Si Ton cherche quelle est la seconde paire de points

qui avec G, G, (v. 101) terminent des segments projectifs égaux, on trouve les mêmes points G, Gji les segments, dans ce cas, sont nuls. 11 en est de même pour la paire H, Hj. Voilà pourquoi ces points ont été nommés points des segments nuls. En revanche, les deux points qui avec J, J, forment des segments projectifs égaux se trouvent être les points infinis.

Les extrémités non correspondantes Aj,. X de deux segments projectifs égaux satisfont à la condition (XJ) = (IiA^); donc le produit (AJ)(XJ) est égal au produit constant(AJ)(A,I,) ou à (GJ)(GJ). Donc les deux extrémités A, X doivent être situées de part et d'autre du point G des segments nuls qui se trouve sur la même branche.

Une relation analogue existe entre les extrémités A, B d'un segment qui est égal à sa projection négative (AJ^i). Si (AJ) est moindre que (GJ), en revanche (BJ) sera plus grand que (GJ). .

107. Pour terminer ce sujet, nous nous proposons de résoudre le problème :

Etant données deux lignées projectives t, t^, trouver deux points tels que le segment compris entre ces points, ainsi que sa projection soient égaux l'un et l'autre à une longueur l.

Tracez un cercle qui soit frangent à l'un des points des

A. fi X,

78 SYSTÈMKS PHI.MÂI1U:S

segments nuls G, et dont le diamètre soit égal à /. Menez une droite par J et le centre, elle coupera la circonférence en deux i)oints X2, A2. Si vous prenez sur t d'un même côté de J les longueurs (JA) et (JX) égales àfJA.^) et (JX2), les points A, X seront les points cherchés. En elïet, (AJ)(XJ)^(iiJ;('GJ) donc A, X sont les extrémités d'un segment qui est égal à sa projection. De plus (AX) = (A2X2)= /. Ou peut aussi porter les longueurs (JA2), {i\) sur l'autre branche, ce qui donne une seconde réponse.

Axe projegtif. — 108. Soient t, r, deux liguées projectives situées dans un même plan. Joignons par des droites le point Al avec les points A, B, G, X puis le point A avec les correspondants A^, Bi, G^, X^. Les faisceaux A^A, A^B, A, G, AjX et AAj, ABi, AGi, AX, composés chacun de quatre rayons

ont respectivement les mêmes biquotients que les lignées A, B, G, X et A,, Bi, Ci, X,, avec lesquelles ils sont en perspective; donc ils ont des biquotients égaux. De plus deux rayons correspondants A^A, AA, coïncident. Si donc on appelle s la droite menée par l'intersection de AB, avec A^B et par celle de AiG avec AGj, il faudra que A,X et AXj se coupent sur cette'droite s (v. 67).

Soient 0 et P, les points qui dans les deux lignées t, /, sont

coMi'r.KTS 79

sn|»(3rpos6s. Puis(|iic A,0 et A0| se coupent sur s, il faut que AO, passe par l'intersection de A|0 avec s; il en résulte que celle intersection est elle-mC'me le point 0,. Pour une raison analogue, l'intersection <le s avec AO détermine le point V. Ainsi *• rencontre les deux, lii^nées dans les points qui correspondent à leur intersection.

Cela posé, on voit que si l'on projette de deux autres points correspondants quelconques G, Cj les deux lignées t, ;^, on obtiendra deux faisceaux en situation de perspective; et pour la même raison que ci-dessus, l'axe de perspective devra passer par les points fixes 0^, P; c'est donc encore la même droite s. Ainsi lorsque deux lignées sont projectives et situées dans un plan, les intersections de deux droites comme A,B, A13,, ou C^X, GX,, etc., se trouvent sur une droite fixe s, que nous appelons l'axe projcctif da deux lignées.

II en résulte que, si l'on donne trois paires de points A, A^, B, Bj, G, Ci de deux lignées projectives, on peut facilement construire le point X de l'une correspondant à un point quelconque X, de lautre. On détermine d'abord deux des intersections de ABi avec A,B. de AG, avec AjG et de BG, avec B,G. On mène par ces intersections la droite s ; ensuite on joint le point donné X, avec un point quelconque G de l'autre lignée, pourvu qu'on en connaisse déjà le correspondant. La droite menée par l'intersection de X,G avec 5 et par le point correspondant Gi doit nécessairement couper t au point cherché X.

