent entre eux, et recherchons s'il n'y en a pas qui jouissent d'une particularité remarquable.

La projection des points d"une lignée t depuis un centre S

sur un plan ou sur une autre droite située dans le plan projetant, engendre une nouvelle lignée f, qui est projeclive avec t. Le rayon (pii passe par un point A de / détermine sur t^ le point correspondant A^ ; et réciproquement le rayon

CO.Ml'LKTS ()7

mené par le point Aj délermiiio sur t le point corres[)ond;int A. Les lieux points A, Aj jouent donc le même rôle l'un à l'égard de l'autre.

L'intersection C des deux droites /, /^ est en même temps sa projection C^. Ce point est cpielquefois nommé le point commun des deux lignées.

Le point inlini de t sera généralement désigné par \. Le rayon projetant du point 1 est d'après notre convention (v. 3) une parallèle à /. L'intersection Ij de cette parallèle avec t^ est donc le point correspondant de L Lorsque le rayon projetant parcourt successivement tous les points de t de manière à tendre de plus en plus vers le point infini I, son intersection avec /^ s'approche en même temps de plus en plus d'une position limite Ij.De même si l'on désigne, comme nous le ferons communément, par J^^ le point infini de t^^ on obtient sur t et sur le rayon parallèle à t^ un point J, qui sera le correspondant de J^. Ces quatre points I, I^, J, J^ jouissent de propriétés importantes et seront appelés dans la suite les points limites des deux lignées.

Supposons qu'un rayon décrive en partant de SJ l'angle intérieur JSI^^ du parallélogramme JSIiG, puis continue sa marche pour revenir à sa position initiale; il parcourra simultanément d'abord les parties JACBI et JjAiCjBJi ensuite IXJ et IiXiJj. 11 y a donc dans les deux lignées quatre branches, que séparent les points limites et qui se correspondent une à une. Par conséquent, si un point B est situé sur la branche JA, c'est-à-dire du même côté que A par rapport au point limite J, le point correspondant Bi sera pareillement sur la branche correspondante IiA^, ou si l'on veut da même côté que Ai par rapport à li.

Cas particuliers. Le centre de projection S peut être à finfini. Dans ce cas deux segments projectifs quelconques (AB),

(AiBi) sont dans un rapport constant; de plus le rayon SI, qui joint le centre avec le point infini de t, a deux points S, I à l'infini, et par suite il se confond avec la droite infinie du plan : en conséquence, le point correspondant Ii est pareillement à l'infini. Nous en pouvons dire autant lorsque les

li^'nées t, t^ sont parallèles. Dans l'un et l'autre cas, les segments projectifs sont proportionnels, les deux points I, J^ se correspondent et par conséquent les points limites se

COMPLF.TS

trouvent tous à l'infini. C'est là ce qu'on appelle des lignées semblables.

Si le centre S est à rinfini et si, de plus, les droites t, t

CT) s

Ix'i

sont parallèles, non seulement les points infinis se correspondent, et les segments projectifs sont proportionnels comme cidessus, mais encore il y a égalité entre ces segments. On dit alors que les lignées sont égales.

Nous faisons maintenant abstraction de la situation en perspective et admettons que l'on puisse déplacer les deux droites t, t^ sans rien changer à la position relative des points d'une même droite, ni à la correspondance entre les points des deux lignées.

Détermination de deux lignées projectives. — 97. Deux lignées projectives t, h sont complètement déterminées, quand on donne trois couples de points correspondants A, Aj, B, Bx, C, Cx (v. 83). Il suffit, par conséquent, de connaître une paire A, Ax et les points limites J, Ix, parce qu'alors, en tenant compte des points infinis I, Jx, on possède trois paires. On construit facilement avec la règle le point X^ qui dans une lignée correspond à un point X de l'autre (v. 78).

70 systèmes phimairks

Relations entre les rapports de slmple section. — 98. Soient deux lignées projectives t, h déterminées par trois paires de points correspondants A, Ai, B, Bi, C, Cj. Une quatrième paire X, Xi doit satisfaire à la condition

(AXGB)=(AaXiCiBJ

donc on a

(6) d'où

(AX) (XB) •