L’égalité des rectangles a lieu dans les mêmes

’cOMT.HtAtSOS DES QUADRILATÈRES. 85

circonstances que celle des trapèzes ; mais comme les côtés opposés d’un rectangle sont égaux , ou peut dire aussi qu’j'/ y a égalité entre deux rectangles , quand elle existe entre leurs bases et entre leurs hauteurs. Du reste , il en est des rectaugles qui ont seulement des bases égales ou seulement des hauteurs égales , comme des parallélogrammes quelconques , dans les mêmes cas , puisque le rectangle a tous les caractères du parallélogramme (1 16).

Deux carrés sont égaux dans les mêmes circonstances que les rectangles ; mais comme la base et la hauteur d’un carré sont égales , on peut dire aussi que deux carrés sont égaux , si le côté de l'un égale celui de l’autre.

Partager un rectangle ou un carré en un certain nombre de portions égalt s.

Il suffit de diviser deux côtés opposés en autant de parties égales , qu’on veut de portions , et de joindre les points de division correspondans ; car vous formez ainsi de petits rectangles , en nombre égal à celui des portions ; ils ont la même longueur pour base , un des côtés delà grande ligure pour hauteur , et par conséquent même superficie.

Mesurage des quadrilatères et des triangles.

122. L’unité de mesure des superficies est la superficie d’un carré qui a pour côté l'unité de mesure des longueurs. Si ce côté est un pouce , l’unité de superficie est dite pouce carré , ce qui signifie carré d'un pouce de côté ; si le côté est d’un pied , on a le pied carré ; s'il est d’une toise , d’une lieue , etc., il donne la toise carrée, la lieue carrée , etc.

L’ancienne perche carrée présentait un carré dont le côté était la perche linéaire ou des longueurs , qui avait 22 pieds. Un carré dont le côté contenait 10 perches linéaires ou 220 pieds , formait l’arpent des Eaux-ct-forêts.

On employait aussi autrefois des rectangles , pour unités des superficies-: la toise-ligne était un rectangle qui avait une toise de base sur une ligne de hauteur ; la toise-pouce était un rectangle qui avait une toise sur un pouce ; la toise- piedèuât un rectangle qui avait une toise slir un pied.

Le carré qui sert «à mesurer les '-superficies , selon le système métrique ou décimal , se nomme millimètre carré , si le côté est un millimètre ; centimètre carré , si le côté est un centimètre ; décimètre carré , si le côté est un décimètre ; mètre carré ou centiare , si le côté est un

86 MESCRAGE - M - * '

mètre ; décamètre carré oü are ou perche métrique ; si le côté a 10 mètres : hectomètre carré ou hectare ou arpent métrique , si le côté a 100 mètres ; kilomètre carré ou myriare , si le côté a 1 000 mètres , enfin myriamètrc carré, si le côté a 10000 mètres.

Ou emploie aussi des rectangles métriques , pour unités de superficie ; les uns ont un mètre pour base et un millimètre ou un centimètre ou un décimètre pour hauteur; les autres ont un décamètre pour base , et un mètre ou un décimètre pour hauteur.

123. Quelle que soit l’unité de superficie, un rectangle la contient autant de fois que l’exprime le produit de la base , mesurée avec la base de cette unité , multipliée par la hauteur , mesurée avec la hauteur de la même unité ; en d’autres termes, la superficie d'un rectangle égale le produit de la base par la hauteur. Ce principe a pour formule R=BXH.

Supposons d’abord que l’unité de superficie soit un carré, et prenons pour exemple le rectangle ABCD (P. Il, F. 46). Si le côté du carré est contenu 6 fois dans la base CD ,

. nous obtiendrons 6 bandes rectangulaires , en traçant des

parallèles à CB , par les points de division ; et si ie même côté est contenu 8 fois dans la hauteur AD , nous divi— • serons chacune des 6 bandes en 8 carrés égaux , au moyen ' de parallèles à AB , menées par les points de division de AD. Or, il est clair que pour avoir le nombre total 48 des carrés du rectangle , il suffit de répéter le nombre des carrés d’une bande , autant de fois qu’d y a de bandes , et cela revient à multiplier 8 , longueur de la hauteur AD mesurée avec le côté du carré , par 6 , longueur de la base CD mesurée avec le même côté.

Si donc vous voulez mesurer en mètres carrés la superficie d’un rectanclc tel que ABCD , vous mesurerez sa base et sa hauteur avec le mètre linéaire , et vous ferez le produit des deux longueurs trouvées.. Si vous voulez obtenir la même superficie en toises carrées , vous mesurerez la base et la hauteur avec la toise linéaire , et vous ferez aussi le produit des deux longueurs trouvées.

