Partager un terrain en plusieurs portions équivalentes

Soit , par exemple , le. polygone quelconque ABCDE à partager en U quadrilatères équivalens (P. XII, F. 15). Vous mesurerez d abord ce polygone. Supposons que vous trouviez 667 mm ,87. Chaque quadrilatère devra contenir le quart de ce nombre de mètres carrés, ou 166 IUW ,97. Divisez cette superficie par la longueur 29 m ,50 de AF perpendiculaire sur CB; le quotient 7 m ,Û2 sera la base d’un triangle égal à la moitié de 166"", 97, car cette base multipliée par AF donnerait i66 m ™,97 dont il faudrait prendre la moitiépour avoir la superficie du triangle (137). Portez donc 7 U1 ,42 de B en G ; le triangle BAG sera la moitié d’un des quadrilatères cherchés. Pour trouver l’autre moitié , vous diviserez 166 miu ,97 par 25", longueur de GH perpendiculaire sur AE ; vous porterez le quotient 6”, 68 de A en I, et vous tirerez GI. Le triangle AGI dont la superficie sera la moitié de 25™X6",68, vaudra la moitié de 166“, 97, et par conséquent, le quadrilatère ABGI sera le premier quart du polygone.

Si maintenant vous portez AI de I en K , le triangle IGK qui aura aussi GH pour hauteur, vaudra AGI ou la moitié de 166““, 97. Pour déterminer un autre triangle équivalent ou pour achever le deuxième quart du polygone, vous diviserez 166""”, 97 par 26", 75 longueur de KL perpendiculaire sur BC; vous porterez de G en M, le quotient 6™, 25 et vous joindrez les poiuts K, M. Le quadrilatère IGMK sera la seconde des portions demandées.

Vous pourriez former la troisième de la mémo manière ; mais il serait à craindre qu’elle eût 5 côtés et que la dernière fût triangulaire. Pour être certain d’obtenir encore deux quadrilatères , vous calculerez le triangle KDE , au

UESl’SIGF' DUS POLYGONES.

mojen île sa base KE=6 ,U et ilo sa hauteur DN=12 m . Retranchant de '166"'“, 97 la superficie 56"” 1 de KDE , vous trouverez 130""*, 97 pour celle du triangle qui ajouté à KDE formera le troisième quadrilatère. Si donc vous divisez 4 SO 1 ”"', 97 par 7“ moitié de la perpendiculaire DO, le quotient 18™, 7 1 sera la base KP du nouveau triangle KDr ; le quadrilatère KEDP donnera le 3 e quart du polygone, et le quadrilatère restant DCMP en sera la 4 e portion.

Il pourrait arriver que le triangle KDE eût une superficie plus grande que le quart du polygone donné. Alors et s’il vous était indifférent d’avoir, pour une des parts, un triangle ou un quadrilatère, vous retrancheriez 166“"’, 97 de la superficie de KDE; le reste serait celle d’un triangle à ôter de KDE. Pour eu connaître la base, vous diviseriez ce reste parla moitié de DN ; puis vous porteriez le quotient de K en R, par exemple. î.e triangle RDE serait la 5 e portion et le pentagone KRDCM serait la 4 e . Mais s’il fallait absolument qu’aucune des parts ne fût triangulaire , vous feriez siu- tout autre triangle KEM, KCM, etc., ce qui a été fait en premier lieu sur KDE.

Il serait possible aussi qu’une des limites du polygone fût sinueuse. Vous la décomposeriez en petites parties qui pussent être regardées , sans grande erreur , comme des lignes droites, et vous agiriez sur le nouveau polygone, comme dans l’exemple précédent, formant toujours des triangles dont l’ensemble produisît une des portions. Bien entendu que , dans ce cas , deux , trois , etc. , des petites . parties de la limite sinueuse compteraient pour un seul côté de quadrilatère ; de sorte que les parts de terrain seraient censées avoir cette figure, quoiqu’elles fussent réellement des pentagones, des hexagones, etc.

Partager un polygone en trois parties , par exemple, > qui en soit Tune le -, T autre le et la troisième les

L’opération revient encore au partage en portions équivalentes ; car les fractions données, réduites au même dénominateur deviennent 7 5 2 - ; leur somme doit faire

et fait effectivement ff ou 1 ; et si l’on partage le polygone en 1 2 parties de môme superficie , la réunion des quatre premières de ces parties donnera les — ou le ~ du tout , l’ensemble des 5 parties suivantes formera les ~ ou le i , et le reste se trouvera composé de 5 parties on de yr,.

Cet exemple suffit pour montrer comment il faut partager un polygone en parties exprimées par des f raclions inégales dont la somme est Tunité.

