AB)+ (BC) = (AC

La relation est ainsi démontrée jiour toutes les hypothèses possibles.*

Les trois tht^orèmes précédents petivent s'énoncer crune manière générale comme suit :

Trois éléments a, b, C d'un système primaire donnent toujours lieu à l'égalité

(ab) + (bc)=(ac) (i)

Propriétés projectives.

35. Parmi les propriétés qui existent entre les différents éléments d'une figure, les unes ne s'appliquent pas aux éléments correspondants des projections de cette figure; les autres, en revanche, restent intactes et parce qu'elles ne sont pas détruites par la projection, elles sont qualifiées de projectives.

En général, lorsque des relations entre certains éléments d'une figure se laissent exprimer au moyen des rayons respectifs du cône projetant, ou en dépendent directement, ces relations sont encore vraies pour les éléments correspondants d'une projection quelconque, et doivent en conséquence être regardées comme des propriétés projectives. Par exemple, quand un point est f intersection de deux lignes dans la première figure, le point correspondant sera de même l'intersection des deux lignes correspondantes dans la projection.

Puisque les propriétés en question sont communes, nous pourrons les étudier dans celle des projections qui nous permettra de les déduire avec le plus de facilité. C'est ainsi que nous trouverons dans la seule considération du cercle les théorèmes fondamentaux des sections coniques.

11 est évident que, d'un côté, la nature des surfaces sur lesquelles les figures sont situées, et de fautre, la position du centre de perspective influent sur le nombre et l'étendue de ces propriétés constantes. Lorsqu'il s'agit de plans, comme c'est généralement le cas dans la suite de cet ouvrage, la méthode projective revêt un caractère tout spécial et suffit

IG

par elle-même à nous donner une connaissance assez complète des figures planes.

36. Si l'on donne un plan P, dans lequel se trouve une droite a et si l'on veut, d'un centre de perspective S situé hors de P. projeter cette droite sur un autre plan Pi, le cône

projetant de a sera nécessairement un plan, d'où résulte que

la projection cii est elle-même une ligne droite. En outre, le

point où a rencontre l'arête des deux plans P, Pi, est en

même temps sa projection, et se trouve conséquemment sur

«1. Donc les deux droites correspondantes a et «i se coupent

sur l'arête PP^, qiï on ^p^^eWe axe de perspective. Cette ligne doit

son nom à une certaine affinité qu'elle possède avec le centre

de perspective S; en effet,

Lorsque deux figures planes Lorsque deux figures planes

sont en situation de perspective, sont en situation de" perspective,

les droites (jui joignent les points les points d'intersection de deux

correspondants A, Ai pass droites corresiuindanies (7, (/i sont

toutes par un nirine point S, tous situés sur une iiième droite,

est le centre de perspective. qui est l'axe de perspective.

Le centre et Taxe de perspective sont ainsi reliés entre eux par la même symétrie que la lignée et le faisceau; ils peuvent donc être permutés l'un avec l'autre, toutes les fois qu'on applicjue le principe de corrélation.

INTIIODI'CTION

Il résulte de ce (jui précède la proposition suivante :

Lorsque deux figures dont tous les [toiNts se correspondent deux à deux comme A, B,.. à A,, li^.. sont planes et perspectives, les droites cornspondantes AB, A^Bi se coupent sur l'axe de perspectice.

37. Récipro(iuement, lorsque deux fijures dont tous les points se correspondent deux à deux comme A, B,.. à X^, Bi.., sont placées de telle manière quune droite AB joignant deux points (pielconques d'une figure et la droite AiB^ menée par les points correspondants se coupent sur une droite s, ces deux figures sont planes et perspectives.

Remarquons d'abord qu'à une droite dans une figure correspond une droite dans l'autre. En effet, si un point D est

situé sur la droite AB, son correspondant Di est sur la droite AiBi et vice-versâ, puisque AD et AiDi doivent se rencontrer sur s, de même que AB et A^Bi.

En outre, les deux figures proposées sont planes; car tout point C de la première est dans le plan des deux droites AB et s, vu que, d'après l'hypothèse, AG rencontre 5; pour un motif semblable, tout point Ci de la seconde est dans le plan des deux droites AiBi et s.

Il reste à démontrer que les deux figures sont perspectives. Nous distinguerons deux cas.

Premier cas. Les deux figures ne sont pas situées dans un même plan.

