Trouver le milieu d'un mur

On peut mesurer la longueur totale du mur AB , (P.I ,F. 50), en prendre la moitié , et porter la mesure de A vers B , autant de fois que l’indique cette moitié ; le point E ainsi déterminé est le milieu cherché. Mais il est plus court et plus sûr lorsque rien ne s’y oppose, d’opérer comme il suit:

J)cs extrémités A, B du mur , décrivez , avec un rayon arbitraire , deux arcs qui se coupent en avant , au point C; des mêmes centres , avec un rayon plus petit ou plus grand que le précédent , décrivez deux autres arcs qui se coupent aussi en avant , au point D. La droite DC prolongée jusqu’au mur , en marquera nécessairement le milieu E (57).

C’est ce procédé qu’il faut suivre toutes les fois qu’on doit élever une perpendiculaire du milieu inconnu dunedroite } et qu’on ne veut pas ou qu’on ne peut pas déterminer ce milieu par un double mesurage. Si les localités le

PERPENDICULAIRES

permettent , il vaut mieux tracer les deux premiers arcs d’un côté de la droite donnée , et les autres du côté opposé. De cette façon , les points C , D sont plus éloignés 1 un de l’autre , et la perpendicularité est plus exacte ; car on ne peut guère assurer une direction par deux points très-rapprochés.

hh. La droite que forme un fil-à-plomb librement sus-

Ï iendu , est nommée verticale , et toute droite perpendieuaire à celle-là est horizontale. Quelquefois cette dernière s’appelle aussi ligne de niveau.

Quand une droite n’est ni verticale, ni horizontale , on la dit inclinée.

Planter un jalon à plomb , ou le rendre vertical , ou le placer verticalement, c’est donc la même chose.

Par un même point , il ne peut passer qu’une seule verticale ; mais une infinité d’horizontales différentes peuvent s'y croiser.

C’est au moyen des instrumens appelés niveaux, qu’on peut marquer des points situés sur une horizontale ou vérifier si une droite est horizontale.

Pour la première de ces deux opérations , on se sert du niveau d'eau. Sa pièce principale est un tube en fcrblanc deux fois coudé. Au milieu de ce tube est une douille , par le moyen de laquelle on peut poser l’instrument sur un pied. Les deux petites branches portent chacune un ajutage en verre , muni d’un bouchon. Si vous versez assez d'eau dans un des ajutages pour qu’ils en soient remplis tous deux en partie , le liquide s’y mettra de niveau et vous fournira un alignement horizontal. Visez donc, par cet alignement, deux objets quelconques et faites y marquer les points auxquels il aboutit ; ces deux points appartiendront à une horizontale, même quand vous auriez été obligés de fairepivoter le niveau pour en déterminer un : il suffit que l’élévation de l’instrument au-dessus du sol n’ait pas varié.

Pour vérifier si une droite est horizontale et la rendre telle lorsqu’elle ne l’est pas , on emploie le niveau de maçon ou le niveau à bulle d'air. Le premier de ces instrumens sera décrit plus loin. Quant au second , il présente un petit tube de verre qui fait légèrement la voûte et que contient une monture en laiton. Un peu d’air est mêlé à l’eau dont le tube est presque plein. Comme les corps plus légers que l’eau montent toujours à la surface de ce liquide , vous concevez que la bulle d’air doit occuper le haut de l’arc formé par le lubç , quand les deux extrémités de cet arc sont de

PARALLÈLES. 31

niveau , ou quand la droile sur laquello pose La monture en laiton, a elle-même celte position ; car alors l’eau remplit également les deux parties extrêmes de l’arc et laisse libre le milieu. Si donc la bulle se porte à gauche , par exemple , c’est que la ligne droite est trop élevée de ce côté , et il faut abaisser l’extrémité de gauche ou hausser l’autre , jusqu’à ce que la bulle soit au milieu de l'arc et s’y maintienne. Il est aisé de sentir , d’après cela, qu’un tel niveau est d’une grande sensibilité et u’une grande justesse ; aussi ne saurais-je trop vous en recommander l’usage; il coûte d’ailleurs peu cher.

