Des droites AB, AC, AD (P. I, F. 51), qui

se rencontrent ou se coupent au même point A , sont nommées concourantes, pour abréger.

Si des parallèles EF, G fl , BD, divisent une concourante si B en parties égales , elles divisent toutes les autres AC , AD , de la môme manière.

Je dis , par exemple, que de BG — GE, résulte DH=HF. En effet , les angles correspondans B, G sont égaux (47) , et par conséquent, les perpendiculaires GI, EK sont égales (60). Mais GI—IIL , LK=1’ M , si IIL et FM sont aussi d’équeirc sur les parallèles (45). DoncHL=FM, et à cause de l’égalité des angles correspondans D,H, les obliques DH, HF sont de même longueur.

Réciproquement, lorsque des droites EF, GH , BD divisent des concourantes AB, AD en parties égales, elles sont parallèles.

De là un moyen de diviser en parties égales une droite AB donnée sur le papier ou sur le terrain. (P. I,F. 52). Supposons qu’on veuille trois parties.

Tracez par une des extrémités , la droite quelconque AG , et portez dessus la longueur arbitraire AG , une fois de plus que AB doit avoir de parties , c’est-à-dire 4 fois , dans le cas actuel. Joignez les extrémités G, B , et prenez sur le prolongement, de CB , BH=BC. La droite IH tirée du 2 e point de division de CA , à partir de C , coupera AB de manière que BL en sera le tiers , et si vous portez BL de L en K , les parties BL , LK , KA de AB seront égales (*).

En effet , si l’on joint B au 1 er point de division de CA , BE , IH , seront parallèles , puisqu’elles diviseront en parties égales les concourantes HC, IC, et si, par G , 5 e point de division de CA , on tirait GK , parallèle à IH , les parallèles BE , LI , KG qui diviseraient la concourante EA en trois parties égales, diviseraient la concourante BA de la même manière. Donc , BL est bien le tiers de BA.

Afin de pouvoir marquer le point L très-exactement, il faut faire en sorte que III soit presque d’équerre sur AB. Il en sera ainsi , quand on prendra la longueur arbitraire AG assez grande pour que AE surpasse un peu AB.

(*) Ce procédé, d’une extrême simplicité et d’un emploi tout aussi facile sur le terrain que sur le papier, m’a été communiqué par M. Chenou , proviseur du collège royal de Metz , et ancien ptolesseur de» cours indusliiels de Douai.

G6. Des parties cle parallèles AB, CD (P. I, F. 35), comprises entre des parallèles AC, BD, sont égales.

Cela est vrai pour les perpendiculaires , CF, puisqu’elles sont parallèles , et qu’elles mesurent les distances des points A, C à la droite BD (45V Mais les angles correspondans ABF , CDF sont égaux (47). Conséquemment, les obliques AB, CD ont même longueur (60).

Il est vrai aussi que des droites AB , CD qui com prennent entre elles des parties égales de parallèles A C , BD, sont parallèles et égales.

67. Les parallèles et les concourantes qu’elles coupent, ont des relations plus générales que celles du n° 65. D’abord , les parties AG-, G B d'une concourante se contiennent autant de fois que les parties A JJ , IJD d'une autre (P. I , F. 51). Si , par exemple , GB est contenu 2 fois dans AG, HD sera contenu 2 fois dans AH. En effet , par le point E milieu de AG , menons EF parallèle à BD ; AD sera divisé en trois parties égales aux points F , H , comme AB aux points E , G (65) , et il sera évident que HD est moitié de AH , comme GB est moitié de AG.

En second lieu , les parties AB , AG , prises sur une concourante , depuis les parallèles jusqu’au point de concours , se contiennent comme les parties AD , AH , prises de la même manière , sur une autre concourante. Vous voyez effectivement que AG comprend les | de AB, et que AH comprend les f de AD. Donc, des concourantes sont divisées de la même manière , par des parallèles.

En troisième lieu , les parties de parallèles G N , BC se contiennent comme les distances GA , B A de leurs extrémités correspondantes G , B au point de concours A. Soit GO parallèle à AC ; d’après les deux principes précédons, BC contiendra OC, comme î)A contient GA. Or, OC=GN (66).

Enfin , les parties de parallèles BC , GN se contiennent comme les parties CD , NU. Cela résulte de ce que BC , GN se contiennent comme CA , NA , et de ce que CD , NH se contiennent aussi comme CA , NA. Par conséquent , des parallèles sont divisées de la même manière , par des concourantes.

Réciproquement , si une de ces 4 relations a lieu , les droites qui coupent les concourantes sont parallèles.