ET CERCLES TANGENTS

Chacun de ces arcs sera la sixième partie de sa circonférence ou contiendra 60 degrés.

58. Il arrive parfois que , pour soutenir un escalier ou une rampe , ou est obligé de construire un cintre dont les extrémités ne soient pas de niveau. La demi-circonférence ne peut être employée dans ce cas ; aussi est-ce une espèce d’anse de panier, nommée arc rampant , qui forme alors le cintre.

Tracer un arc rampant composé de deux arcs de cercle.

Tirez une droiLc AB égale à la largeur que doit avoir l’arcade (P. I, F. 46); élevez au milieu une perpendiculaire CD ; par les extrémités A , B, menez des parallèles à CD ; portez sur l’une , de A en E , la distance du sol à l’extrémité la phis élevée de l’arc , et sur l’autre , de B en F , la distance du sol à l’extrémité la moins élévée. La droite EF ainsi déterminée , se trouvera inclinée comme la ligne de rampe , et le point G où elle rencontrera CD , sera son milieu. Prenez alors GH— GE; abaissez de H, sur EF, une perpendiculaire III; puis menez par E et par F des parallèles à AB. Les points K , L , où ces parallèles rencontreront la perpendiculaire IH, seront les centres des deux arcs du cintre. Vous décrirez donc- de Iv , avec KE pour rayon , un arc de cercle , et de L, avec LF, un second arc. Ces deux arcs se raccorderont en H , parce qu’ils passeront par ce point, et que la distance de leurs centres sera précisément la différence de leurs rayons KH , LH.

59. Maintenant que vous connaissez les propriétés essentielles des perpendiculaires et des parallèles , vous êtes en état d’étudier la comparaison des droites. C’est une partie fort importante do la Géométrie: on serait souvent obligé de se livrer à des mesurages longs , fastidieux et difficiles , si l’on ne savait pas , par les principes , combien de fois sé contiennent des droites placées dans telles ou telles circonstances.

Vous avez appris déjà que tous les rayons d’un même cercle sont égaux (5) , que tous les diamètres out même longueur et qu’il y a aussi égalité entre les cordes d’arcs égaux pris sur le même cercle ou sur des cercles de même rayon

H existe encore beaucoup d’autres circonstances qui rendent certain tout d’abord ae l’égalité des droites.

Des droites sont égales quand elles se trouvent comprises entre des circonférences concentriques , c’est-à-dire de même centre, et qu’elles fout partie des rayons.

Ainsi, les droites DF, EG (P. I, F, l 2k ) , comprises entre deux circonférences concentriques, et dirigées vers le centre commun B , sont de même longueur ; cela doit être en effet , car BD=BE , BF=BG , et par conséquent , BD — BF=BE — BG ou DF=EG.

Voilà pourquoi l’on dit que deux circonférences concentriques sont partout à la même distance Tune de Vautre.

60. Une droite AD (P. I , F. 25) qui fait un angle aigu ou obtus avec une autre DE, est appelée oblique , et le point D de rencontre est dit le pied de cette oblique, comme le point B est dit le pied de la perpendiculaire AB.

Deux obliques sont égales, quand elles s’écartent également de la perpendiculaire abaissée de leur point de rencontre. Les écart emens dont il s’agit, sont ceux des pieds , de sorte que si BD=BE, on a nécessairement AD=ÂE.

En effet, AB est alors perpendiculaire au milieu de DE, cl par conséquent , son point A sc trouve à la même distance des extrémités D,E (3/ ).

Réciproquement , les écartemens de deux obliques égales sont égaux ; c’est-à-dire que si AD=AE , on a nécessairement BD=BE.

Si l’on faisait tourner la figure ABE sur AB , elle se rabattrait exactement sur la figure ABD , l’angle E couvrirait l’angle D , et l'angle BAE couvrirait aussi l’angle B AD. Il s’ensuit que dans deux figures séparées A B E, ABD , l’égalité aes perpendiculaires AB et AB, BD et BE , celle des obliques et celle des angles analogues existent en même temps ; de sorte que deux de ces 5 égalités ayant lieu , il en résulte nécessairement les trois autres. Qu’on sache, par exemple, que AD— AE et que l’angle D=E, on en conclura BD=BE , AB— AB , BAD=BAE.

