PREUVE

Je partage le nombre 23425 en groupes de deux chiffres chacun , en allant de droite à gauche. Le 1 er groupe à gauche peut conséquemment contenir un ou deux chiffres. Je prends la racine quarré 1 du plus grand quarré 1 contenu dans le premier groupe 2 , et j’écris cette racine 1 à droite du nombre 23425 , comme le diviseur d’une division. De 2 , je retranche le plus grand quarré 1 qu’il contient , et j’écris au-dessous le reste 1 .

- A côté de ce reste , j’abaisse le 1 er chiffre 3 du 2 e groupe et j’ai 13. Je douille le chiffre 1 de la racine et j’obtiens 2

S ue j’écris au-dessous, à la place ordinaire du quotient ’une division. Je divise 15 par ce nombre 2.

Le quotient 6 peut être trop grand pour la racine. Je l’essaie en le supposant écrit à la suite du diviseur 2 et en multipliant le nombre 26 qui en résulte , par ce même quotient 6. Pour que 6 convienne à la racine , il faut que le

S roduit puisse se retrancher du reste 1 du 1 er groupe, suivi e tout le second 34, c’est-à-dire du nombre 154. Tout cet essai , qui consiste en une multiplication et une soustraction dont on n’a pas besoin de connaître le reste , se fait par la pensée , sans rien écrire , comme l’essai d’un quotient , quand le diviseur a plusieurs chiffres.

Je vois ainsi que 6 est trop grand. Je le diminue donc d’une unité et j’essaie 5 de la même manière. Trouvant le chiffre 5 bon pour la racine, je l’y écris à côté du chiffre 1. Je l’écris aussi à côté du diviseur 2 , ce qui donne 25. Je multiplie 25 par le 5 de la racine, et je retranche de 154, en écrivant successivement les chiffres du reste, comme si je faisais une division. Je trouve par là que le reste est 9. A côté du reste 9 , j’écris le 1 er chiffre 2 du 3 e groupe

EXTRACTION DE RACINE

25, et j’ai 92. Je double le nombre 15 de la racine, et j’obliens 30 que j’écris vis-à-vis de 92, au-dessous de 15. Je divise 92 par 30 et j’essaie le quotient 3 , comine j’ai essayé tout-à-l’hcure 6 et 5. Trouvant le chiflre 3 bon pour la racine, je l’y écris à la suite de 15 et je l’écris aussi à la suite du diviseur 30 , ce qui donne 503. Multipliant 505 par le chiflre 3 de la racine et retranchant le produit à mesure que je le forme , du reste du 2 e groupe , suivi de tout le 5 e , c’est-à-dire du nombre 925 , j'ai pour reste IG.

L’opération est alors terminée , si l’on ne veut pour racine qu’un nombre entier. Cette racine est 153; le reste 10 montre que le nombre 23425 excède d’autant le quarré de 153. Si au lieu de 23425 nous eussions eu 23409, nous aurions trouvé 153 pour racine , sans aucun reste. Mais, quoique incomplète , la racine 153 ne diffère pas d’une unité de la vraie racine , puisque 4 mis à la place de 5 dans 153 , serait trop fort, même pour la division de 92 par 50. D’ailleurs , 1 54 a pour quarré 23 7 16, nombre bien plus grand que 25425.

Il en est donc des racines comme des quotiens : elles ne sont pas toujours complètes. Dans tous les cas , leur recherche se fait, ainsi que vous venez de le voir, au moyen de la division, de la multiplication et de la soustraction; ceux qui savent bien exécuter ces opérations , n’éprouveront donc aucune difficulté à pratiquer 1,’extraction de racine.

11 est souvent nécessaire d’avoir une racine moins différente de la véritable , que celle qui est exprimée par un nombre entier. La même opération suffisamment continuée , permet d’approcher aussi près qu’on veut de la racine exacte. Il suflit d’écrire à la suite du dernier reste, autant de groupes de deux zéros, qu’on désire de décimales.

Supposons qu’on veuille obtenir la racine de 23 425 à moins de I dixmillième près. Je devrai pousser l’extraction jusqu’aux dixmillièmes , ou trouver les quatre premières décimales de la racine , et par conséquent , j’écrirai quatre groupes de deux zéros à la suite du reste 16.

