Si les points infinis se correspondent, c'est-à-dire si

(Ki) J est ;i l'infini, le rapport - — - est éijal à — l. et par oon-

(JB)

séquent on a

comi'Li:ts

(AX

(Xlij

(AX

(XB)

rv Y\ M Y ^

"" "•'> (A,X,) (X,li.,

Lorsque dans deux li(jnées projectives les points infinis se correspondent, il s'en suit que les segments projectifs sont proportionnels ; les lignt'es sont alors semblables. Si de plus deux segments projectifs sont égaux, il en est de même pour tous les autres, et les lignées sont égales.

Distances di:s points correspondants aux points limites. — 100. Les quatre points A, J, I, X et leurs correspondants

\ Il X,

satisfont à l'équation

OU) . (Aij ^ (V^ (Ml (JXj ■ (IX) (j,xj • (i,xo

mais chacun des rapports - — . l ili p^| ActoI ô j

;*^ (IX)' (JiXJ ^ ^ ^^^'^ ^ ''

donc on a

(AJ) {\\)

(JX) (A,I,) d'où

(11) (XJ) (X,l,) = (AJ)(AJJ

Donc, en regardant A, Aj J, I^ comme fixes et X, Xi comme variables, on peut énoncer le théorème suivant:

Dans deux lignées projectives le produit des distances (Xi), (OCJjj de deux points correspondants variables X, X^ aux points limites respectifs },\ a une valeur constante.

101. Réciproquement, lorsque dans deux lignées dont les points se correspondent un à un, le produit des distances de deux points correspondants quelconques X, Xi à deux points fixes J, \ situées sur ces lignées a une valeur constante et de même signe les deux lignées sont projectives.

Soient A, Ai deux points correspondants ; on aura, en vertu de l'hypothèse

(XJ) {\\) = (AJ) (AJ,)

Les points J, I^ regardés comme points limites et A, A^ comme correspondants déterminent deux liptnées projectives (v. 97); appelons Xj le point projectif de X. Daprès le théorème précédent, il faut que

(XJ)(XJ,) = (AJ)(AJO, donc (XJ)(X2li) = (XJ)(XJ,)

Cette égalité ne peut avoir lieu que si Xj coïncide avec X^, ce qu'il fallait démontrer.

102. Il en résulte qu'étant donnés deux points correspondants A, A^ dans deux lignées projectives t. t^, si l'on prend de l'autre côté des points limites J, 1^ deux points X, Xj situés à des distances égales en valeur absolue à celles de A, Ap les points X, X^ seront correspondants, car ils satisferont à la condition

(XJ)(XJJ = iAJ)(A,lJ

Donc

Dans deux lignées projectives il y a s g m et rie par rapport aux points limites J, Ii. En d'autres termes, si Ton tourne autour du point limite J lune des branches de / de manière à

coMPLF/rs 73

ce qu'elle tombe sur l'autre et si l'on fait la même chose pour t^, deux points quelconques qui coïncideront dans t auront pour correspondants deux points qui coïncideront également.

CaractéristiquI': D!:s lk.nkks projixtivks. — 103. Le produit constant (XJ)(XiIi) des distances de deux points correspondants aux points limites J, I^ sert à déterminer numériquement deux lignées projectives, abstraction faite de leur position dans l'espace. En effet, si ce produit est le même pour /, ?, et pour s, s^, la première lignée t étant superposée sur s et la seconde t^ sur s^ de manière à ce que les points limites coïncident, il faudra, en vertu de l'hypothèse, que deux points quelconques superposés de t et s aient pour correspondants deux points superposés de h et s^.

Si les points infinis se correspondent le produit (XJ)(XiIi) est alors infini et ne peut pas en conséquence servir de caractéristique. Les lignées, étant alors semblables, sont déter-

(AX) minées par la valeur du rapport constant -^— - — des seg-

(AiXj)

ments projectifs (v. 99).

Points des segments nuls. — 104. Généralement dans les lignées non semblables, les distances de deux points correspondants aux points limites J,Ii sont différentes. Toutefois pour deux paires de points ces distances sont égales entre elles. La construction de ces points peut s'efïectuer comme suit :

Superposez les deux lignées l'une sur l'autre de manière à ce que I^^ coïncide avec J et que A^ tombe du côté de A en Aj; construisez un cercle sur le segment des points extérieurs A, J comme diamètre, puis menez une perpendiculaire à la droite

SySTKMKS PKIMAIRES

AJ par le troisième point A^. La (li>tai)ce du point J à Tintersection G2 <Je la perpendiculaire avec le cercle est la distance

cherchée : en la portaiit sur les deux lignées de part et d'autre des points limites, on obtiendra de la sorte quatre points. Nous désignerons généralement par G et Gj les deux points situés sur deux branches correspondantes et par H et Hi les deux autres.