On peut par le même lu^océdé construire les deux jjoints J, I,, qui correspondent aux infinis. Or, d'après la propriété précédente, l'inlerseclion des deux droites I^J et IJ^ doit être

80 STSTÈMES PRIMAIRES

sur s; mais, puisque IJ^ a deux points l et J^ à l'infini, elle est la droite infinie du plan; donc IjJ ne saurait la rencontrer qu'à l'infini ; l'intersection des trois droites Ij.l, Uj, s étant à l'infini, il s'en suit que s est parallèle à IiJ. Donc :

Lorsque deux lignées sont projectives et situées dans un même plan, l'intersection des deux droites AB^, A^B, qui vont de deux points quelconques de la première lignée aux points correspondants, pris incer sèment, est toujours sur une droite fixe s, qui est parallèle à la droite I,J mewee parles points limites et rencontre les deux lignées dans les points Oi.P correspondants à leur intersection (0 ou PJ.

109. Si l'on désigne par (AB^ AjB) le point commun aux deux droites AB, et AjB, on pourra, en employant cette notation, énoncer le corollaire suivant :

Etant données dans un même plan deux lignées de trois points chacune A, B, C, Aj, Bi, G,, les trois points (ABj, AjB),

(BCi, BjC), (CA,, CiA) sont sur une droite s.

Projections de deux lignées sur un cercle. — 110. Soient dans un plan deux lignées projectives t, r, et deux points T, Ti sur la circonférence d'un cercle. De T projetez sur la circonférence la lignée A, B, G, X..., en a, b, c, x..., et de ïj les points A,, Bj, Cj, X^... en aj. b,, c,, x,... Vu l'égalité des angles correspondants, le biquotient a(a,b,CiX,) est égal à Ti(aibiCiX,)* et par conséquent à (A,B,G|X,); de même a,(abcx)=(ABCX); et comme (ABCX)=(A,B,G,X,), il en résulte que a(a|biCiX,) = a,(abcx). En outre, les rayons correspondants aai, a, a coïncident; donc les deux

* Nous représentons par Ti(ail)^riXi) le biquotient des quatre rayons l^aj, 'J\bi, TiCj, Tx^.

faisceaux formés autour des points a, a, sont perspectifs et par suite les intersections (ab,, a,b), (ac,, a,c), (ax,, a,x),....

sont situées sur une même droite p.

On peut encore démontrer que les droites bc^, b^c menées de deux projections quelconques b, c, aux points homologues b„ Cj pris inversement, se rencontrent toujours sur cette ligne p. En efïet, b(aibiCiai) = c(aibiC,ai), puisque les angles correspondants sont égaux; si l'on coupe le premier faisceau par abi et le second par acj, on obtient les

lignées

(abi, bai) ^i (ab,, bc,) a

(aCi, caj) (ac,, cb,) c, a

qui sont perspectives. Donc les droites p, bjC, bc, menées par les éléments correspondants concourent en un point. D'où le théorème :

Si l'on projette deux lignées projectices t, t^, sur la circonférence d'un cercle à partir de deux points T, T^ situés sur cette dernière, les droites bci, biC qui joignent deux points h, c

de la cifconference avec leurs homologues bj, Ci iiris inversement se renconlrenl toujours sui- une m'me droite p.

Situation en perspective. — 111. Dou.k lignées projeclives t, t^ sont en perspective, lorsque trois paires de points

correspondants sont déjà dans cette situation (v. 84). La dite condition est remplie, si deux points correspondants C, Ci coïncident; car on a trois paires de points A, A,, B, B,, C, Ci en perspective depuis le point de concours de AAi avec BBp Le centre de perspective S est à Tinterseclion des droites JJi, IIi. Or (SIi) = (CJ), et (SJ) = (CI,)- Si donc Tune des lignées t tourne autour du point commun C sans sortir du planfTi, les deux lignées seront encore en perspective, puisque deux points correspondants C. Ci coïncident; de plus (SI,) reste toujours égal à (CI). Donc

Deux lignées t, /, sont en situation de perspective, lorsqu elles sont projectives et qu'en outre deux points correspondants G, Cl coincideM. Si l'on tourne l'une d'elles t autour

COMI'LETS 83

du point commun C. les deux lignées restent en perspective, et le centre S décrit tin cercle autour du point limite I^ de la lignée fixe. Le rayon de ce cercle est égal à la distance (Ci) du point commun C à l'autre point limite J.