Cela fait , je continuerai de diviser chaque reste joint au 1 er chiflre du groupe suivant, par le double du nombre déjà écrit à la racine , jusqu’à l’épuisement de tous les groupes de zéros; mais je séparerai du nombre entier 155 , par une virgule , les nouveaux ehiflrcs que je mettrai à la racine. Ainsi , je diviserai 160 par 306 , puis j’écrirai

66 EXTRACTION DE RACINE

le quotient 0 à la suite tle la virgule et à la suite de 50o. Si je multipliais 5060 par 0, et que je fisse la soustraction du produit , j’obtiendrais évidemment pour reste 1 600. Je passe donc ces deux opérations , et je divise tout de suite 1600 suivi du 1 er zéro du 2 e groupe, ou 16000, par 3060. Cela me donne 5àla racine et 6975 pour reste. A côté de ce reste , j’écris le 'i er zéro du 5 e groupe; je divise 69750 par 50610; j’obtiens 2 à la racine et 85296 pour reste. Enfin, je divise 852960 par 506104; j’obtiens 2 à la racine et pour dernier reste 2407516, ou plutôt 0,02407516.

La racine de 23425 est donc alors 153,0522. Elle se trouve encore moindre que la vraie ; mais n’en différant pas d’undixmillième, elle peutbien être regardéecomme exacte.

Si aulieu du nombre entier 25 425 , on avait le nombre 234,25, la recherche de la racine se ferait absolument de la même manière ; seulement , il faudrait former les groupes de deux chiffres à partir de la virgule , et mettre une virgule à la racine , des qu’on aurait employé tous les chiffres de la partie entière 254. La racine serait alors 15,50522.

La preuve par 9 de la multiplication , fournit un moyen facile et expéditif de vérifier une extraction de racine. Additionnez les chiffres de la racine et ôtez 9 à mesure que vous le pourrez ; formez le quarré du reste ; additionnez les chiffres de ce quarré , en ôtant tous les 9 ; ajoutez le nouveau reste aux chiffres du reste de l’extraction, en ôtant les 9 ; vous obtiendrez un troisième reste qui , si l’opération a été bien faite , sera égal à celui que donnera le nombre proposé, quand vous en aurez additionné les chiffres et ôté les 9.

Ici , le reste de la racine est o ; le quarré de o est o ; le reste de l’extraction donne 7, et le noinbre 23425 donne 7 aussi. Par conséquent , l’opération est très-probablement bomie.

Il faut observer toutefois que la preuve par 9 ne fait point apercevoir l’erreur qui provient d'un trop petit quotient ; cette preuve réussit , lors même qu’un ou plusieurs chiffres de la racine sont trop faibles. Il faut donc faire en sorte qu’ils ne le soient pas. Or , rien n’est plus facile : il suffit de prendre les divers quotiens aussi grands

2 u’ils peuvent l’être, comme pour la division ordinaire.

•ans cette opération , on est averti de l’insuffisance des quotiens , par les restes qui surpassent alors le diviseur , tandis qu’ils devraient être moindres. Dans l’extraction

POLYGONES

«le racine , il n’en est pas ainsi ; mais on est certain que le quotient ou le chiffre mis à la racine n’est pas trop A petit , quand le reste est moindre que le double de la partie de racine déjà trouvée, augmenté d’une unité.

Par exemple, dans la racine 153,05 obtenue après la 4 e division , le dernier chiffre 5 est suffisamment grand , parce que le reste 6975 est moindre que le double de 15 305 augmenté de 1 ou moindre que 30 Gll. Si je mettais 4 au lieu du dernier 5 , j’aurais 37 584 pour reste, 15304 pour racine , et comme 37 584 est plus grand que l-}-2 fois 15 504 ou 30G09, j’en conclurais que la racine 15 504 est trop petite d’une unité au moins.

POLYGONES

97. On donne le nom de polygones aiix faces planes dont les limites sont des lignes droites. Elles présentent des angles , des sommets et des côtés , en même nombre. Les angles se trouvent tous ouverts en dedans ( P. Il , F. 16) ou bien les uns ont cette position , tandis que les autres sont ouverts en dehors (F. 17). Dans le premier cas , le polygone est dit à angles saillans , et dans le second , à angles rentrons. C'est de la première espèce qu’il va être question , attendu qu’un polygone de la deuxième peut toujours être décomposé en plusieurs polygones à angles saillans : il suffit , pour cela , de tirer des droites telles que AB,BC, appelées' diagonales; elles donnent les figures ABD , BEFC , ABCG qui ne renferment aucun angle rentrant.

Vous voyez que les diagonales dun polygone sont des droites qui joignent deux sommets séparés par un autre ou plusieurs.