11 est évident que G et Gi sont projectifs; car, d'après un théorème de géométrie élémentaire, la corde (G^J) est moyenne proportionnelle entre le diamètre (AJ) et sa projection (AjJ) sur le diamètre; en d'autres termes on a-

(G2J)(G,J) = (AJ)(A,J) donc

(G.I) (GJO = (AJ)uU)

On en conclut que G et G, sont correspondants (^v. 101); de même pour H et IIj.

Ces points G, H, Gi, Hj jouissent de plusieurs propriétés remarquables et reçoivent pour une raison que nous allons bientôt voir, le nom de points des segments nuls.

Si:c.mi:nts projkctiks kgaux. — 105. Soient deux lignées t, ti déterminées par les points A, J, Aj, Ij. L'équation {\ 1)

COMPLF.TS

donne la proportion : (A.l) : (IjX,) = (X.I) : (liAi); or la différence des antécédents est à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent : (AJ)-(XJ) : (I.XO-(I.A,) = (AJ) : (h^,) = (XJ) : (l.A,) ou

(AJ)+(JX) : (A,I,)+(I,X,) = (AJ) : (I,X,) = (XJ) : (I.A,) donc

(12) (AX) : (A:X,) = (AJ) : (I.X,) = (XJ) : (l,A,)

En conséquence, si l'on prend sur t un point X tel que (XJ) soit égal à p fois (I,A,), le segment (AX) sera pareillement égal à p fois sa projection (A,Xi). Nous pourrons donc résoudre le [)roblènie suivant :

Etant données deux lignées projectices t, t^ et une paire de points correspondants A, Ai, trouver un point X tel que le segment (AX) soit égal à sa projection (AiX,).

Il suffit de porter sur t du même côté que A par rapport à J une longueur (XJ) égale à (liA,). Ou peut, sans employer

Xi A, \, Cl B,

l'un des procédés vus plus haut (v. 78), construire le point X^. En effet, la proportion (12) montre que (AJ) = (li X^) si (AX) = (A,X,). On portera donc pareillement sur ti du côté de Al une longueur (I|X,) égale à (AJ). Les deux points obtenus X, Xi sont correspondants, puisqu'ils satisfont à la condition (XJ)(XiI,) = (AJ)(AiIi), et de plus les segments projeclifs (AX), (AjX]) sont égaux.

Si l'on prend sur l'autre branche de t une longueur (BJ) égale à (Ail,) et sur l'autre branche de f, une longueur (B,I,) égale à (AJ), on obtiendra une nouvelle paire de points correspondants, puisque (BJ) (B,J,) = (AJ) (A,I,); en outre (AB)=(AiBi). Il y aurait donc une seconde paire de points B, Bi formant avec la paire donnée A, A, des segments égaux; mais nous remarquerons que si, dans la position de perspective, le rayon projetant parcourt la partie (AB). il parcourt simultanément non pas (AB), mais toute la droite f, hormis ce segment. De pareils segments dont les extrémités seules sont projectives et qui comprennent les points limites peuvent être appelés segments négatkement projeclifs.

Nous concluons de ce qui précède la propriété suivante :

Lorsque dans deux lignées projectives on donne une paire de points correspondants A, Aj, et que les points limites ne sont pas à l' infini, il est toujours possible de déterminer une seconde paire X, Xi telle que les segments (AX), (AiX^) soient projeclifs et égaux ; il est encore possible de déterminer une troisième paire B, B, telle que les segments (AB), (A,Bi) soient égaux, mais négativement projectifs.

Yu la symétrie dans la correspondance des deux branches de t avec les deux branches de t^. il est clair que. si Ton fait du côté de B la longueur (CJ) = (AJ) et du côté de B, la longueur (0,1^) = (A,Ji), les points C et C, seront correspondants, et de plus (BC) = (B^C,). Donc on a des deux côtés des points limites deux segments (AX), (BC) égaux entre eux et à leurs projections. Remarquons encore qu'on obtient aussi deux segments (GX), (C,Xi) égaux à (AB) et (A,B,), mais négativement projectifs comme ces derniers.