AB=A'B', AC=A'C

5° Quand un côté de Vun a même longueur qu’un côté de Vautre } et que les angles formés par le premier côté , égalent ceux qui sont formés par le second • lorsque , par exemple, BC=B'C', B=B', C= C'.

Il est facile de reconnaître en effet que , dans tous ces cas , le triangle A'B'C' couvrirait exactement ABC , si trois des côtés et des angles qiu forment le premier , étaient appliqués sur les trois parties qui leur sont égales dans le second. Observez toutefois qu’au nombre des trois parties doit se trouver un côté ; il ne suffit pas que les trois angles d’un triangle soient égaux à ceux d’un autre, pour que ces deux faces puissent se couvrir exactement.

Vous verrez tout aussi facilement que deux triangles rectangles se recouvrent ou sont égaux , lorsque l'hjpothénuse et un petit côté de l’un égalent l’hjpolhénuse et un petit côté de l’autre.

En combinant ces principes et les tracés des triangles (99, 100, 101, 10o), on parvient aisément à faire de

t gles quelconques } ABC , A’B'C' sont égaux les côtés de Vun égalent les côtés de l'autre .

plusieurs manières, un triangle qui soit égal à un triangle donné.

107. Deux triangles peuvent avoir la même superficie , sans pouvoir se couvrir ou sans être égaux. On dit alors qu’ils sont équivale ns.

Deux triangles quelconques sont èquivdlens, quand la base et la hauteur de l’un égalent la base et la hauteur de Vautre. Ainsi, deux triangles ABC, ADC (P. II, F. 55) qui ont même base AC, sans avoir les mêmes angles, et dont les sommets B, D se trouvent sur une parallèle à cette base, sont équivalons ; car ils ont des hauteurs égales, puisque ces hauteurs sont les perpendiculaires BE , DF comprises entre les parallèles AC, BD (45).

En effet , chaque triangle peut être considéré comme composé de bandes infiniment étroites et disposées parallèlement à la base. Il y a le même nombre de bandes dans les deux figures , attendu que les hauteurs sont égales. De plus, toute bande ac de l’un égale la bande correspondante a'c' de l’autre ; car ac, aie’ sont contenues dans AC, comme Be, D f dans la hauteur commune BE ou DF ( G7 ) , et puisque B e=D/) on a aussi acr=a'c'. Les deux superficies se composent donc d'un môme nombre d’élémens égaux ; elles ont par conséquent, la même étendue ou sont équivalentes.

Construire un triangle qui soit équivalent à un triangle donné ABC.

Il suffit de mener par un sommet B , une droite BD parallèle au côté opposé AC , et de joindre un point quelconque D de cette parallèle, aux extrémités de AC.

Partager un champ triangulaire ABC en un certain nombre de triangles équivalais , 5 par exemple (P. II, F. 54).

Divisez AC , un quelconque des côtés, en autant de parties égales qu’on demande de portions (65) ; puis , joignez les points de division D , E, au sommet opposé B. Les triangles ABD , DBE, EBC seront équivalons, puisqu’ils auront des bases égales AD , DE , EC et même hauteur BF.

108. Les superficies de deux triangles de même hauteur se contiennent comme leurs bases.

Si, par exemple, là base CE du triangle CBE (P. II, F. 54), est contenue 3 fois dans la base AC du triangle ABC , la superficie du premier se trouvera contenue aussi

3 fois dans celle du second ; car portant CE autant de fois • qu’on le pourra sur AC, et joignant les points de division au sommet B , on formera dans ABC, trois triangles équivalens à CBE (107).

109. Deux triangles qui renferment un même angle, se contiennent comme les produits des côtés de cet-angle.

Soient les deux triangles ABC , abc ( P. II , F. 53 ) , tels que l’angle B Le premier contient le second comme AB)<I1C contient aby^bc. Plaçons abc sur ABC, de façon que l’angle b couvre^ son égal B ; le petit triangle prendra la position a'Be' ; IW égalera ha y Bc' égalera bc , et si nous menons a'C , les deux triangles de même hauteur ABC, BCa' donneront la proportion (108)

ABC : BCa' :: AB : Ba'.

