C’est sur les relation des concourantes et des

hk comparaison des droites.

parallèles , qu'est fondée la construction de l’angle de réduction et de V échelle des parties.

L’angle do réduction est utile pour copier en petit un tracé , un dessin exécuté en grand ; il fait éviter des mesurages et des calculs fort longs.

Voulez-vous, par exemple, réduire des droites au tiers, c’est-à-dire donner aux lignes de la copie , le tiers seulement de la longueur des lignes correspondantes du modèle ? tirez une droite AB (P. I, F, 5à) ; portez-y trois fois une longueur quelconque , de A en G ; décrivez du même point A et avec AC pour rayon , un arc CD dont la corde soit sensiblement plus grande qu’une des trois parties de AC ; de C, avec une de ces parties, décrivez un second arc qui coupe le premier, et joignez l’intersection E au point A.

H est tout aussi facile de se servir de l’angle de réduction BAE , que de le construire. Pour réduire au tiers , la droite FG , par exemple , vous la porterez de A en G' (*) , et de la même ouverture de compas , tous marquerez un point G" sur AE ; la distance G' G" sera le tiers de FG.

En effet , la droite qui joindrait G' et G" , serait parallèle à la corde CE , puisque AC contient AG' comme AE contient AG" , et par suite , cette droite G' G" est le tiers de AG' , comme CE est le tiers de AC.

D est visible que pour réduire des droites au quart , au cinquième , il faudrait former un autre angle , en portant quatre , cinq parties égales sur AB.

69. Une échelle est une droite divisée qu’on place sur le papier, pour construire en petit, un tracé dont les lignes ont été mesurées. Chacune des parties égales de l’échelle répond à l’unité de mesure ou à un certain nombre de ces unités. Si, par exemple , les parties sont des centimètres réels, chacuu de ces centimètres représentera soit un mètre réel, soit 10 mètres, etc. Pour faire sur le dessin, une droite qui , sur le terrain , aurait 50 mètres , on prendrait, dans le premier cas , 50 parties ou centimètres de l’échelle, et le tracé serait au centième . puisqu’un centimètre est le centième d’un mètre ; dans le second cas , on prendrait seulement 5 parties de l’échelle , et le tracé serait au millième , parce que un centimètre est la millième partie de 10 mètres.

(*) se prononce .G prime v se prooouce G seconde i G w sc prononce G tierce , G ,v se prononce G quarte.

Mais , outre ses parties principales , uuc échelle doit en présenter encore d'autres qui donnent les dixièmes, cl

S uelquefois les centièmes de son unité , ou qui permettent e réduire exactement et aisément les dixièmes , les centièmes de l'unité de mesure. Si cette unité est le mètre, il faut que l’éclielle donne réduits les décimètres , les centimètres ; et souvent la longueur qui représente le mètre , n’est pas assez grande pour qu’on y marque distinctement et avec exactitude , même les parties représentatives des décimètres. C’est ce qui arrive notamment lorsqu’on adopte le millimètre pour mètre ou que le dessin doit être au millième. Dans un tel cas , on construit sur le millimètre , ce qu’on appèle l 'échelle des parties , au moyen de laquelle on peut prendre exactement et facilement les décimètres réduits , et approximativement les centimètres.

Soit AB la partie de l’échelle qui représente le mètre (P. II , F. I). Par les points A , B , vous tracerez deux pa rallèles : on les fait ordinairement perpendiculaires à AB. Sur chacune , vous porterez 10 fois une longueur arbitraire, aussi grande que le permettra la place destinée à l’échelle; vous numéroterez les points de division , en parlant de AB; vous joindrez par des droites les points de même numéro, et enfin vous tirerez une droite de A au point 10 de B 10'.

