LEVRE DES PLANS

Si tous opérez de la même manière entre h et g- (P. IV, F. 8. ), entre g et f entre f et d, etc. , vous trouverez les hauteurs relatives de tous ces points. Puis, pour avoir, par rapport à b t la cote verticale bb' de g ( P. III , F. 7 ) ,

S oint plus élevé que h , vous ajouterez à la cote bb" e h f la quantité hh' dont g est au-dessus de ce point; pour avoir la cote verticale bb "' de f, point moins élevé que g , vous retrancherez de la cote bb' de g , la quantité JJ' dont Je st au-dessous de ce point; etc.

Toute cote verticale indique donc de combien son point est élevé au-dessus du point b le plus bas de tous les points du plan, et il suffit évidemment de retrancher une cote verticale d’une autre , pour savoir de combien le point de la l re cote est moins élevé que celui de la 2 e .

Chercher ainsi les cotes verticales de plusieurs points, par rapport à un autre , choisi pour point de comparaison i c’est faire un nivellement.

Les cotes verticales s’inscrivent , sur le croquis , à côté des points auxquelles elles appartiennent, et entre parenthèses; sur le plan au net, on les écrit de la même manière , à l’encre rouge.

Il sérait possible qu’on rencontrât un point d qui fut au-dessous du précédent f(P. IV, F-. 8) d’une quantité plus grande que la cote de ce dernier ; qu’il y eût, par exemple, 0 ln de différence entre,/’ et d, tandis que la cote de f serait 4 m . Dans ce cas , on retrancherait la cote k m de la différence d’élévation 6 m ; le résultat 2 ra serait la quantité dont d se trouverait an-dessous de b ou dont b se trouverait au-dessus de d. Ce serait d qui deviendrait le point de comparaison : 2 m serait la cote de b , et toutes les cotes verticales déjà trouvées devraient être augmentées de 2 m .

Il est possible aussi r u’entre deux points <7, c , on ne puisse pas placer le niveau dans une station d’où d et c soient visibles. H faut alors comparer d à un point quelconque G ou E , puis comparer G ou E à c. Un point qu on prend ainsi pour intermédiaire , sans avoir besoin de sa cote , est dit point de repère.

Il est possible enfin que de deux points comparés , l’un A (P. III, F 1 . 8) soit au-dessous de l’horizontale et l’autre B au-dessus. On doit alors , au lieu de retrancher , ajouter les distances AA' , BB' des points à l’horizontale A'B' , pour avoir la différence d’élévation BB". Si les deux points se trouvaient à la fois au-dessus de l’horizontale.

108 MHS! RAGE DES POLYGONES

il faudrait retrancher , commet- dans le cas où ils sont tous deux au-dessous.

Mesurage des polygones.

loi. Nous pourrions, à la rigueur, renvoyer pour le mesurage des polygones, à celui des triangles, puisqu’un polygone quelconque peut toujours se décomposer en triangles. Il est clair qu'en mesurant ces triangles et faisant la somme de toutes leurs superficies, on aurait celle du polygone. Mais il est des cas où uu mesurage plus expéditif peut être employé , et il en est d’autres ou la décomposition est impossible.

Mesurer un polygone régulier quelconque.

Cherchez le ceutre , par des perpendiculaires aux milieux de deux côtés (65) ; mesurez une de eps perpendiculaires , du centre A en E (P. II, F- 56) ; mesure* aussi un côté BF ; calculez la superficie du triangle BAF dont vous connaissez la base et la hauteur (157), et multipliez; cette superficie par le nombre des côtés du polygone régulier ; vous aurez pour produit celle de tout ce polygone , puisqu'il renferme autant de triangles égaux à B AF qu’il a de côtés.

Soient P la superficie du polygone régulier , C le côté, R le rayon AE de la circonférence inscrite , et N lo ' C\'JlVN

nombre des côtés ; on a pour formule *

S’il s'agit d’un hexagone régulier, que AE— o™, 29, et que BF =0"*, 34, la formule donne P— ■— o““,2958.

Mais au lieu de procéder ainsi , vous pouvez bien multiplier le côté BF par 6 , ce qui donne la somme de* côtés ou le coutour du polygone , puis multiplier le produit par la longueur de AE et diviser le résultat par 2 ; ce calcul fait trouver comme l’autre, 0 U1U1 ,2958 pour su* perficie. Ou peut donc dire que la superficie d’un poly~> gone régulier égale la moitié du produit de son contour multiplié par la perpendiculaire AE abaissée du centre sur un côté.

155, Le cercle pouvant être considéré comme un polygone régulier (152), doit avoir le même mesurage que cette sorte de figure. Or, lorsque le polygone se confond avec le cercle dans lequel il est inscrit ou auquel il CSt circonscrit , le contour est la circonférence , et la

HESTTRA6E DES POLYCONES. ioo

perpendiculaire au côté est le rayon du ceÆle. Par conséquent , la superficie d’un cercle égale la moitié du produit de la circonférence multipliée par le rayon.