Mais les deux triangles BCa' , Bc'a' ont aussi même hauteur, et conséquemment

BCa' : Bc'a' :: bc : b c \

Multipliant ces deux proportions l’ùne par l’autre, nous obtiendrons

ABCXBCa' : BCa'XBc'a' “ ABXBC : Ba'XBc'.

Divisant les deux termes du premier rapport par BCa', on a en lin

abc : Bc'a' :: abxbc : Ba'XBc'.

ou ABC : abc ABXBC abyCbc.

110. Toutes les relations de similitude ou ressemblance (97) ont lieu à la fois pour deux triangles ABC, abc (P. II, F. 33), et ces triangles sont par conséquent, semblables , 1° lorsque deux angles quelconques A , B du grand sont égaux à deux angles a, b du petit. D’abord, le troisième angle C=c, puisque chacun est l’excès de 180° sur A-J-B ou sur a-\-b. Ensuite, si l’on place le petit t riangle sur lç grand, de manière que l’angle b couvre B , ac prendra la position de a'c’ parallèle à AC, attendu que les angles correspondais a! et A sont égaux (47). Conséquemment, ba devenu Ba' est contenu dans BA, comme bc devenu Bc' l’est dans BC , comme ac devenu a'd l’est dans AC (07).

2°. Deux triangles sont semblables, lorsque deux côtés quelconques de même rang se contiennent comme deux autres côtés de même rang, c’est-à-dire quand AB contient ah , comme AC contient ac , comme BC contient bc. Portons ba de B en a' et bc de B en c'y alors Ba' sera coa-

COMPARAISON DES TRIANGÉES."

tenu flans BA, comme Bc' dans BC , et a'd se trouvera parallèle à AC. Or il s’ensuivra que AC contiendra a'd, comme AB contient Ba' ou ba. Ainsi a'd égalera ac, et Je triangle Ba'c' égalera abc (106). Mais les angles de Ba'c' égalent ceux de ABC (47) ; donc il en est de môme des angles de abc , et toutes les conditions de similitude sont remplies.

5° Deux triangles sont semblables, lorsqu'un angle du grand égale un angle du petit } et que les côtés du premier angle contiennent leurs correspondons du second le meme nombre de fois ; quand, par exemple, l’angle B=b et que AB contient ab, comme BC contient bc. Plaçons l’angle b sur l’angle B , de manière qu’il le couvre ; a tombera en un point a' , c en un point d, et le triangle Ba d sera égal à bac (106). Mais, parce que AB contiendra Ba' comme BC contient Bd, a’d se trouvera parallèle à AC (67). Donc AC contient a'd ou ac , comme AB contient ab ; l’angle a' ou a égide A (47) ; l’angle d ou c égale C , et toutes* les conditions de similitude sont remplies.

4° Deux triangles sont semblables } lorsque les trois côtés de Vun sont parallèles aux trois côtés de Vautre ; car alors les angles du grand sont égaux à ceux du petit ( 47 ), et l’on retombe dans le premier cas.

5° Deux triangles sont semblables , lorsque les trois côtés de Vun sont perpendiculaires aux trois côtés de Vautre: il en résulte aussi l’égalité des angles, car si l’on fait tourner l’une des figures, de manière que chacun. des côtés exécute un quart de conversion , ces côtés deviennent tous en même tems parallèles à ceux de l’autre triangle.

411. Deux triangles semblables se contiennent comme les quarrês numériques de deux côtés correspondons. Pour les deux trianglessemblables ABC, abc (P. II, F. 55),

on a (96) e ^ et > l’cgalité des angles B, b

donne (109) - 7 -— Mais il suit de la similitude que — = — . On peut donc mettre le second de ces rapports à la place du premier. Par conséquent, •

Ainsi , on n’a pas besoin de mesurer les superficies de deux triangles semblables , pour connaître combien de fois le grand contient le petit : il suffit de mesurer deux côtés corrcspondans AB, ab, de faire le quarré de chacune de ces longueurs et de diviser le grand quarré par le petit (97).

Si, par exemple , AB— I5 m et que alr= 5 m , le quarré de AB sera 22a ; celui de ab sera 25. Divisant 22a par 25 , vous trouverez 9 pour quotient, et voies en conclurez que le triangle ABC contient 9 fois le triangle abc.

Partager un champ triangulaire ABC en 4 portions égales (V. Il , F. 36 ).

