f- XiV

mais l'équation (25) donne

nx -f- q

mx -h !>

^ iiy — q

^'' iny 4- p

Deux des quantités x, y, Xi, yi, Tang(jci/), Tang(j:ji/J étant données, toutes les autres se déterminent au moyen des quatre dernières équations. En particulier, si les deux angles projectifs (xy), {x^yj sont égaux, et si 1 désigne leur tangente, on a

([n^-fn^— mq4-npU^+-2(mp4-nq)x-f(p'^-f-q^— mq+np)

' "^ (mp-|-iiq)\.2-]-(P^-h'l^ — m^— n2)\-|-(niq — np — p^— q^ )

A chaque quantité mise à la place de x correspond génélement une seule valeur de 1 ; en d'autres termes, chaque rayon x du faisceau T est l'un des côtés d'un angle (xy) qui est égal à sa projection (xiyi). Pour obtenir l'équation qui concerne les angles égaux mais négativement projectifs, il suffit de changer le signe de Tang(.r^2/J ou ceux de n et q dans (26).

Les deux racines de l'équation (mp4-nq)x^-i-(p^+q^ — m^ — n^)x-h(mq — nq — p"* — q^j = 0 substituées à la place de x dans (26), rendent 1 infini et déterminent, par conséquent, les deux côtés de l'angle qui est égal à sa projection et dont la tangente est infinie; ces deux côtés sont les rayons limites ?, j.

Si dans (26) l'on fait x égal à l'une des deux racines de Téquation (m^+n^ — mq+np)x^+2(mp-hnq)x-|-(p^+q^ — mq+np) = 0

la valeur de 1 est nulle; les deux racines donnent ainsi les rayons g, h.

130. De même que pour les lignées, l'équation (25) peut être réduite à un plus petit nombre de termes. Si l'on prend deux rayons correspondants pour origines, elle est alors satisfaite pour X = 0, Xi = 0, d'où l'on déduit queq = 0; dans ce cas, on a

mxxi + nx + pxj = 0

Si l'on adopte comme origines deux rayons limites correspondants i, /, ou j, j^, l'équation (25) sera satisfaite par x = 0, ï, = 0, et par x = ^, x^ = ^, d'où résulte que m et q sont nuls. On a donc

nx + px, = 0

Lorsque les origines sont deux rayons limites non correspondants /, j,, ouj, ii, l'équation (25) étant vérifiée par x = 0, Xj = ^ et par x = ^, Xi = 0, se réduit aux deux termes mxxi + q = 0

Les réciproques des propositions de cet article se démontrent sans aucune difficulté.

Deiix feuillées projectives en général.

Analogie avec deux faisceaux projectifs. — 131. Supposons deux feuillées projectives t. ti. Les deux faisceaux T,T^, formés par les intersections de chaque feuillée avec un plan perpendiculaire à son arête, seront eux-mêmes projectifs, et, de plus, les angles compris entre deux rayons d'un faisceau nous donneront directement la grandeur de l'angle dièdre compris entre ceux des plans de la feuillée, qui passent par

ces rayons. Les éléments /, ), i, j^, g, ^,, h, h^, etc. des deux faisceau T, Ti déterminent dans les feuillées des plans /, /, II, Ji, G, Gi, H, //i, etc. qui jouissent des mêmes propriétés. Axe PROJECTiF. — 13:2. Soient deux feuillées projectives t, ti dont tous les plans passent par un même point P. Si l'on coupe les deux feuillées par un plan qui ne contienne

pas le point P, on obtient deux faisceaux projectifs T, Ti. Les

droites (abi, a^b), menées par les intersections de deux

rayons de T avec les rayons correspondants pris inversement, passent toutes par un point fixe S, situé à la rencontre des deux rayons Oi, p qui correspondent aux éléments superposés o,pi (v. 124). En projetant toute la figure plane depuis le point P, on a le théorème :

Lorsque deux feuillées sont projectives et ont un point commun, le plan mené par les intersections AB^, À^B de deux plans quelconques A, B, d'une feuillée avec les plans correspondants pris inversement, passe toujours par une droite fixe s, que nous appelons l'axe projectif des deux feuillées; cette droite est f intersection des deux plans qui correspondent aux plans superposés.