Mesurer la hauteur AB d’une montagne (P. U

La hauteur d’une montagne est celle de la verticale AB qui part du sommet A et vient rcncoulrer le terrain de la plaine au point B dont on ne peut approcher. Pour la déterminer, il faut, comme dans le cas précédent , aligner deux jalons CD , EF sur le sommet A , et diviser par la distance horizontale CE , l’excès de la hauteur verticale EH sur le petit jalon , afin d’avoir la pente de DA. Cela fait , on mesure l’horizontale CB ou l’horizontale AK.. Vous emploierez à cet effet le procédé du n° 74, en vous alignant sur le sommet A ; il est plus court que celui du u° 72 , et d’ailleurs, si la montagne est fort escarpée, ce dernier est impraticable. Enfin, le produit de la pente multipliée par la distance CB, fait connaître l’élévation de A au-dessus de l’horizoulale DI , et pour avoir AB , il ne s’agit plus tpie d’ajouter à AI , la longueur CD du petit jalon.

C’est ainsi qu’on peut mesurer la hauteur verticale de tout objet dont on ne saurait approcher, ou dans l’intérieur duquel il est impossible de pénétrer.

82. Mesurer la longueur d'une rampe AB, qu’on ne peut parcourir (P. II, F. 14).

Mesurez la distance horizontale BC (74) et la hauteur AC (81) ; puis , tracez sur un terrain uni , deux droites d’équerre , comme AC et BC ; portez sur l’une de c en a , autant de centimètres ou de millimètres que CA contient de mètres , et sur l’autre , de c en b , autant de centimètres ou de millimètres que CB contient de mètres. Tracez ensuite la droite «i, et mesurez-la en centimètres ou en millimètres ; autant elle en contiendra , autant la droite inclinée AB contiendra de mètres.

FACES DES CORPS. «3

Si , par exemple, AC— 40 m ,56 et que BC=182 m ,5’, vous prendrez ac de 0 m ,4036 ou à très-peu-près de 403 millimètres et demi, centième partie de AC, et l/c de I lu ,825 , centième partie de BC. Alors ai sera aussi la centième partie de AB, et comme vous trouverez que ai=l m ,869, vous en conclurez que AB=186 m ,9 à fort peu près.

Mais , il est plus simple et plus exact de calculer la longueur de AB au moyen du procédé du n° 106. Il vous donnera pour cette longueur i86 m ,909.

FACES DES CORPS

83. De même que les arêtes des corps sont droites ou courbes , leurs faces sont planes ou courbes.

Une face est plane , quand la règle peut y être appliquée de toute sa longueur, dans tous les sens: le tableau noir , un plancher bien fait , le côté poli du dessus de marbre d’un meuble , sont des faees planes.

Une face est courbe , lorsque la règle ne peut s’y appliquer de toute sa longueur, dans tous les seus: la voûte d’une cave , celle d’un pont , celle d’un four , sont des exemples de faces courbes: la règle ne peut toucher les deux premières sur toute sa longueur, que dans un seul sens ; elle ne saurait , dans aucun sens , reposer par tous ses points sur la dernière.

L’ensemble des faces d’un coips constitue la surface de ce corps : la surface intérieure d’un four, par exemple , se compose de la face courbe qui forme la voûte et (le la face plane sur laquelle on dépose As pains. La surfacejd un . tonneau comprend les faces planes des deux fonds et la face courbe qui les sépare.

Un corps qui n’a point d’arêtes, comme une boule, un œuf, un anneau rond , n’a qu’une seule face qui fait à elle seule la surface.

84. Nous avons étudié les arêtes ou lignes indépendant *. ment des corps auxquels elles peuvent appartenir; nous agirons encore ainsi pour les faces planes.

Une face plane est toujours limitée, et elle l’est soit par ( des limites, soit par des arcs de cercle, soit par un cercle entier ; mais de même qu’une ligne droite peut être pro- ■ ' longée pav la pensée, autant qu’on veut, au-delà de ses

56 plaxs.

extrémités, une face plane peut être conçue prolongée au-delà de ses limites. Considérée de la sorte, elle est illimitée et prend le nom de plan. C’est ainsi qu’on la considère et qu’on la nomme toujours, en l’étudiant sous le rapport des - différentes positions qu’elle peut avoir, alin de faire en- tendre rue les propriétés qui lui sont reconnues et les procédés qui en dérivent, ne dépendent nullement de la forme des limites et sont applicables à toute face plane d’un corps quelconque.