Divisez chaque côte en deux parties égales (45); joignez les milieux , par des droites DE , EF , FD ; vous formerez quatre triangles , et chacun de ces petits triangles sera le quart du grand.

En effet , DF est parallèle à BC ( 6 a') ; par suite , l’angle ADF égale son correspondant B (47) , et comme l’angle A est commun aux triangles ABC, ADF, ces deux figures sont semblables. Or, AB contient 2 fois AD ; si donc vous prenez AD pour unité de longueur , AD=1 et AB=2. Par conséquent , le quarré de AB est 4 , celui de AD est 1 , et ABC contient 4 fois ADF. Vous verrez de même que CEF est le 2 e quart de ABC , que BDE en est le 3 e quart , et vous conclurez que DEF en est le 4 e ; ou bien vous reconnaîtrez facilement qu’en vertu des parallèles ( 66 ), les 4 petits triangles ayant leurs côtés correspondais égaux, sont égaux (106); d’où il résulte aussi que chacun est le quart de ABC.

Partager un champ triangulaire ABC en 9 portions égales ( P. II , F. 57).

Prenez la racine de 9 , comme vous avez pris tout-ùl’heure celle de 4 , pour savoir en combien de parties égales vous devez diviser les côtés. Cette racine est 5 ; partagez donc AB , BC , ACchacun en 3 parties égales (65), et joignez les points de division de deux côtés , par des parallèles au troisième ; vous formerez ainsi 9 triangles égaux.

Ces deux exemples suffisent pour montrer comment on partage un triangle quelconque en autant de portions égales, que l'exprime le quarré d’un nombre entier.

Jiéduire un triangle.

C’est souvent la réduction de la superficie qu’on indique, plutôt que celle des côtés , et d'ordinaire celte réduction île la superficie est exprimée par une fraction qui a l’unité pour numérateur et le quarré d’un nombre entier pour dénominateur. Il s’agit , par exemple , de réduire le triangle au j , au j , au , j , etc. Dans un tel cas , vous extrairez la racine du dénominateur, vous la donnerez pour dénominateur à l’unité , et la nouvelle fraction indiquera la réduction convenable des côtés. Ainsi , on

efleetucrait la réduction de la superficie au T ' 5 , en opérant celle des côtés au ÿ, puisque h est la racine de 16.

Quanl-à la réduction des côtés , clic se fait par le procédé décrit dans le n° 68 , et l’on construit le triangle demandé , en employant les longueurs réduites , comme le prescrit le n° 90.

Copier un triangle en grand.

Veut-on , par exemple , que la superficie de la copie soit quadruple de celle du modèle ? vous extrairez la racine de k , pt cette racine 2 voies apprendra que les côtés doivent être doublés. Il ne s’agira plus que de recourir au n u 99 , pour construire le triangle demandé , avec des droites doubles de celle du triangle donné.

112. Tout triangle rectangle ABC est partagé en deux triangles qui lui sont semblables , par la perpendiculaire BD abaissée du sommet de langle droit sur Yhypothé— mise (P. II, F. 28).

En effet , l’angle A appartient au grand triangle ABC et au petit ADB; l’angle C appartient au grand et au moyen BDC. D’ailleurs , ADB et BDG ont chacun un angle droit, comme ABC fl 10).

Les deux petits triangles étant semblables au grand , sont évidemment semblables l’un à l’autre.

Le quarré numérique de Thypothénnse égale la somme des quarrès numériques des deux autres côtés d’un triangle rectangle.

Si , par exemple, le côté BC=4 m et que AB=5 m , le

Î narré de l’hypothénuse AC sera 2b , somme des quarrés 6 et 9 des nombres 4 et 5.

En effet, les trois triangles rectangles ABC, BDC, ADB étant semblables, se contiennent comme les quarrés de leurs hypothénuscs (111). Or, le grand triangle est la somme des deux petits. Donc , le quarré de son liypothénuse doit valoir la somme des quarrés des hypotliénuses des deux autres triangles, c’est-à-dire des côtés BC, AB de l’angle droit B.