EouATioN i:ntf\i-: dkux luinées projectives. — 112. Soient deux lignées projectives t, t^ déterminées par trois paires de points correspondants variables. Si Ton désigne par a, b, c, x

Bj^ Gi Lj^ l]^ Xi Cl H^ Yi Aj

les distances respectives des points A, B, C, X à une origine fixe K prise sur / et par ai, bi, Ci, Xi celles de Ai, B^, Cl, Xi à une autre origine Li située sur ti, les deux lignées seront liées entre elles par l'équation (v. 87) ( 1 3) mxxi -f- nx 4- px^ -|- q = 0

On en déduit la valeur de Xi au moyen de celle de x

nx+q

mx^l) et vice-versâ.

113. Le segment forméjpar deux points X, Y de la première lignée t est toujours

(XY) = (XK)4-(KX) = — (KX)-f-(KY) = — x+y Soit l la longueur du segment (XY), d"où

De même le segment projectif sera (XiYO = (XjLi)+(LiYO = — (LiXi)+(LiYO = — Xj-fyi ou, en remplaçant Xi, Yi par leurs valeurs données par les équations (14) et (15),

nx-fq n(x+l)+q

mx+p m(x+l)-|-p Or on peut déterminer x de telle manière que cette expression ait une valeur donnée. Un cas particulier est celui où.

(XiYi) = ±1 On pose alors

nx+q n(x+lj+q mx+p m(x-Mj+p " Si le second membre a le signe 4", les deux segments (XY), (XjYi) sont projectifs et égaux. Dans ce cas l'équation peut s'écrire

(16) \ (mx+p)^+(np— qm)

— m(mx+p) Si, au contraire, on fait (X^Yj) = — 1, les deux segments sont égaux, mais négativement projectifs, et l'équation devient

(17) } — (mx+p)'— (np — qm)

— m(mx-|-p) La valeur de 1 donnée par l'équation (IG) est infinie, si le dénominateur du second membre s'annule, c'est-àdire si X = — — — Le point en question n'est pas autre m

chose que le point limite J (v. lOG), de sorte qu'on a pour (KJ) ou j la relation

Vu la symétrie, on aurait de même pour (LJi) ou i,

En revanche, le segment l donné par l'équation (IG) est nul, quand le numérateur du second membre est égal

à zéro, «'est-à-dire quand x = — —L ^ — Vpn qm .

Ce sont donc les valeurs qui donnent les points des segments nuls G, H. Ainsi l'on a

(KG) == g = 2 | \^^^^

(KH) = h = 1^ i- Vpn^plir

(20) et de même

(m'-'i) gi — 1 V pn — qm

(LjHi) = h^ = Vpn— qm

La distance (GJ) est égale à(GK.)-f (KJ) ou à — (KG)-f (K.J)

et par suite à Vpn— qm . Donc la caractéristique

(XJ)(XJi) ou (GJ)^ des deux lignées t, h a pour valeur pn — qm

114. L'équation (13) contient quatre termes sous sa forme générale; mais elle peut être ramenée à un plus petit nombre de termes par un choix convenable des origines K, Li ou suivant la nature des lignées.

lo Lorsque les origines sont deux points correspondants, l'équation (13) doit être satisfaite, quand on fait dans le pre-

mier membre x == 0, et x^ = 0; il faut alors que le terme connu q soit nul. L'équation se réduit dans ce cas à mxxi + nx + pXj = 0 2o Si l'une des origines est au point limite J l'équation sera satisfaite quand on y remplace x par 0 et x^ par ^

c'est-à-dire par 0. Si donc on divise préalablement (13)

par Xi et si 1 on fait x = U, = 0, on voit que p = 0;

l'équation est donc alors

mxXj + nx + q = 0 3o Pour une raison analogue, le coefficient n est nul, quand l'une des origines est au point I^ de sorte que l'équation est dans ce cas