Si le rayon est de 5 m , le diamètre sera 5 m X2 , la circonférence vaudra 5 m X2X3, 141(5 d’après le n u 19, et la

superfiae égalera — ~ — — — . Mais , remarquez que

le chiffre 2 multipliant et divisant , peut être supprimé, et qu’alors on a , pour la superficie du cercle , 5 m X 3,-1416XS m . Remarquez encore que multiplier le rayon 5 ,n par 5,141G et le produit par S®, revient à faire le quarré de ce rayon 5" et à le multiplier par 3, 1416. Nous pouvons donc dire enfin que la superficie d’un cercle est égaie au quarré numérique du rayon multiplié par le nombre 3,1416. La formule abrégée de ce principe, est S.C= RXRX3,1416 , si S.C représente la superficie du cercle.

Pour un cercle dont le rayon serait de 3 m , on aurait , par la formule , S.C=9 inm X3,l416— 28 m,n ,2744. Ce résultat n’est pas exact ; il se trouve un peu trop grand; mais le produit 9® al X3,1415=28 mm ,2753 serait trop petit ; de sorte que la véritable superficie d’un cercle de 5 ra de rayon, est comprise entre 28 imn , 2735 et 28 mm , 2744. Au reste , elle diffère beaucoup moins du dernier dé ces nombres que du premier, et en la supposant égale à 28 mm , 2744, on ne fait pas une erreur d’un centimètre carré.

Il n’est pas rare de rencontrer des hommes qui cherchent les moyens d’obtenir exactement la superficie d’un cercle ; chaque année même , plusieurs prétendent avoir trouvé ces moyens. Mais , malgré leurs efforts et ce qu’ils appellent leurs succès, le problème est encore à résoudre. N’essayez pas d’être plus heureux ; vous perdriez votre temps et vos peines ; car en supposant qu on put trouver la quadratw e du cercle , c’est-à-dire la mesure exacte de la superficie , ce qui est bien loin d’être certain , la découverte serait fort peu utile, puisque nous possédons le moyen d’approcher de la vraie valeur de cette superficie , autant que nous pouvons le désirer.

Vous avez déjà vu effectivement qu’en multipliant le

a uarré 9 du rayon par’ 3,1416, vous ne faites pas erreur ’un centimètre carré ; hé bien ! si vous preniez pour multiplicateur le nombre 3,141 395, vous n’auriez pas 4 millimètres carrés de trop , et si vous multipliiez le quarré du rayon par 3, 141 392 633 59 vous ne vous tromperiez pas do 30 trifiiouièincs de mètre carré. Le résultat n’équivaudrait-

110 MESl'RACfi DES POLYGONES.

il pas à la vérité ? Pouvons-nous mesurer un rectangle plus exactement, aussi exactement même? non, sans Joute: l’imperfection de nos instrumens et de nos sens s’j oppose et s y opposera toujours. Laissons donc la quadrature du cercle parmi ces puérilités dont ne doit jamais s’occuper l’homme qui connaît le prix du temps.

156. Mesurer un secteur de cercle, c’est-à-dire une partie comprise entre deux rayons AB, AC et l’arc BC qui les sépare (P. II, F. 56).

Calculez la superficie du cercle entier et divisez le résultat par le nombre de fois que l’arc BC est contenu dans la circonférence (20). Si l’arc est indiqué en degrés, vous trouverez ce nombre de fois , en divisant 360° par les degrés donnés.

Dans le cas où l’on connaîtrait la longueur de l’arc BC , il suffirait de multiplier cette longueur par celle du rayon , et de prendre la moitié du produit, puisque c’est ainsi qu’on agit pour le cercle entier (155).

157. Mesurer un segment de cercle , c’est-à-dire une partie comprise entre un arc BC et sa corde ( P. II, F. 56).

Mesurez le secteur BAC.de même arc, et retranchez de sa superficie , celle du triangle BAC formé par la corde et les deux rayons. Le reste sera évidemment la superficie du segment.

158. Arpenter un terrain à limites droites et courbes , dans lequel on peut opérer.

Faites àvueun croquis ABCDEFGHIKLM (P. DI, F. 9) qui représente grossièrement le polygone formé par le terrain , et si vous êtes dépourvu d’équerre d’arpenteur , tracez sur ce croquis les diagonales MB , BL , LC , CK , KD , DI , IE , EH ; tracez aussi , tant sur le terrain que sur le papier , les alignemens E1V , ISO , OP , PF , de manière que chacun coupant la limite sinueuse EF, augmente d’un côté la superficie , à-peu-près autant qu’il la diminue de l’autre ; tracez enfin sur le croquis les diagonales HN‘, NG , GO, OF. Cela fait , vous mesurerez les trois côtés de chaque triangle en décimètres , par exemple ; vous inscrirez les longueurs sur les droites correspondantes du croquis ; vous calculerez les superficies de tous ces triangles , par le moyen du n° 138 ; vous ferez la somme des résultats , et vous modifierez cette somme conformément à ce qu’enseigne le n° 127 , pour qu’elle exprime des hectares.