PARALLÈLES

43. Deux droites qui sont partout également écartées l’une de l’autre, se nomment parallèles ; elles ne peuvent jamais se rencontrer quelque loin qu’on les prolonge.

Il suit de là que des perpendiculaires abaissées des différons points A , 13 , C , etc. , d’une droite AD , sur sa parallèle EF (P. I,F.31), sont toutes de même longueur; car AE, BG , CH , sont les distances des points A , B , C , à la droite EF (41.)

Donc, la parallèle et une droite est le lieu de tous les points situés à une môme distance de cette droite.

Ainsi, pour marquer plusieurs points A , B , C, etc. , situés à 3 mètres d’une droite EF , il vous suffirait d’élever une perpendiculaire EA sur EF , de porter 5 mètres sur cette perpendiculaire , à l’effet de déterminer A , de mener par ce point une parallèle à EF , et de placer sur cette parallèle AD , les points B , C , etc. , à la distance où ils devraient être de A.

46. Il est aiséde démontrer que deux droites AB , CD , parallèles à une troisième EF (P. I , F. 32) , doivent être parallèles Tune à Vautre . En effet , les écartemens AE , CE, sont invariables , et comme AC=AE — CE , cet écartement des droites AB, CD, est invariable aussi.

47. Toute droite qui traverse un système d’autres droites, parallèles ou non parallèles , est appelée transversale.

Des parallèles AB , CD coupées par une transversale EF, forment plusieurs angles (P. I , F. 35) ; ceux de ces angles qui se trouvent placés de la même manière par rapport à la transversale et par rapport aux parallèles , sont égaux entre eux ; il en est de même de ceux qui se trouvent placés différemment par rapporta la transversale et différemment

32 paraixfi.es.

S ar rapport aux parallèles. Ainsi, l’angle BGE=DHE : ces eux angles sont tous deux du même côté de EF, et tous deux au-delà des parallèles ; on les appelle angles correspondons. De même AGF=DHE : ces deux angles sont l’un d’un côté de EF , l’autre du côté opposé , le premier en-deça de la parallèle AB , le second au-delà de la parallèle CD ; on les nomme angles alternes-intern.es : alternes , pour exprimer que la transversale les sépare ; internes , pour indiquer qu’ils commencent tous deux entre les parallèles.

Ainsi , il y a égalité entre les angles correspondons et entre les angles altcrnes-internes.

La chose est visible pour les premiers ; car si AB descendait , sans cesser d’être parallèle à CD , elle finirait par se confondre avec cette droite et ferait le même angle DHE. Quant aux angles alternes-interncs , AGF=BGE son opposé par le sommet (28)^ ; BGE=DHE son correspondant, et conséquemment AGt=DHE.

Il suit de là que si deux droites coupées par une troisième , forment des angles égaux qui aient la position des angles correspondons ou celle des angles alternes- internes^ ces deux droites sont parallèles.

Donc , des perpendiculaires à une même droite sont parallèles ,* car si AB , CD (P. I, F. 34) sont perpendiculaires sur BE , les angles correspondans ABE , CDE sont droits et par conséquent égaux(50).

48. Tracer , sur le papier ou sur le tableau , une droite qui passe par un point A et soit parallèle à une autre droite BC (P. I, F. 35.)

On se sert pour cela d’une règle et d’une équerre. Peu importe que 1 cquerre soit juste ; il suffit que les arêtes en soient droites.

Appliquez le plus grand DE des deux petits côtés de l’équerre , contre la règle , et placez ces deux instrumens ainsi accolés, de manière que le grand côté CD du premier se confonde avec la droite donnée BC. Faites glisser ensuite le système à droite ou à gauche , sans abandonner BC , jusqu’à ce que la face de la règle , sur laquelle s’ap-

{ iuie l’équerre , passe par le point A , en même temps que e grand côté CD continuera de couvrir une partie de BC. Enfin poussez l’équerre le long de la règle maintenue fixe,

S our amener le grand côté sur le point A , et tracez une roite AF en suivant ce grand côté; elle sera la parallèle demandée, car les angles correspondans CDE, DAF seront égaux (47).