Supposons maintenant que l’unité de superficie soit un rectangle dont la base ait une longueur b et la hauteur une longueur h (P. II, F. 48). Supposons encore que la base AB du rectangle ABCD à mesurer , contienne 3 fois b , et que la hauteur AD «aptienne 4 foU h. Des parallèles à ÀD menées par les points de division de AB, donneront 3 ban-

Digitiz

DM QUADRILATÈRES et des TRIAlfGLES. 87

dus rectangulaires qui auront chacune b pour base et AD

S our hauteur ; des parallèles à AB menées par les points e division de AD , partageront chacune de ces bandes en 4 petits rectangles qui auront chacun b pour base et h pour hauteur. Or, pour connaître le nombre total 12 de ces petits rectangles , il suffit de répéter le nombre de ceux d’une bande , autant de fois qu’il y a de bandes , et cela revient à multiplier 4 , longueur de la hauteur AD mesurée avec h , par 3 , longueur de la base AB mesurée avec b.

Si donc il s’agissait de mesurer en toise-pieds la superficie d’un rectangle tel que ABCD, vous mesureriez sa base AB avec la toise et sa hauteur AD avec le pied : le produit des deux longueurs trouvées vous donnerait le nombre de toise-pieds demandé. S’il fallait obtenir la même superficie en rectangles d’un mètre de base , sur un décimètre de hauteur , vous mesureriez AB en mètres et AD en décimètres ; le produit serait le nombre des petits rectangles contenus dans le grand.

• 424. Ce qui vient d’être dit du mesurage d’un rectangle,

s’applique aussi à celui d’un carré , puisque le carré n’est qu’un cas particulier du rectangle. 11 s’ensuit que la toise carrée contient 36 pieds carrés, car les deux côtés de la toise carrée contiennent chacun 6 pieds linéaires , et 6X6=36. Pour une raison analogue, le pied carré vaut 1 h 4 pouces carrés, le pouce carré vaut 144 lignes carrées , la perche carrée vaut 484 pieds carrés , l'arpent vaut 100 perches carrées (122).

Vous voyez aussi que le myriamètre carré contient 100 kilomètres carrés ou myriares , puisque le myriamètre linéaire vaut 10 kilomètres linéaires. Pour la même raison, le myriare vaut 100 hectares , l’hectare vaut 100 arcs, l’are vaut. 100 centiares ou mètres carrés, le mètre carré vaut 400 décimètres carrés, ledécimètre carré vaut 100 centimètres carrés, et le cent imètre carré vaut 1 00 millimètres carrés.

Le principe du n° 123 montre encore que la toise carrée renferme 6 toise-pieds , que la toise-pied équivaut à 12 toise-pouces ou à 6 pieds carrés , et que la toise-pouce fait 12 toise-lignes ou 72 pouces carrés.

Quant aux rectangles métriques , chacun est le dixième de celui qui a une hauteur décuple de la sienne ; le rectangle d’un mètre de base et d’un millimètre de hauteur , par exemple , est le dixième du rectangle d’un mètre de base et d'un centimètre de hauteur. 11 s'ensuit que le mètre

88 MESURAGE

carré vaut 10 mètre-décimètrês. Il est visible d'ailleurs que le mètre-décimètre contient 10 décimètres carrés, que le mètre-centimètre contient 100 centimètres carrés, etc.

125. Mesurer un rectangle en mètres carrés et parties rectangulaires ou décimales du mètre carré.

Mesurez sa base et sa hauteur en mètres et parties du mètre. La première contiendra , par exemple , 5 m ,455 et la seconde 2 U, ,52. Vous multiplierez ces deux nombres l’uu par l’autre ; le produit 8 mm ,0156 indiquera que la superficie du rectangle vaut 8 mètres carrés et 136 dix-millièmes de mètre carré , ou 8. mètres carrés , 1 mètre-centimètre , 5 mètre-millimètres et 6 dixièmes de mètre millimètre (124).

Remarquez que les mètres carrés se désignent par deux m .

126. Mesurer un rcctancle en mètres carrés et parties carrées.

Mesurez la base et la hauteur en mètres et parties du mètre. Si , comme dans le cas précédent , la première contient 3 m ,455, et la seconde 2 U1 ,52, vous multiplierez aussi ces deux nombres l’un par l’autre. Le produit 8 inm ,0156 indiquera que la superficie du rectangle renferme 8 mètres carrés, un décimètre carré, et 36 centimètres carrés (124).

Cela vous montre que le second mesurage se fait absolument comme le premier; seulement, pour obtenir les parties carrées ou centésimales du mètre carré , il faut partager en groupes de deux chiffres , à partir de la virgule, les décimales qui accompagnent le nombre de mètres carrés. Si le dernier groupe à droite n’avait qu’un chiffre, vous le compléteriez eu écrivant un zéro à la suite de ce chiffre.