mxx^ + pxj + q = 0

4o Si les points infinis se correspondent, l'équation (13), préalablement divisée par xx^, doit être satisfaite quand on y

remplace , par zéro, d'où résulte que m est alors

X Xj

nul; pour les lignées semblables l'équation est donc nx + px^ + q = 0 Tels sont les cas où la rebilion qui existe entre les longueurs X, Xj est exprimée par une équation à trois termes. 5° L'équation ne contiendra que les deux termes mxXj + q = 0 quand on prendra pour origines les deux points limites J, Ii, puisqu'alors les coefTicients n et p s'annulent.

Go Enfin pour les lignées semblables, l'équation se réduit pareillement aux deux termes

nx + pXj = 0 quand on prend pour origines deux points correspondants.

I 15. Nous avons déjà démonlré que s'il existe, entre les segments x, Xj formés par deux points correspondants quelconques de deux lignées t, t^ et deux origines prises sur ces lignées, une relation exprimée par une équation de la forme

mxxi + nx + pXj + q = U

les deux lignées doivent être projectives (v. 89).

Quand le coefficient m est nul, les lignées sont semblables, car l'équation, divisée préalablement par xx„ est

satisfaite pour =0, - = 0: en d'autres termes les

X Xj

les points infinis se correspondent.

Lorsque n est nul, l'équation, après avoir été divisée

par X, est vérifiée par les valeurs x, == 0, = 0, donc

l'origine sur t^ est le point limite Ij.

Si p est nul, l'équation divisée par x^ est satisfaite par

les valeurs x = 0, = 0; donc l'origine sur t est le

\ point limite J.

Enfin, si q est nul, le premier membre de Téquation s'annule, quand on fait x = U, Xi = 0, donc les deux origines sont alors en des points correspondants.

Deux faisceaux projectifs en général.

Les propriétés fondamentales de deux faisceaux projectifs peuvent se déduire de celles des lignées projectives, grâce au principe de la corrélation dans le plan.

Génération de deux faisceaux projectifs. — 116. Si Ton unit chaque point d'une droite s (axe de perspective)

avec deux points fixes S, S^ au moyen de droites, l'ensemble des rayons autour de S forme le faisceau S; de même l'ensemble des rayons autour de Si constitue le faisceau S^. De plus, les faisceaux sont en situation de perspective (v. 37). S'ils ne se trouvent pas dans un même plan, il est permis, sans rien changer à la position relative des éléments d'un même faisceau, de tourner Tun des plans autour de l'axe s jusqu'à ce que les deux plans coïncident. Ce mouvement ne détruit pas la position de perspective. Nous pouvons donc supposer que les deux faisceaux sont situés dans un même plan.

Le rayon a qui joint les deux sommets est aussi son rayon correspondant n^, on pourra l'appeler le rayon commun des deux faisceaux.

Menez un cercle dont la circonférence passe par les deux sommets S, S^ et dont le centre soit sur Taxe s. Soient /, ;\ les deux rayons qui concourent en fun des points d'inler-

COMPLLTS 89

section de la circonférence et de l'axe, et soient pareillement j, j\ ceux qui concourent en l'autre point. Il est évident que i correspond à /, et j à j^. Les deux rayons i, j, forment un angle droit et partagent ainsi le faisceau S ea deux moitiés; il en est de même pour la paire i^, j\. Lorsqu'un rayon mobile décrit l'une des moitiés (ij), le rayon correspondant décrit pareillement la moitié correspondante (iiji). Donc quand un élément b se trouve dans l'angle (ij), l'élément projectif 6^ doit être situé dans l'angle (iji)- Les droites i, \,i,ju divisent conséquemment les deux faisceaux en moitiés qui se correspondent une à une et seront appelées rayons limites.

Plusieurs cas spéciaux peuvent se présenter : lo Si l'axe de perspective s est à l'infini, les rayons projectifs b, bi sont parallèles, et par suite les angles correspondants (l&cj, (^ô^cj, ont une même valeur: les deux faisceaux

sont dits égaux. Dans ce cas, à deux rayons rectangulaires quelconques b, c correspondent deux rayons 61, q qui se coupent pareillement à angle droit; il y a donc alors une infinité de rayons limites.