I>ARAt.LF.t.r.S. 53

S’il est nécessaire que la parallèle soit plus longue que AF, vous la prolongerez ensuite; et pour cela vous maintiendrez l’équerre dans sa dernière position, vous applique- 1 rez la règle le long, du grand côté AF, puis vous enlèverez l’équerre , et vous tracerez une droite le long de la règle.

49. Tracer la direction d’une rangée d’arbres qui doit être parallèle à une autre rangée st B déjà plantée } et partir d’un point donné G (P. I, F. 56).

Il faut marquer sur AB , un point A autant éloigné de C qu’il sera possible ; décrire de ce point A , avec la dis- 1 tance AC pour rayon , un arc qui parte de C , et se ter 11 mine sur AB , en 13 , par exemple ; décrire de C , avec le même rayon , un second arc qui parte de À et soit sensiblement plus long que le premier ; prendre la corde BC, et avec cette corde pour rayon , décrire de A un troisième arc qui coupe le second ; puis enfin , joindre l'intersection D avec le point donné C. La droite CD sera parallèle à A B, car (47) , si vous tiriez la droite AG, les angles alternesinternes ACD , BAC seraient égaux , ayant des arcs d’indication de môme rayon ét de môme longueur (27).

Ce procédé convient à tous les cas où les parallèles flrt doivent pas être très-écartées , et où le terrain permet drî tracer des arcs. On décrit ces arcs, soit à l’aide d’un cordeau, soit à l’aide d’une perche (4). Observez qu’il suffit de marquer l’extrémité B de l’arc BG et une petite partie de AD.

50. Tracer la direction d'un mur qui doit contenir utt point donné A , et être parallèle à un autre mur B C éloigné ou situé au-delà d’une pièce d'eau (P. I, F. 57.)

On ne peut faire usage , dans un tel cas , ni d’un cordeau , ni d’une perche ; il faut se servir d’une équerre d’ar- 1 penteur ou d’une fausse-équerre portée sur un pied. Co dernier instrument est facile à construire : il suffit de faire sur la tète d’un gros piquet , deux entailles droites qui se coupent sous un angle quelconque , ou mieux encore de fixer sur le bout d’un bâton, deux petites planchettes qui se croisent et portent 5 épingles : une au croisement et les deux autres à deux des extrémités. Ces épingles doivent être implantées de façon qu’elles se trouvent verticales , quand les planchettes seront de niveau.

Quant à la manière d’opérer , elle est trés-simpla aussi. Plantez verticalement le bâton sur la droite BC , en un point D , tel que l’uu des alignemens formés par

54 TANGESTES

l’épingle du croisement et les autres , étant dirigé sur un jalon vertical B placé le plus loin possible, il arrive que le second alignement passe par le jalon A , et qu’en même temps les planchettes soient bien horizontales , ce

3 ne vous vérifierez à l’aide d’un niveau. Avec un peu 'habitude, vous trouverez ce point D après quelques tâtonnemens. Enlevez alors l’instrument et remplacez-le par un jalon vertical ; puis établissez la fausse-équerre ail point A , comme elle a été établie en D ; dirigez l’un des aiigneineus des épingles sur le jalon D , do façon que l’autre alignement laisse les droites AD et BC du même côté ; plantez enfin un jalon vertical E sur ce second alignement et le plus loin possible de A. La direction ÀE sera celle du mur qui doit être parallèle à BC , car si vous tiriez la droite AD , vous formeriez les angles alternes-internes ADB, DAE, et ces angles ont été fails égaux , si les planchettes ti’ont pas été dérangées (A 7).

On opère absolument de la même manière avec l’équerre d’arpenteur. La seule différence qu’il y ait , c’est que la droite AD se trouve alors perpendiculaire à BC et à AE , au lieu de faire des angles aigus avec ces directions.