Une involution se trouve surabondamment détermi

118 SYSTÈ.MIÎS PRI.MAIhliS

née par deux paires de points conjugués A, A< B, B,, car chaque paire A, A^ en représente deux A, A^, C, C,, et trois paires suffisent pour déterminer deux lignées projectives.

Point central. — 154. Comme le point infini des deux lignées est à la fois I et J^, il faudra, s'il y a involution, que les points I, et J coïncident. Donc

Dans deux lignées incolutoires, les points limites \^ et J se troucent réunis en un point J que nous appellerons le point central de l' incolution.

La propriété réciproque est une conséquence de la définition; donc

Deux lignées projectives superposées de telle manière que les points limites J, Ij coïncident, sont en involution.

Points doubles. — 155. Si dans une involution les deux branches qui coïncident, sont correspondantes, les deux lignées auront des sens contraires et, par conséquent, des points

Bi F B J A E Al

doubles réels (v. 13G). En passant au besoin par linfiiii, on peut aller de A vers A, sans rencontrer ni B ni B, et viceversâ. On dit alors que les paires ne se séparent pas. Dans ce cas, les segments projectifs égaux (AA,), qui sont superposés, ne comprennent pas les points limites J, Ij.

Si, au contraire, les deux branches qui coïncident ne sont point correspondantes, les deux lignées auront un même sens, et comme le segment (JIj) est toujours moindre que

Al B J A Bi

COMPLKTS

llî)

(GH), il en résulte que les points doubles seront toujours imaginaires (v. 1I16). Les points correspondants sont situés de part et d'autre du point central. Ce sont alors des segments négativement projectifs qui sont superposés. On remarquera qu'il n'est pas possible d'aller diiii j)()int A à son conjugé A,, sans passer par Tun des points B, H,; en d'autres termes, les paires se sépareîit. Donc

Dans toute ini'olution les points doubles sont réels, quand les paires ne se séparent pas ; ils sont, en revanche, imaginaires quand les paires se séparent.

Involution dans le polygone complet de quatre sommets. — 156. Soient quatre points M, N, P, Q situés dans un même plan. Si nous menons toutes les droites possibles

par deux quelconques de ces quatre points, nous obtenons

les trois paires suivantes :

1» MN, PQ, qui se coupent en un point a, 2» MQ, NP, qui se coupent en un point b, 3o MP, NQ, qui se coupent en un point x. Chaque paire est ainsi représentée par les quatre lettres

M, N, P, Q. L'ensemble de ces droites constitue ce que nous

appellerons un yoUjfjone conipkt de quatre sommets. Menons une transversale quelconque et soient A, A^ ses intersections avec la première paire, h, B, celles avec la seconde et X, X, celles avec la troisième. Les quatre points M, N, A, a de l'unQ des droites MN sont projetés sur la transversale depuis les deux autres sommets P, Q d'abord en X, B, A, A, puis en Bj, Xj, A, Aj ; donc

(XBAAi) = (B^XiAAi) d'où (v. 53)

(XBAAO = (X,B,A,A) Nous avons, par conséquent, sur une droite deux lignées projectives telles que le point A, considéré successivement comme appartenant à la première lignée et à la seconde, a, dans les deux cas, le même point A| pour correspondant. De là, le théorème :

Tout poljjgone complet de quatre sommets est coupé par une transversale quelconque en trois paires de points qui forment une invohition.

Constructions d'un point conjugué. — 157. Etant données deuv lignées en involution par deux paires de points A, Aï, B, Bi, construire le point X qui correspond à un point donné X^.

Premier procédé. La lignée A, Ai, B, X devant être projective avec Ai, A, Bi, Xi à cause de Tinvolution, la construction du point X pourra s'effectuer comme pour les lignées superposées (v. 78, second cas).

Deuxième procédé. L'involution formée sur la transversale au polygone complet de quatre sommets nous donne également un moyen très-simple de construire avec la règle le j)oinl cherché X.

Prenez deux points N, Q en ligne droite avec Xt (v. la figure

précédente); joignez par des droites NA, NB, QA,, QB,, fun de ces points N avec un point de chacune des deux paires données, et l'autre Q avec les points conjugués A^, B,. La droite MP qui joint les intersections (NA, QBi), (XB, QAj) des lignes ne contenant pas do points conjugués, passe par X.

Projection sur le cehcle. — 158. D'un point T de la circonférence d'un cercle projetons sur cette dernière deux lignées en involution A, A„ B, B„ X, X,... Les droites a,b, abi

A, F A BXE X,

qui joignent deux projections a, b à leurs correspondantes ai, bi prises inversement se coupent sur une droite ]) (v. 110). De même les droites ab, ajbj qui joignent deux paires de points conjugués se rencontrent sur y. En effet, vu l'involution, il est permis de regarder le point B comme appartenant à la lignée t, et B^ comme son homologue dans t; en d'aiitres termes, on peut désigner b par dj et b, par d; or, l'intersection de ajd, ad,, c'est-à-dire celle de ab, aib^ est sur p. Donc Si d'un point T de la circonférence d'un cercle on projette

sur cette dernière en a, a, b, bj,... deux lignées inioluloires A, Ai, B, Bj,... les intersections de deux droites dont l'une est menée par deux projections quelconques a. b et l'autre par les points correspondants aj, h^ se trouveront toutes sur une droite fixe p.