2o Si l'axe de perspective est perpendiculaire sur le milieu de (TTi), tout angle formé par deux rayons b, c de l'un des systèmes T sera égal àl'angle correspondant f6iCi); mais on remarquera que si le rayon a décrit le faisceau T dans

SYSTEMES ','fUMAiru:S

un sens, le rayon correspontlant r/, parcourt le faisceau T^ dans le sens contraire. En d'autres termes, les angles correspondants (bc), (biCj,... ont des signes différents, si l'on

admet dans les deux systèmes un même sens comme positif. Les deux faisceaux projectifs en question seront dits negalivement égaux. Dans ce cas, si deux rayons h, c sont perpendiculaires, leurs correspondants le seront aussi; il y a donc encore une inlinité de rayons limites.

3» Si l'un des sommets T est à l'infini, les droites qui concourent en ce point doivent être parallèles. Deux rayons ne peuvent en conséquence être perpendiculaires l'un à l'autre; il n'y a donc pas de rayons limites réels dans ce cas.

Détermination des faisceaux projectifs. — 117. Deux faisceaux projectifs sont déterminés, lorsque trois couples de rayons correspondants sont donnés (v. 83). Ils seront donc pareillement déterminés, quand on connaîtra une paire a, a^ et un rayon limite de chaque faisceau avec leurs désignations; car alors on peut en déduire les deux autres rayons limites.

Le rayon .r, qui correspond à un rayon donné >r peut être construit d'après la méthode indiquée précédemment (v. 79).

Relations entre les angles projectifs. — 118. Soient

cuMPLii rs 9 1

deux faisceaux prujeclifs T, T, déterminés par trois paires de rayons correspondants (i, a,, h, 6,, c, c,. Une quatrième paire X, .r, doit satisfaire à la condition

(axcb) = (a^x^c^b^) donc on a

Sin(rt.r) Sin(^/f) Sin(rt,a;i) Sinf^iC^)

^'" ^ Sin(.r6) ' Sin(<:/^) Si n (.ri 6,) * Sirj((^ d'où

Sin(rt./;) Siii(r/,./;,) Sin(f^(') Sin(<^?,Cj)

Sin(.r6) ■ Sin(xi6j) Sin(c6) Sin(Ci6,)

c'est-à-dire

Dans deux faisceaux ijrojectifs le quotient de deux rapports de simple section corresiJondanls a une valeur constante, lors même que les éléments de division x, x^ varient.

Angles formés par les rayons correspondants avec LES RAYONS LLMiTEs. — 110. Si dans l'équation (21), on remplace a, b, c respectivement par i, j, a, on a

Sin(/.c) Sin(/a) Sinf/j.r,) Sinf/jf/^)

Sin(a7) ■ Sm(aj) Sin(j;,7,) ' ^in{a^i^)

mais la somme des deux angles (ix), (xj) est égale à (//), c'est-à-dire à un droit, donc le sinus de l'un est égal au cosi-

, .. • . Sin(/jî) ,. .

nus de 1 autre: et par suite le rapport -;. , ., peut s écrire

Sin(j:^)

Tanç; (ix) ou -,— :- ; la même observation peut être

Tang (xj)

faite à l'égard des autres rapports de l'équation ci-dessus, qui

par conséquent devient

(22) Tang(^>) : Tang(^J,) = Tang(m) : Ta.ng{i,a^] ou

(23) Tang(.r/). Tang(,y\) = Tang(rtO. Tang'a,ii) ou bien encore

92 SYSTÈMES FRIMA[RF.S

(24) TangCrj). Tang(.r,yJ = Tang(ay). Tang(a^g

En d'autres termes

Dans deux faisceaux projectifs le rapport di's tangentes des angles que forment deux rayons correspondants variables avec deux rayons limites correspondants a une valeur constante, ainsi que le produit des tangentes des angles formés par deux rayons projectifs variables x, x^ avec deux rayons limites non correspondants.

120. Réciproquement, lorsque dans deux faisceaux dont les rayons se correspondent deux à deux, le produit des tangentes des angles que forment deux rayons correspondants quelconques X, Xi avec deux rayons fixes i, ji a une valeur constante, les deux faisceaux sont projectifs.