Les droites AB, 1.1', 2.2', 3.3', etc., sont parallèles et égales , puisqu’elles renferment entre elles des parties égales de parallèles (66). Par conséquent (67), IC est le dixième de 10.10' ou de AB , comme Al est le dixième de A 10; 2D vaut deux dixièmes de 10.10' ou de AB, comme A2 vaut deux dixièmes de A 10; 9E vaut neuf dixièmes de AB, comme A9vaut neuf dixièmes de A10. De même, à partir des numéros de B10', 1 'C= T “- , 2D=^, 9'Err:^. \ous concevez que pour pouvoir prendre ces dixièmes avec exactitude , u faut rendre A10' le moins oblique qu’il est possible sur les parallèles 1.1', 2.2', etc., ou faire A10 , B 10' aussi longues qu’on le peut ; car le véritable point d’intersection de deux droites se distingue d’autant plus ai sèment , que ces droites sont plus près d’être d’équerre.

Ordinairement, l’échelle d un dessin , d’un plan, a deux parties : les divisions de l’une donnent les unités réduites , par groupes de 3, de 10, etc. ; les divisions de l’autre donnent chacune une seule unité. Les premières sont numérotées 0, S, 10, etc., ou 0, 10, 20 , 'etc. , de gauche à droite ; les dernières sont numérotées 0 , 1 , 2 , 5 , etc. , de droite à gauche , et à chacune de celles-ci est adaptée une

échelle des parties, comme le représente la figure 2 (P. II). De plus , les dix parallèles communes à ces échelles des parties, sont continuées jusqu’au bout de l’échelle principale et arrêtées à une droite 10.10, par exemple , menée par l’extrémité 10, parallèlement aux obliques 5. 5, 4.4, etc. Une parallèle aux mêmes obliques est aussi tirée par tous les autres points de divisons 0,5, etc. , de l’échelle principale, et chaque oblique reçoit à son extrémité inférieure , le même numéro qu à son extrémité supérieure. Les parallèles à l’échelle principale sont aussi numérotées de la même manière aux deux bouts.

C’est des obliques et des parallèles à l’échelle principale qu’on se sert le plus souvent. Voulez-vous , par exemple , prendre une longueur réduite de ll ,n ,45? Comme elle renferme 4 dixièmes de mètre , vous posez l’une des pointes du compas à l’extrémité de droite de la parallèle 4.4, et l’autre à l’intersection de cette parallèle et de la perpendi- ' culaire 1.2 ; vous avez alors exactement ll m ,4; car il y a 40 m du point 4 de droite au point A, comme de 10 à 0 sur l’échelle principale ;ilyal m deAà B et 4 décimètres de B à C. Pour avoir les b centimètres , vous augmenterez un

5 eu l’ouverture de compas , de manière à prendre à gaucho e C, la moitié de 1 D, attendu que 5 centimètres forment la moitié de 1 décimètre. Celte moitié de 1 D s’estime à vue.

Supposons encore que vous ayez à faire sur le dessin , une droite qui ait en réalité 7 m ,8o. Vous chercherez sur la dernière oblique, marquée ici 10.10, le n° 8 qui est égale au nombre des décimètres; vous poserez l’une des pointes du compas à l’intersection de la parallèle 8.8 et de l’oblique qui est numérotée 5 sur l’échelle principale , parce qu’il n’y a qu’une fois 5 dans 7 ; vous placerez l’autre pointe à -l’intersection de la même parallèle et de la perpendiculaire

? ui est numérotée 2 sur l’échelle principale , attendu quo et 2 font 7 , et vous aurez une ouverture de 7 m ,80, Ainsi , les décimètres de la longueur à prendre indiquent la parallèle; les mètres, comptés sur l’échelle principale, indiquent l’oblique d’où il faut partir et la perpendiculaire 4 laquelle on doit s’arrêter.

70. Lorqu’on élève une perpendiculaire en un point quelconque A <fun diamètre BC (P. II , F. 3) et qu’on prolonge cette perpendiculaire AD jusqu’à la circonférence, a un seul côté , on a trois droites AB , AD , AC qui jouissent d’une relation remarquable : la demi-corde A D perpendiculaire au diamètre , en contient la petite partie