Les droites AAi, Blii sont dans le plan mené par AB et A^Bi ; elles doivent donc se rencontrer quelque part en un point S. Si l'on prend hors de AB un autre point G et son correspondant Gj, on démontre que pour une raison semblable les droites AAi et Gd se couperont en un point; il en est de même pour BBi et GGi. Or, les trois droites AAi, BBi, GGi se rencontrant deux à deux et n'étant pas situées dans un plan, convergent forcément vers un seul et unique point S.

Si l'on donne donc deux points correspondants quelconques, on prouve comme ci-dessus que la droite menée par ces points doit rencontrer deux des trois droites AAi, BB^ GC^ en leur point de concours S.

Second cas. Les figures sont dans un même plan. ^

Soient encore A, Ai et B, Bi deux [>aires de points correspondants; soit A^ le point (l'intersection de AA^ avec .v. La droite correspondante de AA2 doit rencontrer celle-ci sur s, donc en A^ et ensuite passer par le point Aj correspondant de A; ainsi A2A1 correspond à A.^A. Nous en pouvons dire autant de BjBi et B^B. Les deux droites A,A, B2B se rencontrent quelque part en un i)oinl S. I*uis(]ue S appartient à AjA et à B^B, son point correspondant doit être à la lois sur A^Ai et sur BJ?i ; en d'autres lei'nies. S est l'iï même

IMUODUGTION 19

lemi)s son {)oint corrcspoiRlaiil. Dès lors, si l'on prend une troisième paire quelconque de points correspondants G, Cj, on prouve que GCi passe par S en observant que les droites se, SGi se correspondent et doivent avoir en outre d'après l'hypothèse un même point commun sur s.

Les deux ligures sont donc en perspective ; la droite s est Vcixe de perspective.

Une conséquence très-remarquable de ce théorème est que si l'un des plans tourne autour de l'axe s, les deux ligures restent en perspective dans chaque position. Mais nous reviendrons plus tard sur ce sujet.

38*. Lorsque deux figures (ou surfaces) dont tous les points se correspondent deux à deux comme A, H, G., à Ai, Bi, Gj.. sont perspectives et que tout plan ABG, mené par trois points de l'une, a pour projection le plan AiBiGi m,etié par les points correspondants de l'autre, il faut que ces plans correspondants se coupent toujours dans un même plan S.

En effet, tous les points de l'intersection de deux plans correspondants et seulement ces points ont la propriété de coïncider avec leur projection. L'intersection de deux plans correspondants ne saurait donc rencontrer deux autres plans correspondants ailleurs qu'en un point de leur intersection, sinon elle les rencontrerait en des points qui ne coïncideraient pas chacun avec leur projection respective. Ainsi toutes les intersections se coupent mutuellement et sont en conséquence situées dans un même plan .S',

Puisqu'un plan a pour projection un plan, il en résulte qu une droite a pour projection une droite, et que deux droites correspondantes se coupent dans le plan 6'.

39*. Lorsque deux figures (ou surfaces) dont tous les points se correspondent deux à deux comme k, B, G.., à Ai, B^, Gi..,

20 l.MUODUCTION

surit placées de telle nuinière ([iiun plan ABC, mené par trois points quelconques d'une figure et le plan AiBiCi mené par les [joints correspondants se coupent dans un m-'me plan S, ces deux figures sont perspectives.

Nous pouvons montrer en premier lieu qu'aux différents points d'un plan ABC mené par trois points d'une figure correspondent les points du plan AJ^iCi mené par les trois points correspondants de l'autre; car à tout point D du plan ABC doit correspondre un point Di situé dans le plan AiB^Ci et vice-versâ, puisque, en vertu de l'hypothèse, les plans ABD ou ABC et AiBiDi doivent se couper en S, de même que les plans ABC et AiBiCi.

Si par les droites correspondantes AB, AjBi on mène deux plans correspondants, ceux-ci, d'après l'hypothèse, auront avec S une même intersection, que devront couper AB et AiBj. En menant par ces dernières lignes, deux autres plans correspondants, on verrait pareillement que AB et A^B^ rencontrent la nouvelle intersection commune.

Donc AB et A^Bi passent nécessairement par le point commun de ces deux intersections; en d'autres termes, les droites correspondantes AB etAjBi se coupent dans le plan S.

Cela posé, un raisonnement analogue à celui du premier cas dans le théorème 37 démontre que les deux surfaces sont en perspective.

40. H n'est pas hors de propos de faire observer que dans les quatre derniers théorèmes de cet article se présente un genre particulier de ligures projectives : aux parties planes correspondent constamment des parties planes. C'est là ce que nous pouvons appeler la jirojection simple; et dorénavant nous supposerons toujours les ligures projectives engendrées dans ces conditions.

PROPRIETES PROJECTIVES