La démonstration est la traduction de celle du théorème 89, avec cette seule différence qu'il faudra remplacer les segments par des tangentes.

On en conclut aussi comme pour le« lignées qu'il y a symétrie par rapport aux rayons limites dans la correspondance des deux moitiés d'un faisceau (les angles droits compris entre les rayons limites) avec les deux moitiés d'un autre faisceau projectif.

Hayons des angles nuls. — 121. Les angles que forment

deux rayons correspondants avec deux rayons hmites non

correspondants sont généralement inégaux. Deux paires de

rayons font toutefois exception. En effet, l'angle dont le

carré de la tangente est égal au produit constant Tang (ai). Tang (ai/i)

donne, quand on le porte à partir des rayons limites i eij^ dans deux moitiés correspondantes, deux rayons g, g^ qui sont projectifs, puisque par construction

Tang(^/'). Tang (gJO = Tang(aO- Tang(aji).

En outre, ces rayons g, ^, forment évidemment des angles égaux avec les rayons limites non correspondants. Si l'on porte ensuite l'angle obtenu à partir des rayons limites /et), mais dans les deux autres moitiés correspondantes, on obtient une nouvelle paire de rayons //, A, ayant les mêmes propriétés que g et ^,. Ces (juatre rayons g, ^,, h, //, seront appelés rayons des angles nuls (pour la construction voyez le § suivant).

Angles PROJEcrn-'s égaux. — 12:2, Etant donnés deux faisceaux projectifs T, Ti et une paire de rayons correspondants a, fli trouver un rayon x tel que l'angle (ax) soit égal à sa projection (a^Xi).

On peut placer les deux fais<:eaux, de manière à ce que a

coïncide avec a,. Les deux rayons parrallèles à l'axe de perspectives sont les droites cherchées x, j*,,

On peut aussi faire un angle {xj) égal à {a^i^) et {Xiii)=(aj), en ayant soin toutefois que les angles se trouvent dans les angles droits correspondants. Les angles (ax), {a^Xi) seront

94 SYSTÈMES l'IUMAIRES

éyaux par construction; de plus, ils seront projectile, puisque Vi[xj). tg(a;ig = tg(af). tg(«,y-J.

Chaque rayon a est donc un côté d un angle (ax) qui est égal à sa projection. Si a est en i ou /. langle est (/)'). Si a est en g ou h, l'angle est nul ; d où la qualitication de raijons des angles mils.

Si l'on porte sur les deux autres moitiés correspondantes, un angle {hi) = {u^i^ ^^\^h\) = {pj), lt;s deux rayons h, b^ seront également correspondants, puisqu'on a

Tang(/V). Tang(/y^/J = Tang(«,/:). TangCa^g de plus l'angle {ah) = (ci^b^), mais ces deux angles ne sont pas projectifs, car si nn rayon décrit l'angle (ah), le rayon correspondant décrit la partie extérieure à l'angle (aibi). Les deux angles (ah), (aihi), dont les côtés sont projectifs et qui renferment des rayons limites, seront appelés nugles nngaîivement projectifs.

En troisième lieu, on peut placer les deux faisceaux de telle manière que deux rayons quelconques correspondants c, c,i coïncident. Le cercle mené par les sommets T. T, et par le point d'intersection de a avec l'axe s coupe cet axe en un second point par où passe x. Les rayons a,, .Tj se coupent naturellement avec a et .r sur l'axo, et la figure montre que les angles (ax), {a^x^) sont égaux.

En général, tout cercle qui passe par les deux sommets coupe l'axe de perspective en deux points, et les rayons menés par ces points forment des angles égaux, l'ii cas particulier est celui où le cercle est langent à l'axe ; les deux rayons se confondent en un seul, et par conséquent l'angle est nul : on obtient ainsi les rayons g. gi. Le point de contact G peut s'obtenir aisément. En effet, si l'on appelle C rinterscclion

co.Mi'Li/rs 95

des rayons coïnciilaiits c, c, avec l'axe s, on voit que CG est une moyenne proportionnelle entre CT et CT, ; on portera donc de part et d'autre du point G une longueur égale à la tangente menée du point C à l'un des cercles passant par T et Ti, [)uis Ion mènera aux extrémités les rayons

De ce qui précède résulte le théorème suivant :

Lorsque Jcins deux faisceaux piojecllfs ou donue une paire de rayons correspondants a, a^, il est toujours possible de déterminer une seconde paire x, Xi telle ([ue les angles [ax), {^iX^ soient projeclifs et égaux. Il est encore possible de déterminer une troisième paire b,bx telle que les angles {ah), ('/i^i) soient égaux, mais négatirement projeclifs.