Voilà pourquoi il est prescrit de donner aux cordons du cordeau-équerre (22) , des longueurs qui soient, entre elles comme 5 , k et b. Le quarré 2b du dernier nombre valant la somme des quarrés 9 et 16 des deux premiers, il s’ensuit que le cordeau tendu forme un triangle rectangle dont l’hypothénusc est le plus grand des trois cordons.

Mesurer la longueur de la rampe droite d'un escalier qui doit commencer en A et finir en B (P. H, F. 54).

Cotte rampe n’étant pas construite, il n’y a pas lieu d'y appliquer la mesure. On ne peut pas non plus employer une corde tendue de A en B, car le poids d’une corde, si faillie qu’il soit, l’cmpèclie de former une ligne droite , toutes les fois qu’elle n’a pas une position verticale. Enfin, le procédé du n° 82 ue donnerait peut-être pas une exactitude suffisante. Vous pourriez, à la vérité, vous servir d une règle qui serait assez épaisse pour ne pas fléchir sous son propre poids; mais on n’en a pas toujours sous la main, qui soit telle et assez longue. Û est donc bon de savoir calculer la longueur d’une ligne inclinée AB, au moyen de la longueur horizontale AC et de la hauteur verticale BC, qu il est toujours facile de mesurer.

La verticale du point B et l’horizontale AC qu elle rencontre , sont d’équerre et forment conséquemment avec AB un triangle rectangle. Faites donc le quarré de la longueur AC et le quarré de la longueur BC ; additionnez ces deux quarrés , pour avoir celui de l’hypothénuse AB; puis extrayez la racine de la somme ; cette racine sera la longueur de AB. La formule de ce mode de mesurage est H— ‘ (/"CXC-f C'XC', dans laquelle C et C' représentent les côtés de l’auglc droit. Le signe indique qu’il faut

extraire la racine quarrée de la quantité placée dessous.

Si, par exemple, AG=42 m , et que BC— 9 m ,o, la formule donne 11=4/ 5 —V 1 M , " ,u -f90 mm ,2a — |/2dA u ““,25=45‘",50522, pour la longueur de jl’hypothénuse ou de la rampe AB (96). Aucun autre mesurage ne la ferait connaître avec un pareil degré d’exactitude.

C’est ainsi qu’on peut trouver la longueur de l’hypothénusc du triangle rectangle, toutes les fois que les longueurs des deux côtés de l’angle droit sont connues. Il serait plusexact d’achever par ce moyen le mesurage d’une rampe qui ne pourrait être parcourue, que d’employer le procédé prescrit dans le n° 82.

On veut faire , avec des planches de 6 mètres , tin auvent qui abrite une largeur de 5 m ,‘ quelle est la pente à donner ?

Si vous supposez que l’horizontale AC ait 5 m (P. II, F. 31) et que la ligne inclinée AB ait-fi 111 , la verticale BC sera la poule totale du toit à construire , et il s’agira de calculer lu longueur de cette verticale. Or , le triangle ACB est rce-

taDglc , et par conséquent , le quarré de Hiypothénusc AB égale le quarré de AC , plus le quarré de BC. Donc , ce dernier quarré est la différence des deux autres. Retranchez donc de o6 mm , quarré de AB, le quarré 25 ,nm de AC, vous aurez pour reste 1 l" ,n qui sera le quarré de BC. Extrayant la racine de 1 l'” m jusqu’aux millièmes , vous trouverez 5'”, 316 pour la pente totale BC. La pente pour l in , serait le cinquième de 5 m ,516 , puisque AC=5 m . Si donc les poteaux qui soutiendrout lè bout A des planches doivent avoir 2 JU , le bout B devra être placé à 5 m ,316 du sol.

Voilà qui vous montre comment il faut calculer la longueur dcTun des petits côtés de tout triangle rectangle ,

Î uand on connaît celle de l’autre et celle de l’hypoténuse, a formule de ce mesurage est C=1/(HXH— C'XC')»

On se propose de bâtir une maison dans F angle B de deux chemins d' équerre ( P. Il , F. 28 ) ; la façade qui regardera le sommet B , aura 15 mètres de longueur et devra faire le même angle avec les deux directions BA y BC. A quelles distances de B faut-il marquer les extrémités de cette façade } pour qu'elles soient sur les bords des deux chemins ?

