EX EX
XF X,F
E, F par deux points correspondants variables X, Xi a une
valeur constante égale à -— - (v. 98).
(JF)
141. Deux lignées projectives superposées sont semblables, quand elles ont un point double à l'infini; elles sont, en outre, égales et de même sens, quand elles ont deux points doubles à l'infini.
Ce théorème se démontre aisément par l'impossible.
142. Entre les segments (RX) ou x et (L,X^) ou x^, il existe (v. 87) une équation de la forme
(27) mxxi + nx -|- px, + q = 0
Lorsque l'origine L, coïncide avec R, et que x = x^, les
K II E Oi 0
110 SYSTÈMES PP.IMAlRIiS
points correspondants sont des points doubles. Ceux-ci sont alors donnés par les racines de l'équation
(28) x^ + ^^iîl X 4- -1 = 0
^ mm
Le coefficient du second terme, pris négativement, représente la somme des racines, c'est-à-dire la double distance de l'origine K au milieu 0 du segment des points doubles; le troisième terme est le produit des racines ou des distances des points doubles à l'origine K.
Le point 0 est aussi le milieu du segment (JIi) des points limites. En, effet, la distance KO ayant pour valeur
— est eaale a -—
iim
c'est-à-dire à la demi-somme des longueurs KJ. L.Ii (v. 1 13). L'équation (27), rapportée au point 0 comme origine, doit être satisfaite par les trois couples de valeurs
X = (OJ) = — (OIi), X, = (OJ,) = '^ X = (OOj = 0 , X, = (00,)
On en déduit que
n = — m(OI,) P = m(OI,) q = -m(OI0(OO0 L'équation (28) des points doubles devient, grâce à ces substitutions,
donc
(OE) ou (OF) = ± \\01i)^00i)
COMI'LliTS
Pour que le second membre soit une quantité réelle, il est nécessaire et il sullil que les deux segments (Olj), (OOi) soient de même signe; ainsi
Les yoints doubles de deux lignées projeclives superposées sont réels, lorsque le point Oi correspondant au point milieu 0 du segment (i[^) des points limites est situé du même côté que son point limite I, par rapport au point milieu. Si tel n'est pas le cas, le produit (0I,)(00i) est négatif, et les points doubles sont imaginaires; néanmoins leur milieu i) et le produit de leurs distances à un point quelconque des lignées sont encore deux quantités réelles, qui les déter7m?ient par l'équation (38).
143. Quand deux lignées projectives situées sur une même droite n'ont pas de points doubles réels, il existe de part et d'autre de cette droite un point d'où l'on voit sous des angles égaux et formés dans un même se?is de rotation tous les segments compris entre deux points correspondants.
Soit 0 le point milieu de (JIi). Son correspondant 0^ ne doit pas être situé du même côté que Ij par rapport à 0,
0 XJ ox i
puisque les points doubles sont imaginaires. Prenez sur la perpendiculaire en 0 une longueur (OS) moyenne proportionnelle entre (OOj) et (OIj). Je dis que l'angle XSXj sous
lequel on voit du point S deux points correspondants quelconques X, X4 a une grandeur constante.
En effet, l'angle ISIi = JSJj ; de plus, comme
(OJ) : (OS) = (OS) : (00,).
les deux triangles rectangles SOJ, SOOj sont semblables et par suite l'angle OSO, = OJS = JSJ,. En outre, vu la position du point 0], l'angle OSO, a le même signe que JSJ,. Si l'on tourne le faisceau SI, SO, SJ, SX d'un angle égal à ISIi, les trois premiers rayons coïncideront avec leurs correspondants, et puisque les deux faisceaux sont projectifs, les quatrièmes rayons SX, SX, devront aussi coïncider. Donc l'angle XSX, est constant.