159. En revanche, les droites aa,, bb, menée^ par les projections correspondantes concourent en un point fixe P. En effet, soit T^ un second point pris sur la circonférence du

E XABFB^ A X,

cercle. Puisqu'il y a involulion, la lignée A, A,, B, B,... est projective avec la lignée A,. A, B,, B,...; donc le faisceau TA, TAi, TB, TB,.... est projectif avec le faisceau TA,, TA, TB,, TB,... et par suite avec T^a,, T,a, T,b,, Tjb,... Donc, toute droite aa,, qui joint les intersections (TA, Tia).(TA,, T^a,) de deux rayons TA, TA^ du premier faisceau avec les rayons correspondants T^a^, Tia pris inversement passe par le centre projectif P. De là, le théorème

Si d'un point T de la circonférence d'un cercle on projette sur cette dernière en a, a^, b, bj,.. deux liynées involutoires A>

COMI'LKTS

Al, B, lii,... h's droites an,, lil)^, menées par les projections correspondantes se couperont toutes en un point fixe P.

Construction des points doubles. — 1(>0. Les deux propriétés précédentes nous permettent de construire le point X conjugué à un point donné Xi, ainsi que les points doubles E, F, lorsque Tinvolution est déterminée par deux paires A, A„ B, B,.

Premier procédé. D'un point T d'une circonférence de cercle (v. la figure du § 158) projetez sur cette dernière les points A, A,, B, B,, X, en a, a,, b, b,, x, et menez la droite p par les intersections (abj, a,b), (ab, a,b,). Les deux lignes ax,, a,x devant se couper sur p, le point x sera, par conséquent, sur la droite ai(aX|, jj) et le rayon Tx déterminera le point demandé X.

Si l'on cherche comme ci-dessus le point correspondant au point E dont la projection e est située à la fois sur la circonférence et sur la droite p, on trouvera le point E luimême; donc les rayons Te, Tf menés du sommet T aux intersections de la droite p avec la circonférence, passent par les points doubles de l'involution.

Second procédé. D'un point T d'une circonférence de cercle (v. la figure du § 159) projetez sur cette dernière en a, ai,... les points donnés A, Aj,... de l'involution. La droite xxj devant passer par le point fixe (aai, bbi) ou P,, il suffira de mener la droite Pxi, qui rencontrera la circonférence en un second point x; le rayon Tx contient le point cherché X.

Ainsi toute droite menée par P rencontre la circonférence en deux points, qui peuvent être considérés comme les projections X, Xi de deux points conjugués. Si la droite menée

par P est tangente au cercle en un point e, la droite Te passera par un point double E.

Quand les paires A, A^, B, h^, ne se séparent point, il en est de même des projections a, ai, b, bi sur la circonférence. Le point P se trouvera conséquemment hors du cercle, et l'on pourra mener, en général, deux tangentes. Dans ce cas, les points doubles sont réels et distincts.

Si les deux paires de l'involution se séparent, le point P devra se trouver à l'intérieur du cercle et les points doubles seront imaginaires.

Propriétés métriques. — IGl. Dans deux lignées projectives on a en général la relation (v. 100) (XJ)(XJ,) = (E.I)(E,IO

Si les lignées sont involutoires et si le point E est Tun des

Xi F X J A E Al

éléments doubles, les points limites J, I, coïncideront ainsi que E, E,. L'égalité ci-dessus devient alors

(XJ)(X,.l) = (EJ)^ donc

Le produit des distances de deux points conjugués X. X, au point central J est égal au carré de la dislance d'un point double au point central.

1G2. Réciproquement, deux lignées superposées dont les points se correspondent un à un seront en involulion, si le produit des distances de deux points correspondants X, X, à un point fixe J est constant.

Car soient A. A, deux jtoints correspondants; on aura (XJ)(X,J) = (AJ)(A,J)

COMIM.KTS 125

donc les deux lignées sont projectivus (v. 101); en outre, les points X, X, peuvent être peimutés; donc il y a involution.

163. Lorsque Irais paires de points A, A,, 13, B,, C, Ci sont en inrolution, quatre quelconques de ces points sont projectifs (ii't'C leurs conjugués et, par conséquent, tout biquotient de quatre paints quelconques est égal au biquotient analogue des points conjugués.

En etïet, les points A, A,, 1>, Cj, par exemple, sont pro-

Ai C B J A Cl Bi

jectifs avec Aj, A, B,, G, puisque les biquotients (AAiBGi), (AjABjC) sont égaux (v. MO).