Le niveau de maçon est composé de deux obliques égales AB, AC (P. I, F. ÙG), d’une traverse DE qui rend constant leur ccarlcmcut , et d’un fil-à-plomb dont le point d’attache est près de A , sur la direct ion de la perpendiculaire au milieu de BC. Un trait indicateur , fait sur la traverse , sc trouve dans la même direction ; de sorte qu’au moment où le fil couvre l'indicateur , il est perpendiculaire à BC. Cette droite BC ou celle sur laquelle est posé le niveau , est donc alors horizontale , puisqu'elle rencontre d’equerre la verticale du fil-à-plomb (à à).

Il est. bon (l’observer que rien ne nécessite 1 égalité des règles AU, AC; ailes peuvent être inégales, pourvu que le point d’attache du fil et le trait indicateur soient sur une perpendiculaire à UC.

61. Deux tangentes sont égales , quand elles partent du même point et se terminent aux contacts. Ainsi , AE=AG (P. I, F. 39); et cela doit être effectivement , car les arcs UE , UG sont égaux , ayant pour cordes des rayons du cercle U ( 15 ) ; par suite, les arcs AG , AE , restes dé deux demi-circonférences , sont aussi égaux , et leurs cordes AG , AE ont même longueur.

62. Une droite se trouve divisée en deux parties égales , quand elle est rencontrée ou coupée par une perpendiculaire élevée en son milieu. Il suffit donc , pour diviser une droite en deux parties égales , d’exécuter le tracé du u° 43.

Mais , ce procédé n’est plus praticable , si la droite à diviser est très-longue. Il faut alors recourir à un double mesurage , ou ce qui est plus court , employer les moyens su i vans :

Supposons que A et U ( P. I , F. 47 ) soient les deux extrémités d’une des limites d’un champ, et qu’on ait à planter une borne au milieu de AU , pour diviser le terrain en deux portions égales. Vous placerez un premier jalon en A , un second en U , un 5 e en un point 5 quelconque , par lequel vous dirigerez un alignement 5.4 parallèle à AU ( 50 ) , un 5 e sur l’alignement 4.2, un 6 e à la rencontre des alignemeus 4.1 et 5.2 , un 7 e sur l'alignement 5.1 , un 8 e sur l’alignement 2.1 , un 9 e à la rencontre des alignemens 4.5 et 5.7, un 10 e enfin, à la rencontre des alignemens 2.8 et 9.6. Ce 10 e jalon marquera le point milieu de AU.

L’emploi des alignemens qui se rencontrent ou se croisent trois à trois , comme daus l’opération précédente , constitue la méthode des transversales ; elle est remarquable pour sa simplicité , pour les difficultés quelle fait vaincre facilement , sans autres instrumens que des perches , et pour son uniformité qui la grave promptement daus la mémoire. Vous verrez en eflet que la ligure 47 se reproduit, avec peu de différence , dans toutes les applications de cette méthode.

Mais observez que pour arriver à des résultats exacts par les transversales, il faut que les alignemens soient

pris avec beaucoup de soin , que les jalons soient bien droits et plantés verticalement : leur position doit même être vérifiée au fil-à-plomb. Du reste, il est aisé d’en diminuer' lo nombre , car si vous avez deux aides , vous pourrez vous dispenser de planter les jalons 5 , 7 , 8 : l’un do9 aides se placera sur l’alignement 4.2 , vers le point 5 , par exemple , l'autre sur f alignement 3.1 , vers le point 7, et par des signes de main , ils vous feront placer le jalon 9 à l'intersection de ces deux alignemens. Le secours de deux aides abrège donc beaucoup l’opération ; on peut dire aussi qu’il diminue les causes d'erreur. Un moyen de * les diminuer encore davantage , c’est de figurer à l’avance les alignemens sur le papier, d’y numéroter leurs intersections , et de donner aux jalons les numéros correspondais du croquis.