144. La réciproque du dernier théorème se démontre facilement. Or, les points doubles, tout en étant imaginaires, sont néanmoins déterminés par leur milieu 0 et par le produit (0I,)(00i) ou (OS)^; ils ne dépendent donc en aucune sorte de la grandeur de l'angle XSX,. Par conséquent
Si autour d'un point S on fait tourner dans un même plan un angle XSX, de grandeur constante, ses côtés détermineront sur une droite fixe deux lignées projectives, X, X, qui auront toujours les mêmes points doubles (imaginaires), quelle que soU la grandeur de l'angle XSX,.
145. Supposons qu'autour du point S on fasse tourner un angle de grandeur constante, les côtés détermineront deux lignées projectives sur la droite infinie du plan. Si l'on mène autour d'un même point T des rayons parallèles aux côtés de l'angle mobile, les intersecttons avec la droite infinie seront les mêmes. En vertu du théorème précédent, les points doubles ne -dépendent pas de la grandeur de l'angle. Donc
Tout angle qui tourne autour de son sommet, forme par les
intersections de ses côtés avec la droite infinie du pian deux lignées projectives, qui ont les ninnes points doubles imaginaires, quelles que soient la grandeur de l'angle et la position du sommet.
Deux faisceaux projectifs autour d'un point et dans un plan.
140. Lorsqu'une droite coupe deux faisceaux projectifs TA, TB,.. TA,, TB,,.. ayant un même sommet T et situés dans un même plan, elle forme par ses intersections A, B, G,... A,, B,, Cl,... deux lignées projectives. Si X et X^ représentent deux points correspondants de ces lignées, les rayons TX, TXi seront aussi correspondants, et par suite les droites TE, TF menées par les points doubles E, F seront elles-mêmes des rayons doubles. Pour obtenir ces derniers, il suffira donc de rechercher les points doubles E, F d'après le procédé indiqué plus haut (v. 138). Quand le point T d'où l'on projette la lignée sur la circonférence d'un cercle, coïncide
avec le sommet T des deux faisceaux, la construction a lieu comme suit :
1 1 4 STSTÈMES PRIMAIRES
Pour construire les rayons doubles e, f de deux faisceaux projectifs ayant un même sommet T et situés dans un même plan, on fait passer par le sommet T une circonférence de cercle; on détermine ensuite la droite p oii se coupent toutes les paires de droites abi , a^b menées par les intersections a, b de deux rayons d'un faisceau avec la circonférence et les intersections correspondantes a^, lij, prises inversement. Les deux rayons qui aboutissent aux extrémités de la corde p sont les rayons doubles cherchés.
Quand les faisceaux ont des sens contraires, il en est de môme pour les lignées A, B, G,.. Aj, Bi, C^ ; les points E. F et, par conséquent, les rayons doubles sont alors toujours réels. Quand les lignées sont de même sens, les points doubles sont tantôt réels, tantôt imaginaires : les rayons doubles, qui aboutissent à ces points, seront donc réels dans certains cas; dans les autres, ils seront dits imaginaires.
Propriétés des hayons doubles. — 147. Le quotient
Sinfcr) Sin((\r,) , ■ , • ,
i : ^^ — — des rain)orts de simiile section des raijons
^m(xf) Sin(.ri/)
doubles e, f par deux rayons correspondants variables x, x^ a une valeur constante, (v. 118).
148. Si, dans les deux faisceaux, on prend pour origine une même droite k, les tangentes x, Xi des angles compris entre deux rayons correspondants x, .i-, et l'origine /.• seront liées entre elles par une équation de la forme
mxXi + nx -|- pxi + q = 0 Si de plus on fait x = Xi, celte relation devient
Les deux racines représenteront les tangentes des angles
COMI'LFTS \ I 5
(kc), (h'f) formés par les rayons doubles avec l'origine. Le
nrocliiit (les racines est toujours égal au terme connu : et
leur somme au coefficient pris avec le siane moins.