On démontrerait comme pour les lignées que les rayons a et X sont situés de part et d'autre des rayons g ou //, ainsi que les rayons a et b.

1;23. Dans deux faisceaux projeclifs trouver deux rayons tels que l'a?igle compris entre eux, ainsi que sa projection soient égaux l'un et l autre à un angle donné.

Plaçons les deux faisceaux de manière à ce que deux rayons des angles nuls ^, ^, coïncident; l'axe de perspective s

étant parallèle aux rayons correspondants qui avec les rayons su;ierpo3és g. g^ forment des angles égaux, doit être parallèle

kg. Si l'on pouvait décrire un cercle qui passât par les deux sommets T, Tj et dont l'arc ACX intercepté par l'axe fût capable de l'angle donné, les droites TA, TX, TiA, TiX seraient les rayons cherchés. Supposons le cercle tracé et menons au point X la tangente XE. Or, la longueur du segment (XE) est connue; de plus, le carré de (XE) est égal au rectangle formé avec (TE) et (TiE). La différence (TTj) de ces deux derniers étant donnée, nous pourrons facilement construire (TE). Une droite formant en E avec TTi un angle égal à l'angle donné détermine le point X et par conséquent le cercle.

Les rayons TA, TX, TjA, TiX forment une solution ; mais il y en a encore une seconde : pour l'obtenir, il suffit de prendre les rayons symétriques des précédents par rapport aux rayons limites.

Centre projectif. — I2i-, Soient deux faisceaux projectifs T, Ti situés dans un même plan, et soient a, a, deux rayons correspondants. Le faisceau Tj forme par ses intersections avec la droite a une lignée dont les points sont aai, abi, aci, etc. De môme le faisceau T détermine sur ai la lignée ttia, ai&, Or, deux biquotients analogues quelconques

de ces lignées ont la même valeur que It^s Itiquotients analogues des faisceaux et, par suite, sont égaux entre eux; donc les deux lignées en question sont projectives. De plus, deux éléments correspondants aai, a^a coïncident; de là résulte que les deux lignées sont en perspective, et que les droites {ah^, a^b), («c,, rt,c)... menées par les points correspondants concourent en un même point S. Si l'on désigne par 0 le rayon TT| du faisceau T et par f^ le rayon T^T du du faisceau T|, il faudra que la droite («,0, ao^ passe également par S, donc T,S est le rayon o,. De même, TS est le rayon p. Donc S est l'intersection des deux rayons qui correspondent aux éléments superposés.

En outre, on voit que si l'on prend les lignées formées par les faisceaux sur deux autres rayons correspondants quelconques h, &i, ces deux lignées seront encore en situation de perspective, et pour la même raison que ci-dessus, le centre de perspective devra se trouver à l'intersection des rayons Oj, Tp. Ce sera donc toujours le même point S. Ainsi

Lorsque deux faisceaux sont projeclifs et situés dans un même plan, la droite qui joint les intersections ah^, a-J) de deux rayons quelconques a, h d'un faisceau avec les rayons correspondants pris inversement, passe toujours par un point fixe S, que nous appelons le centre projectif des deux faisceaux. Ce point est l'intersection des deux rayons Oi, p qui correspondent aux éléments superposés.

Il en résulte que si l'on donne trois paires de rayons a, a^, b, bi, c, Cl de deux faisceaux projectifs, on pourra facilement construire avec la règle seule le rayon x qui correspond à un rayon quelconque donné x^. Deux des trois droites (a6„ fli6), (ôci, 6ic), (0%, c^a) déterminent par leur inter-

section le centre projectif S. Si maintenant on choisit deux rayons correspondants connus c, Ci, il faudra que la droite (cx^, CiX) passe par S; or, on connaît les points cXi et S; donc le troisième point CiX se trouve à la fois sur la droite qui joint les deux points cxi, S et sur Ci, donc à leur intersection. C'est par ce dernier point que doit passer le rayon cherché x.