Tout angle ABC (F. 16) formé par un côté AB de polygone et le prolongement BC d’un des deux côtés qui rencontrent celui-là, est appelé angle extérieur. L’angle ABD de deux côtés du polygone est dit intérieur.

Un polygone qui a tous scs angles égaux et tous scs côtés de même longueur, est régulier. ,

Deux polygones dont l’un est la copie réduite de l’autre (68) , sont dits semblables : les angles du premier sont égaux aux angles du second ; les angles égaux sont placés dans le même ordre , sur les deux figures ; il en est de même des côtés correspondons , c’est-à-dire des côtés qui joignent les sommets des angles de même indication ; enfin , deux côtés corrcspondans se couliennent le meme

TRIANGLES

nombre de fois que deux autres côtés correspondans quelconques.

TRIANGLES

98. Le plus simple de tous les polygones est celui qui a trois côtés et trois angles ; on l’appelle triangle.

La somme des trois angles d’un triangle égale celle de deux angles droits ; car si vous prolongez le côté AB (P. Il, F. 18), et que vous meniez par le sommet B, une droite BD parallèle à AC, vous aurez l’angle DBE = A son correspondant (47), l’angle CBD = C comme altcrnes-internes, et vous savez que les trois angles ABC, CBD , DBE, faits en un point B , du même côté de la droite AE , valent deux angles droits (31).

Remarquez que , dans un triangle , chaque angle extérieur CBE , est la somme des deux angles intérieurs A , C , qui ont des sommets différons du sien (97).

99. Construire un triangle avec trois droites A, B , C } dont une quelconque est moindre que la somme des deux autres (P. II, F. 19).

Ce tracé est absolument le même que celui du n° 6. Tirez une droite et portez-y la longueur A , de D en E ; puis du point D , avec B pour rayon , décrivez un petit arc ; et ciu point E , avec C , décrivez un second arc qui coupe le premier en F ; joignez enfin F à D et à E , vous aurez le triangle DEF dont les trois côtés auront les longueurs données.

Il faut , pour qu’il y ait possibilité dans le tracé , que chaque droite soit moindre que la somme des deux autres ,

Ê arce que, dans un triangle, chaque côté est plus polit que l somme des deux autres qui forment une ligne brisée. Delà le moyen de lever un angle sans fausse équerre (24). Supposez qu’il s’agisse de l’angle formé par les traces de deux murs sur un plancher. Vous mesurerez une longueur AB sur l’une de ces traces (P. II , F. 20), une longueur AC sur l’autre, et la distance des points B, C; puis, avec ces trois longueurs, vous construirez, par exemple , sur l’une des faces d’une pierre , un triangle dont l'angle opposé à la longueur BC , sera précisément égal à l’angle A.

100. Construire un triangle dont on connaît deux côtés et l'angle qu’ils forment. '

Il n’est pas nécessaire de connaître les trois côtés d’un triangle, pour le tracer. Si vous avez l’angle A, par

TRIANGLES. G9

exemple (P. Il, F. 21), et les longueurs B, G des côtés qui le forment , vous faites un angle D égal à l’angle À (27) ; vous portez sur les côtés de l’angle I), les longueurs B, G, de D en E et en F ; puis vous tirez la droite EF qui achève le triangle DEF.

101. Construire un triangle dont on a deux angles A, B et le côté C qui joint les sommets de ces angles (P. II , F. 22).

Tracez une droite et portez-y la longueur C, de D en E; faites sur DE , au point D, un angle égal à A (27), et au point E, un angle égal à B. Les autres côtés de ces angles achèveront le triangle DEF en se coupant au point F.

102. Le triangle qui a deux côtés égaux , est dit symétrique. Les fermes a’un toit à deux pans, les faces de toit qui remplacent des pignons , sont des exemples de triangles symétriques.

Dans un triangle symétrique ABC (P. H, F. 25), il y a égalité entre les angles A } C opposés aux côtés égaux BC, BA ; car la perpendiculaire BD donne DA=DC (GO).

Lorsque vous loverez un angle par le procédé du n° 99 , il sera bon de faire symétrique le triangle BAG (F. 20), en prenant AB égale à AC, s’il y a possibilité ; vous n’aurez alors qu’une seule longueur à mesurer et à noter, car ayant mesuré AG, vous pourrez rapporter cette droite sur AB.