La façade AC formera avec les directions BA , BC , un triangle symétrique , puisque les deux angles A , C doivent être égaux (102). Les longueurs BA , BC seront donc égales , et comme le triangle ABC est rectangle , le quarré de AC vaudra le double de celui de BA , par exemple , ou bien le quarré de BA sera la moitié du quarré de la". Or, le quarré de 15“ est 225“ m . Prenant la moitié, vous aurez 112“ m ,5; extrayant la racine jusqu’aux millièmes, vous trouverez 10 m ,606 pour la distance-BA et pour la distance BC. La droite qui joindra les points A, C ainsi déterminés, aura 15 m à 1 millimètre près.

Ce calcul est un exemple de celui qu’il faut faire , toutes les fois qu’il s’agit de trouver les petits côtés d’un triangle symétrique et rectangle dont on connaît l’hypothénuse.

La formule de ce mesurage est C-I/^BX" .

Toute face qui est limitée par quatre lignes droites , se nomme quadrilatère (*). U n’y a rien de particulier à dire sur les quadrilatères dont les côtés opposés sc coupent

(*) Prononcez cotiudnlulire.

quand on les prolonge ; mais souvent ces côtés opposés sont parallèles, et les formes qui en résultent méritent l'attention, à cause de leur emploi dans les arts.

Trapèze. • <

113. Un quadrilatère ABCD (P. El, F. 39) qui a deux côtés parallèles AB, CD , est appelé trapèze ; le plus grand CD de ces côtés en est la grande base , et le plus petit AB , la petite base. Lorsque les côtés concourans AD , BC , sont égaux , le trapèze est dit symétrique. Cette dernière forme se rencontre dans les toits appelés mansardes , dans la clef d'une plate-bande en pierres taillées , dans les assemblages en queue d'aronde , etc.

Tracer un trapèze symétrique dont on connaît la grande base B , la hauteur II et la longueur L des côtés concourons (P. II, F. 59).

Tirez une droite et portez-y la base B de C en D ; élevez une perpendiculaire au milieu de CD , ou en tout autre point ( 45 ) ; prenez EF=H ; menez par F une parallèle à CD ; puis décrivez des points C, D , avez L pour rayon , deux arcs qui coupent cette parallèle chacun en deux points, et joignez aux extrémités de la base CD, les intersections A , B , les plus voisines de F j vous aurez le trapèze symétrique ABCD. (

Si au lieu de la longueur des côtés concourans , on connaissait la petite base , il faudrait en chercher la moitié (62), puis porter cette moitié sur AD, à droite et à gauche de F.

Si au lieu de la grande base , c’était la petite qui fut donnée, avec la longueur L et la hauteur H, vous devriez joindre aux points C , D , les intersections G , II les plus éloignées de F. Le résultat serait alors le trapèze CDHG.

Ces divers cas vous montrent qu’il faut trois choses pour déterminer un trapèze symétrique , c’est-à-dire , pour construire une face de cette forme , dans laquelle il n’entre rien d’arbitraire.

Parallélogramme.

114. Un quadrilatère ABCD ( P. II, F. 40) dont les côtés opposés sont parallèles, est nommé parallélogramme. La hauteur de cette figure est la distance de deux côtés opposés -, la base est alors l’un de ces côtés. .

Les côtés parallèles d’un parallélogramme ont même longueur: AB=zCD, AD=BC (66).

Les diagonales AC , BD sont inégales , car cl! os appartiennent à deux triangles ABC, BCl), tels que les deux autres côtés de l’un égalent les deux autres côtés de l’autre, et la première AC est opposée à un angle aigu B , tandis que la seconde BD est opposée à un angle obtus C.

Enfin , les diagonales d’un parallélogramme se coupent par le milieu. Effectivement , AD— BC , les angles DAE et BCE, ADE et CBE sont égaux comme altemcs-inteincs, et par conséquent , le triangle AED = le triangle BCE ; d’où il suit que AE opposé à l’angle D , et CE côté corrcs-

S ondant , sont de même longueur , qu’il en est de même c DE, BE, et que l’intersection E des deux diagonales se trouve au milieu de chacune.

Tracer un parallélogramme dont la hauteur H et les côtés B } B' sont donnés (P. II , F. 40).