MESURAGE DES POLYGONES. H7

163. Comme la forme du trapèze est assez souvent celle fies champs, il convientde vous enseigner les procédés particuliers qu’on peut suivre pour partager de semblables terrains.

Partager un trapèze AB CD en un nombre quelconque de trapèzes équivalent, par des droites qui coupent les bases (P. HI, F. 16).

Supposons qu’on veuille 3 portions de même superficie. vous diviserez chaque base en 3 parties égales, et vous joindrez les points de division correspondans. Les trapèzes AEFD , ÈFHG, GHCB renfermeront effectivement la même superficie , puisqu’ils auront même hauteur et que les bases de chacun seront égales aux bases correspondantes de tout autre (159).

Partager un trapèze ABCD en un nombre quelconque. de trapèzes équivalent , par des droites parallèles aux bases (P. III, F. 17).

V oulez-Vous d’abord partager le trapèze ABCD en deux portions de même superficie? vous raisonnerez comme il suit : Si EF parallèle aux bases était la ligne de division , ABEF serait la moitié de la différence des deux triangles GCD,GBA, et le triangle GEF vaudrait le petit triangle GBA, plus la moitié de cette différence. Or, la somme d’un nombre tel que 7 et de la demi-différence de ce nombre à un autre tel que 11, c’est la même chose que la moitié de 7, plus la moitié de 7, plus la demi-différence de 7 à 11, on la même chose que la moitié de 7, plus la moitié de 11, ou la même chose que la demi-somme des deux nombres ; en

chiffres , 7-(-^=7-f 4 -=’-f-= 7 -±^. Letri-

angle GEF serait donc la demi-somme des triangles GCD,GBA ; et comme ce sont des triangles semblables, le quarré du côté GE vaudrait la demi-somme des quarrés des côtés correspondans GC,GB (111).

Par conséquent , pour opérer le partage , prolongez les côtés DA, CB , jusqu’à ce qu’ils se coupent en G; mesurez GB , GC ou GA , GD ; faites la somme des quarrés numériques de ces deux longueurs ; puis extrayez la racine de la moitié de cette somme. Le résultat sera la distance de G au point E , par lequel il faudra mener une parallèle EF aux bases , pour que le trapèze ABEF ait la même superficie que le trapèze EFDC.

S’agit— il de partager le trapèze ABCD en trois portions équivalentes? on double le quarré numérique de GB , on ajoute le produit au quarré de GC , et l’on extrait la

racine «lu tiers de la somme , pour avoir la distance de G au point H, par lequel doit être menée la première parallèle aux bases. On trouve ensuite le point I de la deuxième , par l’opération précédente faite sur le trapèze

HCDK.

S’il fallait former 4 portions équivalentes dans le trapèze ABCD , vous tripleriez le quarré numérique de GB , vous l’ajouteriez au quarré de GC , et vous extrairiez la racine du quart de la somme , pour connaître le point de la première parallèle. Les points des deux autres s’obtiendraient comme dans le cas précédent.

Vous voyez donc que le nombre par lequel il faut mnlt iplier le quarré de GB , est le nombre des portions moins 1 ; et que c’est par ce nombre même des portions qu’on doit diviser la somme du produit et du quarré de GC , avant de faire l’extraction.

DESSIN DES CORrS.

464. Nous voici arrivés à l’étude des faces courbes. La première chose à faire, c’est d’apprendre à les représenter exactement sur le papier ou , ce qui revient au même , à dessiner les corps Je manière qu’au moyen d’une échelle , on puisse en trouver les véritables dimensions.

Pour que le dessin d’un corps en donne exactement les dimensions , il doit se composer de deux parties : le plan et Vélèvalion.

Le plan d’un corps est T ensemble des pieds des perpendiculaires abaissées des divers points du corps , sur un plan horizontal: en général, ces points sont unis sur le plan , par des droites ou des courbes , selon qu’ils le sont dans le corps par des droites ou des courbes.

Placez votre équerre de façon que ses faces triangulaires soient horizontales , et placez des fîls-à-plomb aux trois sommets. Ces fils marqueront trois points sur un plan horizontal situé au-dessous de l’équerre , à une distance quelconque. Unissez ces points par trois droites, vous aurez un triangle parfaitement égal aux faces triangulaires de l'équerre. En effet , les fils-à-plomb sont parallèles , et les droites horizontales qu’ils comprennent entre eux sont égales, puisqu’elles sont aussi parallèles (66); par conséquent, le côtés du triangle fait sur le plan horizontal , sont égaux aux côtés correspondans des faces triangulaires de l’équerre, et il s’ensuit que ce triangle égale chaque face (40o). Un