85, Parmi toutes les positions que peut prendre un plan , il en est deux très-remarquables : la position verticale et la position horizontale. Un plan est vertical dès que

le fil-à-plomb , librement suspendu , s'y applique sur toute sa longueur , ou bien dès que ce fil en cache à l’œil toute l’étendue. La face intérieure d’un mur de maison est dans ce cas. 11 n’en est pas de même de la face extérieure , à cause du léger talus ou fruit qu’y exige la solidité.

Un plan est. horizontal ou de niveau, lorsque deux droites concourantes qu’on y a tracées à volonté , sont ellesmêmes horizontales (44) : un plancher bien fait , le tapis d’un billard, la surface des eaux tranquilles sont des plans horizontaux. Ils suflit donc , pour reconnaître si un plan est horizontal, d’y placer le niveau sur deux directions qui se coupent. Il y a plus d’exactitude dans une telle vérification , quand les deux directions sont à peu-près d’équerre.

Un plan qui n'est ni horizontal , ni vertical , est dit incliné : les faces d’un toit sont donc des plans inclinés (*).

86. Quelle que soit la position d’un plan, une droite peut être perpendiculaire ou parallèle ou oblique à ce plan.

Une droite est perpendiculaire sur un plan , quand cite Test sur deux droites de ce plan , qui se croisent à son pied. Alors , elle ne penche ni dans un sens , ni dans aucun autre , ou ce qui revient au même , elle est d’equerre sur toutes les droites du plan qui la rencontrent.

La direction du fil-à-plomb ou la verticale est donc perpendiculaire au plan horizontal quelle perce ; car elle l’est à toutes les horizontales qui peuvent être tracées par son pied, sur le plan (44).

(*) Les moyens de la Géométrie élémentaire ne permettent point de représenter exactement, sur le tableau, les position j des plans, celle du plan vertical exceptée. Il faut ponv les autres, se servir de planchettes ou de cartons, et ne jamais faire de figures eu perspective i elles peuvent donner des idées fausses aux élèves.

La distance d'un point à un plan est la longueur de la perpendiculaire qu'on y abaisse de ce point, parce qu’une telle droite est la plus courte de toutes celles qui peuvent être menées du point jusqu’au plan (41).

Planter une lige perpendiculairement sur un plan.

Disposez deux équerres de manière qu’une des petites arêtes de l’une se confonde avec une des petites arêtes de l’autre, sans que les deux instrumens aient d’autres points communs ; poscz-lcs ensuite sur le plan , par les deux petites arêtes non accolées , et placez la tige le long de celles qui se confondent. La direction de cette tige sera évidemment alors perpendiculaire à deux droites du plan. Pour plus d’exactitude, il convient que les deux petites arêtes non accolées fassent à-peu-près un angle droit.

Si la tige devait contenir un point marqué hors du plan, il faudrait que la droite des deux arrêtes accolées passât par ce point.

87. Une droite est parallèle à un plan , lorsque deux de ses points en sont également éloignés , ou lorsqu’il y a entre ces points et le plan , deux parallèles égales.

Toute horizontale située hors d’un plan horizontal , lui est parallèle, parce que les verticales qui vont de la droite au plan , sont toutes de même longueur.

Toute verticale située hors d’un plan vertical , lui est parallèle , parce que les horizontales qui vont de la droite au plan , sont toutes de même longueur.

Placer une barre parallèlement à un plan.

Tracez d’abord sur le plan, la direction que doit avoir la barre ; puis , si le plan est vertical , plantez-y deux tiges perpendiculairement et sur la droite tracée ; s’il est horizontal ou incliné , plantez-y deux tiges verticales. Dans tous les cas , portez sur ces tiges , à partir du

S lan , deux longueurs égales. Par là vous déterminerez eux points , et il vous restera à placer la barre de façon qu’une de ses longues arêtes ou une de ses lignes droites parallèles aux longues arêtes , passe par ces deux points. La distance de la barre au plan ou un point de sa

S osition est quelquefois donnée. Il faut alors planter les eux tiges perpendiculairement au plan , quel qu’il soit, et marquer sur ces tiges deux points qui se trouvent éloignés du plan autant que doit l’être la barre ou le point donné.