I D A B CI

les chemins AEB et ADUGB. iMais si trois points successifs A, B, G du parcours sont connus, le sens du mouvement sera déterminé. Quand la position intermédiaire B est hors du segment (AG), le point mobile doit passer l'infini.

Supposons deux lignées projectives t, f, situées sur une même droite. Tandis qu'un point mobile sur la première

Cl Bi Al

lignée passe successivement par A, B, G, le point correspondant passera par Aj, Bj, G,. Suivant que ces deux sens A. B, G et A,, B,, G, sont identiques ou non, les deux lignées sont dites de même sens ou de sens contraires.

Points doubles. — 136. Examinons si dans deux lignées projectives superposées, il peut arriver que deux points correspondants coïncident.

Cas où les deux lignées sont de sens contraires.

Quand un point mobile X parcourt la branche lAJ le point

Jx El Al 11 Fi Ji

lOG STSTÈMES PRIMAIRES

projectif X, décrit simultanément IjA^J,; il y a donc rencontre hors de (JIj) dans une position E, que nous appellerons point double. Ce dernier satisfait à la condition

(EJ)(E,I,; = (AJ)(A,I )

puisque E représente deux éléments correspondants (v. 100). Le point F symétrique de E par rapport au milieu 0 de (JI) est un second point double, car on a ^

(.FJj(FJ,) = (AJ)(AJ,)

Les deux segments (EF), (EiFi), renfermant chacun un point limite, sont égaux et négativement projectifs.

Cas où les deux lignées sont de même sens. Les seules parties correspondantes superposées sont celles qui se trouvent entre les points limites J, I^ ; mais, comme deux points

c/r i-— ■ vo

mobiles projectifs suivent le même sens en décrivant les deux lignées, il peut se faire qu'il n'y ait pas de rencontre. S'il y a un point double E, il faut que

(EJ)(EI,) = (AJ)(AJ,) = (GI)^

En d'autres termes, le point E doit partager le segment (JI,) en deux parties dont le rectangle soit égal au carré de (Gl). Réciproquement, tout point E qui satisfait à cette condition, est un point double (v. 101). Or, quand (JI,) n'est pas plus petit en valeur absolue que :2(GJ) ou que (GH), il existe un tel point E; son symétrique F par rapport au milieu 0 de (JIi) jouit de la même propriété. Les segments (EF), (E,F,) sont égaux et projectifs.

137. Cas particuliers. Quand les deux lignées sont semblables, les points infinis se correspondent et sont superposés; ils forment ainsi l'un des points doubles. Les segments projeclifs étant proportionnels, on a

(AX) : (A,X,) = (AB) : (A,B,) et réciproquement deux points X, X| qui satisfont à cette relation se correspondent l'un à l'autre. Donc le point F qui partage le segment (AAj) dans le rapport (AB) : (BiAi) est le second point double, puisqu'on a la proportion (AF) : (A,F) = (AB) : (A,B.)

Enfin, quand trois points coïncident avec leurs correspondants , il doit en être de même pour les autres paires. Tous les éléments sont des points doubles et les deux lignées sont identiques.

Construction des points doubles. — - 138. D'un point T pris sur la circonférence d'un cercle projetez sur celle-ci les lignées A, B, C,.... A,. B^, Cj,.... respectivement en a, b, c,... ai, bj. Cl,... Soit p la droite menée par les intersections (abi, a^b), (aci, ajc), (bc^, b,c),... (v. MO).

Pour obtenir le point X, qui correspond à un point donné X,

il suffît de mener une droite ajxpar les projections du point X et d'un point Ai de la seconde lignée, puis une autre droite par le point homologue a et l'intersection de a,x avec p. La dernière ligne menée rencontre la circonférence en Xj; la droite Tx^ détermine le point cherché Xj. En particulier, les points E, F dont les projections e, f se trouvent à la fois sur p et sur la circonférence, sont les points doubles des deux lignées; car si l'on cherche leurs correspondants, on obtient les mêmes points. De ce qui précède résulte la construction suivante :

On projette depuis un point T de la circonférence d'un cercle sur cette circonférence trois paires de points A, Ai, B, Bi, C, Ci respectivement en a, aj, b, bi, c, Ci; puis on mène la droite p par deux- des trois intersections (abi, aib), (aCi, aiC), (bci, biC). Les rayons menés du point T aux intersections de p avec le cercle passent par les points doubles E, F.

139. Etant donnés deux paires de points A, Ai B, B,, et un point double E, construire le second F.

Projetez d'un point quelconque S les deux points A, B sur une droite t^ menée par E. La droite qui joint le point S avec

l'intersection Si de AjA^. BiB^ passera par F. En elïet, les deux lignées A, B, E, F et A,. B,. E, F étant [)erspectives,

chacune avec Ag, Bo, E, Fg sont projectives entre elles et par conséquent F est un point double.

Si les deux lignées superposées sont semblables, le point E se trouve alors à l'infini (v. 137), et la droite ^2 devient parallèle à AB.

Si les deux lignées sont semblables et si de plus les segments (AB), (A,B,) sont égaux et de même signe, le point E sera encore à l'infini, et fa restera parallèle à AB, comme dans le cas précédent. Le centre S étant pris à l'infini, il faudra que la droite SSi et par suite l'intersection F de SSi avec AB soient situées également à l'infini.

Propriétés des points doubles. — 1 40. Le quotient des rapports de simple section des points doubles