Soit 0 la bissectrice des rayons e, f, en d'autres termes,
soit
^2{ko) = {h') 4- (Â/)
d'où
^ ■ 1 — Tang(k'). ïaiig(/t/) q — m
La bissectrice o est donc toujours réelle. Or, comme les deux rayons e, f doivent satisfaire aux conditions
Tangfc'/). Tang((y\) = Tang(aO. Tang(ai;i)
Tang(^/). Tang'Yii) = Tang(«0. Tang(aiiO
il en résulte qu'ils sont situés symétriquement par rapport à
la bissectrice de l'angle (^i); les rayons doubles et les rayons
limites /, ji ont ainsi une même bissectrice. Donc
Quelle que soit la nature des rayons doubles e, f, le produit des tangentes des angles (ke), (kf) formés par un rayon quelconque k avec les élémeîits doubles e, f a toujours une valeur réelle. De même, l'angle compris entre les rayons doubles possède dans tous les cas une bissectrice réelle, qui est également celle de l'angle {ij{) formé par deux rayons limites non correspondants.
149. Soient autour d'un point deux faisceaux sup.'^rposés, dont les angles correspondants sont égaux chacun à chacun et dirigés dans le même sens. Ces deux faisceaux, qu'on peut former par la rotation d'un angle de grandeur constante, sont coupés par la droite infinie du plan en deux lignées projeC'
tives, dont les points doubles sont imaginaires et indépendants soit de la grandeur de l'angle générateur, soit de la position du somnnet (v. 144). Donc
Les rcujons doubles imaginaires de deux faisceaux superposés dont les aufjles correspondants sont égaux et formés dans un même sens, ont dans chaque plan des directions constantes.
Deux feuillées projectives autour d'une même droite.
i50. Etant données autour d'une même droite t deux feuillées projectives, si Ton mène un plan perpendiculaire a l'arête commune, les intersections formeront deux faisceaux projectifs. Les plans qui passent par t et par les rayons doubles e, f, ou par les rayons limites /, j, ii, ji seront respectivement les plans doubles ou les plans limites des deux feuillées et jouiront de propriétés analogues à celles que nous avons démontrées pour les faisceaux.
Lignées projectives en involution.
Définitiox. — loi. Deux lignées projectives t, /, situées sur une même droite sont, comme nous l'avons vu, complètement déterminées par trois couples de points A, Aj, B, B,, C, Cj, qui sttnt arbitraires. Or, il peut arriver que le point A
Al Xj Ij Cl Z^ Bi
coïncide avec C, et que A, coïnciile pareillement avec C. En d'autres termes, les deux lignées f, r, peuvent être superpo-
comi'm: Ts 1 1 7
sées de telle manière que les exlrémités non correspondantes de deux segments projeclifs égaux (AC), (A,C,) se recouvrent. Dans cette situation {larticulière, les lignées constituent ce qu'on appelle une involulion de points.
En généra}, des lignées projectices sont involutoires on, ce qui est la même chose, elles forment une involution de points, lorsqu'un des points, considéré succès si cernent comme appartenant à l'uue puis à f antre des deux lignées, a, da?is chacun des deux cas, le même point pour correspondant.
Points conjugués. — 152. Soient deux lignées projectives t, r, superposées, et supposons que les points A, C de l'une coïncident respectivement avec les points Ci, A^ de l'autre. Tout point X de t peut être envisagé comme représentant un point Z^ de îj. Puisque les deux lignées sont projectives, le biquotient (AGXZj doit être égal à (A,CiX,Z,) ou, par suite de lliypotiièse, à (CAX,X) ou bien encore, vu les permutations possibles, à(ACXXi); donc le point X, doit coïncider avec Z.
De là résulte qui! est permis d'envisager un point quelconque comme appartenant à l'une ou à l'autre des lignées, sans que sa projection change; c'est ce qu'on exprime en disant qu'on peut dans une involution permuter deux lettres correspondantes X, Xj. Les deux points dune même paire sont appelés pour cette raison points conjugués.
Lorsque deux lignées sont en involution, tout point considéré comme appartenant à l'une puisa l'autre des deux lignées doit avoir dans chacun des deux cas le même point pour correspondant. Quatre points quelconques sont toujours projectifs avec leurs conjugués.