103. Le côté AG qui , dans un triangle symétrique (P. H,F.23 ), n’est pas égal aux deux autres, se nomme la base du triangle. La perpendiculaire Bl) abaissée sur cette base , du sommet B opposé , est la hauteur. Mais en général , on appelle hauteur d’un triangle quelconque, la perpen- , diculaire abaissée d’un des sommets, sur le côté opposé, prolongé s’il le faut , et ce côté est -alors regardé comme la base, du triangle.

Construire un triangle symétrique, dont on connaît la base B et la hauteur il (P. II, F. 24).

Tirez une droite sur laquelle vous porterez la base B, de A en G ; élevez une perpendiculaire au milieu de AC (45) ; portez la hauteur 11 sur cette perpendiculaire , de 1) en E ; puis joignez E aux points A , G 5 vous aurez le triangle symétrique AEG.

Construire un triangle symétrique , quand on connaît la hauteur II et la longueur L des côtés égaux (P. U , F. 25).

TRIANCLES.

Elevez une perpendiculaire au milieu d’une droite quelconque AB ; portez la hauteur H de G en D ; décrivez de D, avec la longueur L , un arc qui coupe AB en deux points

E, F; joignez enfin D à E et à F ; vous aurez le triangle symétrique EDF.

Construire un triangle symétrique , quand on connaît la base et la longueur des côtés égaux.

Vous connaissez réellement les trois côtés et vous pouvez employer le procédé du n° 99.

Construire un triangle symétrique , quand on connaît la longueur L des côtés égaux et leur pente (P. H, F. 26).

Élevez une perpendiculaire au milieu d’une droite quelconque AB. Si la pente est , par exemple, de 5 décimètres, vous porterez 5 décimètres de C en D, 1 mètre de C en E (80), et la longueur L sur la droite ED , à partir de E. Vous marquerez ainsi un point F. Décrivez de ce point, avec FE, un arc qui coupe AB une seconde fois en G, puis joignez F à G ; vous aurez le triangle symétrique EFG.

"104. Le triangle ABC qui a ses trois côtés égaux (P. H,

F. 27), est dit équilatéral (*). Ses trois angles sont aussi égaux, car des angles opposés à des côtés de même longueur, dans un triangle, peuvent toujours se couvrir exactement (101). Il s’ensuit que chaque angle d’un triangle équilatéral est de 60°, puisque leur somme est de 180° (98).

Le triangle équilatéral est un polygone régulier , car il satisfait aux conditions de régularité énoncées dans lcn° 97.

Construire un triangle équilatéraldont on connaît le côté.

Connaissant un côté, vous connaissez les trois; vous pouvez donc employer le procédé du n° 99.

101). Le triangle ABC (P. Il, F. 28) dans lequel se trouve un angle droit B, est appelé triangle rectangle. Los * équerres bien faites en sont des exemples. On nomme hypolhênuse le côté AC opposé à l’angle droit.

Puisque la somme des trois angles d’un triangle donne 1 80° et que l’angle B est de 90°, les deux angles aigus A, C d’un triangle rectangle valent ensemble 90°. Lors donc

2 u’un tel triangle est symétrique , comme ABC , chacun es angles aigus A, C qui sont égaux , est de 4o°. Construire un triangle rectangle, quand on connaît les deux côtés A , B de i angle droit , (P. II , F. 29).

Ele vcz une perpendiculaire au milieu d’unedroite quelconque CD (45) ; portez l’un des côtés donnés , A par

* Prononcez ccuilaléraL

TRIANGLES

exemple, de E en F , et l’autre B , de E en G ; joignant F à G par une droite, vous aurez le triangle rectangle FEG.

Construire un triangle rectangle , quand on connaît Thy polhènuse A et un côté B de l’angle droit (P. Il, F. 50).

Elevez une perpendiculaire au mdicu d’une droite quelconque CD ; portez la longueur B sur l’une ou sur 1 autre ae ces lignes, à partir de leur intersection E ; décrivez du point F ainsi obtenu , un arc qui ait pour rayon la longueur A de l’hypothénuse et qui coupe EC ou ED; joignez à F le point G donné par cet arc, et vous aurez le triangle rectangle FEG.

Comparaison des Triangles.

106. Dans plusieurs cas , on peut prononcer que deux triangles sont égaux ou que l’un couvrirait l’autre exactement , sans avoir besbin d’en mesurer les angles et les côtés.

Deux trian (P. II , F. 52

1° Quand

c’est-à-dire, lorsque AB=A'B', BC=J3'C', CA=C'A' ;

2° Quand un angle de l'un égale un angle de l’autre } et que les côtés du premier angle ont memes longueurs que ceux du second ; lorsque, par exemple , l’angle A— A 1 ,