Du théorème précédent se déduit le corollaire :

125. Etant donnés dans un même plan deux faisceaux de trois rayons chacun, a, h. c, a^, h^, q, les droites {ab^. (7,6), (6ci, 6,c), {ca^, c^a) concourent en une même point S.

Situation en perspective. — 126. Deux faisceaux projectifs T, Ti sont en situation de perspective, lorsque trois paires de rayons correspondants sont en perspective (se coupent sur une droite).

Lorsque les deux faisceaux se trouvent dans un même

plan et que deux rayons currespondants a, a^. coïncident, on

peut dire qu'alors les trois paires a, a»,, h, />,. r, c, sont en

situation de perspective, donc les faisceaux sont également

perspectifs.

t Si les deux faisceaux sont perspectifs, les intersection? des

rayon^ correspondants sont situées sur une droite s qui est l'axe de perspective des deux faisceaux; le centre de perspective peut être pris arbitrairement sur la droite TTi. Les faisceaux restent évidemment en perspective, lorsqu'on tourne lun ou l'autre autour de Taxe.

l;27. Supposons les deux faisceaux situés dans un même plan et en perspective, et soient par exemple i, l'i, les rayons

correspondants qui coïncident. Au rayon j qui est parallèle à l'axe s doit correspondre un rayon ji également parallèle à s, puisque, les deux faisceaux étant perspectifs, j^ doit passer par le point d'intersection de j avec s. Ces deux rayons j, i^ font donc avec les rayons coïcidents /, /^ des angles égaux; du reste, il est clair qu'en général toute autre paire b, bi forme respectivement avec i, h des angles inégaux entre eux. Donc, lorsqu'on transportera l'un des sommets Si en un autre point S2, sans sortir du plan et en maintenant la coïncidence des deux rayons /, /^ les rayons j, jx restent parallèles; mais comme les faisceaux sont perspectifs, le point d'intersection 7jj doit se trouver sur le nouvel axe et, par conséquent, cet axe est encore parallèle à j. Ainsi

Lorsque deux faisceaux, situés dans un même plan, sont projectifs, et que deux rayons correspondants coïncident, les deux faisceaux sont en situation de perspective, et l'axe est parallèle aux deux rayons correspondants qui sont eux-mêmes parallèles ou qui forment des angles égaux avec les deux rayons superposés.

Equation entre deux faisceaux projectifs. — 128. Soient deux faisceaux T, Ti déterminés par trois paires de rayons correspondants a, a^, b, 61, c, c^, et soient deux origines A', Il choisies arbitrairement parmi les rayons de chacun des faisceaux. Si Ton représente par a, b, c, x les tangentes des angles {ka), (kb), (kc), (kx) et par ai, b^, Ci, Xi celles des angles (ha^), {hbi), (hci), {l^x^), il sera posible d'exprimer la relation projective des deux faisceaux au moyen de Téquation (v. 87)

(25) mxxi + nx 4- pxi + q = 0

où m = a(bi — Ci) + b(Ci — ai) -f- c(ai — bi)

n = — aai(bi — Ci) — bbi(ci — ai) — cci(ai — bi) p = aai(b — c) -f bbi(c — a) + cci(a — b) q= — aai(bci — bic) — bbi(cai — Cia) — cci(abi — aib)

La proposition réciproque est également vraie (v. 89).

129. L'angle de deux rayons x,y du faisceau T satisfait toujours à l'équation suivante

(xy) = (xk) + {ky) = —(^kv) -f (%) d'où

— Tîing(A-.r) + Tar\i:{kii)

Tangfo:*/) = . 1 ,,. — ,, , t, — —tt ^^ ^'^ 1 -f lang(A\r). Tang(A-(/)

ou, en représentant par x, y les tangentes de (kx), {ky)

— x-fv

Tang(a'f/) = — ;

°^ ^^ l-|-xy

CUMPLKTS 101

On aurait de même