HESÜIUGK DES POLYGONES.

Si tous avez une équerre d’arpenteur , prenez pour base d'opération , la plus grande diagonale AF du polygone (F. 10) ; figurez sur le croquis, cette diagonale et des perpendiculaires abaissées de tous les sommets sur AF. Plantez un jalon au point B du terrain et cherchez le pied b de la perpendiculaire B6 (k2) ; mesurez la hauteur A b et la base B& du triangle rectangle A/>B; inscrivez ces distances le long des droites correspondantes du croquis, en observant de placer la cote de A b au-dessus de celte ligne.

Maintenant, il faut remplacer l’équerre par un jalon mis en b, porter en C le jalon B, chercher le pied c de la perpendiculaire Ce, mesurer bc, cC, et inscrire ces longueurs sur le croquis, observant de placer au-dessus de bc, la cote de cette hauteur du trapèze BbcC.

Le jalon b doit alors être mis en c et le jalon C en D, afin que vous puissiez marquer le pied de la perpendiculaire Dr? et mesurer cd, dï). Vous inscrirez ces longueurs comme les précédentes, fet vous agirez de même au point e.

Ensuite, vous mesurerez eF, vous diviserez son nombre de décimètres en parties égales, assez petites pour que quelques-unes des parties correspondantes de la sinuosité EF,

( missent être regardées , sans grande erreur , comme des ignés droites. Supposons que vous partagiez eF en 5 parties de 525 centimètres chacune. Vous porterez une de ces parties de e en n, sur le terrain, et vous mesurerez la longueur de la perpendiculaire nN , que vous élèverez sur AF. Vous porterez la longueur ère, de n en o, et vous marquerez sur la perpendiculaire oO , un point O tel que l’alignement ON augmente d’un côté la superficie, à-peu-près autant qu’il la diminue de l’autre ; puis vous mesurerez oO. Vous porterez no de o en p ; vous mar-.

Î uerez par un jalon , sur la perpendiculaire pY , un point ', comme vous avez marqué le point O , et vous mesurerez pY. Enfin , vous porterez op de p en q • vous marquerez Q comme P et O , puis vous mesurerez qQ' et qQ.

Retournant maintenant de F vers A, vous devrez opérer pour la partie FGHIKLMA du polygone , comme vous avez opéré pour la partie située au-dessus de la base AF. Ainsi, vous mesurerez Vg et la perpendiculaire g G, puis successivement gh, //H, hi , il, ik, AK, Ail, US, IL, SA et mM. Vous connaîtrez alors toutes les longueurs qui doivent servir au mesurage du polygone ou des triangles et des trapèzes dont il se compose. Ayant calculé les super-

m wescrage pes polygones <

ficies de toutes ces figures, vous devrez eu faire la somme', toutefois sans y comprendre la superficie du triangle RLS, qui ne fait pomt partie de celle du terrain à arpenter ; ce triangle doit être au contraire retranché de la somme de» autres figures, attendu qu’on l’a compris dans le trapèze BbcC.

Il n’est pas nécessaire de faire plusieurs multiplications, pour calculer la superficie de la partie elïQtj • une seule suffit. Remarquez en effet que cette partie du terrain égale eENn-{-nI\Oo-f-oOP/>-|-pPQ<jr , que chacun de ces trapèzes vaut la demi-somme de ses bases multipliée par la hauteur en commune à tous (159), et qu’au lieu de calculer chaque Irapèze séparément, on peut fort bien additionner les demi-sommes de bases et multiplier le total par la hauteur commune en. Or, ce total se composera évidemment de

-f î/’PH' (J/’IH ïÿQ) > ce q n ‘ revient à JcÈ+rdV+oO -j-pP-HÿQ' ï* ar conséquent , vous obtiendrez la superficie de la figure cE Qq , en additionnant les longueur» * eE, nN, oO , pP, {f]Q et multipliant leur somme par en une des parties égales de eF. De là ce principe: Pour mesurer T ensemble d’une suite de trapèzes qui ont tous même hauteur et deux à deux une base commune } il faut faire la somme des bases communes , y ajouter les moitiés des bases extrêmes f et multiplier le total par la hauteur d’un trapèze.