Tirez une droite et portez-y le côté B , de D en C ; élevez une perpendiculaire en un point quelconque de CD (58) ; portez H de F en G ; menez par le point G, une parallèle à CD ; puis décrivez des points C, D, avec B' pour rayon, deux arcs qui coupent la parallèle en deux points chacun , et joignez à C , D , les intersections A , B situées à droite des centres ou les intersections H , I situées à gauche. Vous aurez le parallélogramme ABCD ou le parallélogramme CDIH qui remplira les conditions.

Tracer un parallélogramme dont on connaît un angle A et les deux côtés B . C qui forment cet angle ( P. H, F. 41).

Faites un angle E égal à l’angle donné A ( 27 ) ; portez la longueur B , sur l’un des côtés de cet angle , de E en F, et la longueur C sur l’autre côté , de E en G ; décrivez un arc , de F, avec G pour rayon , et de G , avec B , un second arc qui coupe le premier en H ; joignez enfin ce point H à 1 H ’ et à G. La figure EFHG sera uu parallélogramme , et de plus elle sera le seul qu’on puisse taire avec les données du problème.

Vous voyez, par ces deux exemples, que la détermination d’un parallélogramme exige trois choses.

Losange.

1 15. Un parallélogramme ABCD (P. Il , F. 42 ) dont les quatre côtés sont égaux et obliques les uns sur les autres , s’appelle losange.

Les diagonales inégales d’un losange se coupent par le milieu et et équerre. Elles sc coupent par le milieu, comme diagonales d’un parallélogramme (114), et conséquemment AE— EC. Les deux triangles ÀEB , CEB sont doue égaux (106). Par suite , l’angle AEB=rBEC, et ces deux angles sont droits (50 ).

Tracer un losange dont on connaît le côté L et une diagonale M.

Tirez une droite et portez-y la diagonale M, de A en C; puis, des points À , C, avecL pour rayon, décrivez deux arcs qui se coupent en deux points B , 1) * et tirez les quatre rayons déterminés par ces intersections. Vous aurez le losange ABCD qui satisfera aux conditions. Ainsi, deux choses suffisent pour particulariser un losange : ces deux choses pourraient être encore les diagonales ou un angle et un côté,

Rectangle.

116. Un parallélogramme ACDE (P. II, F. 45) dont les angles sont droits et les côtés voisins inégaux , se nomme rectangle ; de deux côtés d’équerre CD , CA , l’un est la hase et l’autre la hauteur du rectangle ; les diagonales sont égales et se coupent obliquement par le milieu.

L’égalité des diagonales AD, CE résulte de celle des triangles rectangles ÀCD , CDE ; ces triangles sont égaux, parce que AC=DE et que le côté CD leur est commun (106).

L’obliquité des mômes diagonales l’une sur l’autre , provient de l’inégalité des côtés d’équerre AC , CD ; car si AC est moindre que CD, par exemple, les angles ADC , ECD ont une indication commune au-dessous de 45° (105), et conséquemment l’angle CFD surpasse 90» (98)/

Tracer un rectangle dont on connaît la base B et la hauteur II.

Tirez une droite et portez-y la base B , de C en D ; élevez au point C ou au point D , une perpendiculaire (38), et prenez DE=H ; menez par E une parallèle à CD et par C une parallèle à DE , ou bien décrivez uu arc , de E , avec B pour rayon , et de C , avec H , un autre arc qui coupe le premier. L’intersection A des parallèles ou des arcs achèvera le rectangle ACDE.

Deux choses suffisent doue pour déterminer un rectangle : on pourrait donner aussi une diagonale avec la

82 QCUDJH1.ATÉMS. ..*■

base ou la hauteur, et dans ce tas, vous trouveriez la

hauteur ou la base par le second procède du n° 405.

Carré.

447. Un parallélogramme dont les angles sont droits et les quatre côtés égaui , se nomme carré : ce polygone est le quadrilatère régulier. La figure ABCD (P. II, F. 44) présente un carré ; sa base CD et sa hauteur AD ont. même longueur ; les diagonales sont égales et se coupent d'équerre par le milieu.

Les diagonales sont égales , parce que le carré est un cas particulier du rectangle (446), et elles se coupent d’équerre, parce que le carré est un cas particulier du losange (415).

Tracer un carré dont le côté L est connu.