63. Iax perpendiculaire CD au milieu d’une cordc AB , passe aussi par le milieu E de Tare AEB (P. I, F. 48 ), Effectivement , le poiut E appartenant à CD , est à la même distance de A et de B (37) ; or l’égalité (les cordes AE , BE , produit celle de leurs arcs (la).

Partager un arc AB en deux parties égales.

H suffit d’exécuter l’opération dun° 43 , c’est-à-dire que , sans tracer la corde , vous décrirez des extrémités A , B , deux petits arcs qui se coupent au-delà de AB , en un point C , et deux autres petits arcs qui se coupent cndeçà de AB , en un point D. Joignant C à D, vous aurez le milieu de l’arc AB , au point E où le coupera la droite CD perpendiculaire au milieu de la corde.

Il resterait à déterminer , de la même manière, Je milieu de BE et celui de AE , si l’on voulait diviser l’arc AB en quatre parties égales. •.

Trouver le centre d'un cercle tracé.

C’est le même procédé qu’il faut employer , car le centre se trouvant à la même distance des extrémités d’une corde (5) , est , comme le milieu de l’arc , sur la perpendiculaire au milieu de cette corde. Marquez donc deux points A, B sur la circonférence (P. I, I’. 49), et tracez la droite CD qui divise l’arc AB en deux parties égales ; prenez un 3 e point E et tracez la droite FG qui passe par le milieu de l’arc BE ; le centre des deux arcs et du cercle se trouvera au point H , intersection des droites CD , FG perpendiculaires aux milieux des cordes.

Pour rendre la position du point II plus distincte , il

convient de choisir les trois points A, B, E, do manière que CD , FG soient à-peu-près d’équerre. On yr parvient eu prenant E de façon que la corde BE paraisse d'équerre sur la corde AB , ou que ABE forme une demi-circonférence environ (53).

Faire passer un cercle par trois points A , B , E, disposés en ligne brisée.

Bien que le cercle ne soit pas tracé , évidemment son centre H doit être donné par les opérations précédentes.

, L’ayant trouvé , vous prendre* pour rayon , la distancé AH ou BH, ou EH. Ces trois distances sont égales, car H étant un point de la perpendiculaire au milieu de la corde AB , est également éloigné de A et de B ; appartenant à la perpendiculaire au milieu de la corde BE , il est également éloigné de B et de E.

64. Comme l’arc d’indication AC d’un angle ABC a son centre au sommet B (P. I , F. 50) , la perpendiculaire BD au milieu de la corde , doit passer par ce sommet ; de plus , elle divise l’angle en deux parties égales, puisqu’elle forme deux angles ABD, DBG qui ont des arcs d’indication égaux (27). C’est donc par la division de la corde d’un arc en deux parties égales , qu’on fait la même division sur un angle.

Diviser en deux parties égales un angle ABC.

Du sommet B , vous décrirez avec un rayon arbitraire, un arc AC, ou vous en marquerez seulement les deux extrémités A , C ; puis vous décrirez de ces points deux arcs de même rayon, cpii se coupent en un point D situé en-decà de AC , s’il est possible , et vous joindrez D à B. La droite BD vous donnera les deux angles ABD, DBC , qui seront égaux , parce que leurs arcs d’indication AE, EC auront même longueur.

La droite qui divise un angle en deux parties égales, se nomme bisectrice de cet angle.

La bisectrice est le lieu de tout point également éloigné des deux côtés de T angle. Ainsi, les perpendiculaires FG, FH , abaissées d’un point quelconque F de la bisectrice BD , sur les côtés de l’angle , sont de même longueur. On le démontre en rabattant l’angle ABD sur son égal CBD. Le point F de la charnière BD ne bouge point , BÀ s’applique sur BC, FG devient perpendiculaire à cette dernière droite et couvre exactement FH.