159. Arpenter un terrain limité par une tourbe , dans lequel on peut opérer.

Après avoir tiré AB , une des plus grande» cordes de la courbe (P. ül, F. 11), vous la diviserez en parties égales et assez petites pour que les parties correspondantes de la limite puissent être regardées, sans grande erreur, comme des lignes droites. Vous mesurerez ensuite les cordes tracées perpendiculairement à AB, par tous les point» de division. La superficie comprise entre les deux parallèles extrêmes CI), EF pourra être mesurée au moyen du principe précédent, et il n’y anra plus qu’à y ajouter les deux triangles ACD, BEF, pour avoir la totalité du terrain. Or ACD égale le produit de la moitié de CD

Î iar AG ; BEF égale le produit de la moitié de EF par il! ; les hauteurs AG , BH de ces triangles sont aussi les hauteurs des trapèzes intermédiaires , et les produits des moitiés de CD , EF par la hauteur commune , en-

trcnt déjà dans le calcul de la superficie CDFE. Par conséquent, vous aurez à fort peu prés la superficie totale ACEBFDA, en multipliant la somme de toutes les cordes parallèles par l'écartement de deux cordes voisines.

Il s’ensuit ce principe : Lorsque dans une. suite de trapèzes terminée par deux triangles , les figures ont toutes même hauteur et deux à deux une base commune , on obtient la superficie totale en multipliant la somme des bases par une seule hauteur.

Si le terrain finissait d’un côté par un trapèze et de l’autre par un triangle, il est clair que dans la somme des bases devrait entrer entièrement la base du triangle et seulement la moitié de l’autre parallèle extrême.

Au lieu de former deux pointes , comme dans la figure 1 i , le terrain peut être arrondi aux deux bout.>>, comme dans la figure 12. Il faudrait alors partager AB en parties forts petites , pour que tous les arcs de la courbe pussent être regardés , sans grande erreur, connue dus droites. Afin d'abréger le mesurage, vous tracerez, dans ce cas, deux perpendiculaires FH , IK qui retranchent les parties les plus arrondies des bouts ; vous diviserez leur écartement CD en parties égales , d’une grandeur convenable, pour tracer d'autres perpendiculaires, comme précédemment, et vous formerez à vue k petits triangles, tels que EFG, qui soient sensiblement équivalens aux parties retranchées telles que ACG. La superficie FENIKOPHF calculée selon la règle du n° 158 , différera peu de celle du terrain limité par la courbe AENBOPA.

Il convient de vous, faire observer , eu terminant cet article , qu’on peut éviter le partage en parties égales de e¥ (P. III, F. 10), de AB (F, 11), de CD (F. 12.') Pour cela, on porte à partir de C, par exemple (F. 12), une longueur arbitraire CL un certain nombre de fois, h je suppose, ce qui fait arriver au point M. On opère ensuite comme il a été dit, pour la partie de la figure comprise entre les parallèles FH , NO , puis on mesure à part les trapèzes ou les triangles des extrémités dont les hauteurs MD, AC sont moindres que CL , et ces superficies sont ajoutées à celle qui est déjà calculée.

160. Arpenter un terrain quelconque dans lequel on ne peut, opérer, un bois, une vigne, un étang, par exemple.

Pour faire ce mesurage sans équerre d’arpenteur , il faut prolonger trois côtés du polygone , de manière à

ilüf HESUBAGK DES POLYGONES.

former un triangle ABC qui embrasse tout le terrain (P. EDI,

F. 15). Ce triangle doit n’avoir aucun de scs sommets sur ceux de la figure donnée , afin que ses côtés étant moins longs, soient plus faciles à mesurer. Appliquant le calcul du n° 158, on détermine la superficie de ABC, et celles des petits triangles A DE, BFG, CHI; puis, après avoir fait la somme de ces trois dernières, on la retranche de ABC. De reste est évidemment la superficie du terrain DEFGHI.

Avez-vous une équerre d’arpenteur ? marquez par des jalons, les pieds A, B (F. 14) des perpendiculaires à un côté DI , qui passent par deux sommets E , H ; marquez aussi le pied C de la perpendiculaire abaissée de G sur l’alignement BH (42) ; plantez enfin un 4 e jalon à la rencontre K des alignemens AE , CG. Vous aurez alors un rectangle ABCK qui renfermera le polygone donné et dont vous calculerez aisément la superficie (127). La moitié du produit ADXAE vous donnera celle du triangle DAE ; la moitié du produit BIXHH sera celle de IBII ; la moitié du produit CHXCGsera celle de HCG. Abaissant laper- *

i iendiculairc FL, vous formerez un 4 e triangle extérieur fLG et un trapèze EK-LF que vous mesurerez aisément aussi ; faisant enfin la somme des 4 triangles extérieurs ' et du trapèze, puis retranchant cette somme de la superficie du rectangle , vous obtiendrez évidemment pour * reste celle du terrain DEFGHI.