Opérez comme pour faire un rectangle dont la base et la hauteur seraient égales à L (416) ; ou bien , tracez deux droites AC, BD, qui se coupent à angles droits ^43); décrivez de leur intersection E , avec un rayon quelconque , un arc qui les rencontre aux points F, G ; portez L sur la droite FG, de F en H ; menez par H une parallèle à BD , jusqu'à AC ; menez par A une parallèle à FH , jusqu’à BD. Vous aurez AB=FH=L (66), et il vous restera à porter EA , de E en C et en D. La figure ABCD , ainsi tracée , sera un carré , car EA=EB , comme EG—EF (67).

Trader un cercle autour dun obstacle qui empêche de marquer le centre ou de faire circuler un cordeau.

Construisez autour de l’obstade , un carré ABCD dont le côté égale le diamètre du cercle à tracer (P. II, F. 45) ; divisez chaque côté en douze parties égales (65) ; numérotez celles de AB , CD , en allant des extrémités au milieu , et celles de AD > BC , en allant du milieu aux extrémités ; joignez ensuite chaque point de division d’un demi-côté , à celui qui porte le mémo numéro sur la première moitié du côté suivant ; par exemple , le point 6 qui avoisine A sur AD , au point 6 de AB ; le point 5 de Al , moitié de AD , au point 5 de A6 , première moitié du côté suivant AB , etc. L’intersection des droites 4.1 et 2.2, celle de 2.2 et de 3.3 , celle de 3.3 et de 4.4, etc. , seront des points d’une courbe très-peu différente d’un cercle qui aurait son centre à l’intersection des diagonales du carré et toucherait les quatre côtés à leurs points milieux 4 , 1,6,6. Pour tracer cette courbe , il vous suffira d’en joindre les dilïcrens points , par des arcs faits à la main ;

ou bien Vtfus planterez des piquets près d« ces points , les uns en dedans de quelque peu , les autres de quelque peu en dehors ; vous engagerez de champ une règle ployante entre les piquets , et enfin vous ferez glisser le long de la règle une pointe à tracer.

Planter des arbres en quinconce.

Tracez deux droites d’équerre AB, AD (P. Il, F. Ôfi); portez sur l’une et sur l'autre , autant de fois l’intervalle de deux arbres , que vous voulez d’allées dans les deux sens perpendicidaires ; achevez le rectangle ou le carré ABCD ; portez le même intervalle sur les côtés BC , CD , autant de fois que les deux autres côtés le contiennent; puis joignez les points de division opposés; vous aurez des parallèles qui se couperont d’équerre et formeront des carrés. C’est aux intersections de toutes ces droites, sommets des carrés , que doivent être plantés les arbres : ils seront disposés en quinconce , c’est-à-dire qu’ils formeront des allées dans tous les sens.

Comparaison des quadrilatères.

118. Deux quadrilatères quelconques ABCD , ATVG'D' sont égaux ( P. II , F. WJ ) , si la diagonale AC de l’un le partage en deux triangles ABC , ACD égaux aux triangles A'B'C' , A'C'D' , que la diagonale A'C' forme dans l’autre. Or , le triangle ABC— A'B'C' , quand les côtés du premier égalent les côtés du second ; le triangle ACD=A'C'D' dans la même circonstance £1 06). Nous pouvons donc dire , en principe, que deux quadrilatères quelconques sont égaux lorsque les côtés et une. diagonale de Fun égalent les côtés de même rang et la diagonale correspondante de Fautre. Ainsi , quand vous aurez reconnu que AB — A'B' , BC= B'C' , CD=C'D' , D A=D'A' et que AC— A'C', vous pourrez affirmer que la face ABCD=A'B'CD'.

Construire un quadrilatère qui soit égal à un quadrilatère donné ABCD.

Il suffît de tirer la diagonale AC et de construire sur une droite A'C —AC , deux triangles A'B'C' , A'C'D' qui soient égaux aux triangles ABC, ACD (99 , 100 , 101).

119. Deux trapèzes quelconques sont égaux, lorsque les côtés de Fun égalent les côtés correspondons de fautre. Ainsi , pour celte sorte de quadrilatères , il n’est

Î >as nécessaire de reconnaître si l’une des diagonales a même ongueur dans les deux figures. Cela provient de ce qu’en