DESSIN DES CORPS

plan un rectangle , son élévation est un carré , si les longues arêtes sont perpendiculaires au plan vertical , et les côtés de ce carré donnent l’épaisseur.

Vous voyez par là , que l’élévation peut faire connaître la dimension que ne fournit point le plan.

L’élévation d’un corps est aussi appelée projection verticale ; les perpendiculaires qu’on abaisse sur le plan vertical pour la déterminer, sont dites lignes projetantes, comme les verticales qui déterminent le plan. Il est visible au reste que ces perpendiculaires sont des horizontales , et que leurs longueurs égalent les distances des points du corps , au plan vertical sur lequel l’élévation est dessinée.

Le plan horizontal qui contient le plan d’un objet, et le plan vertical qui en renferme l’élévation , sont souvent appelés plans de projections..

166. Afin de pouvoir faire sur une môme feuille de papier , le plan et l’élévation d’un corps , on y trace parallèlement au bord inférieur ou supérieur, une droite un peu forte , comme les lignes de résultat. Cette droite , nommée ligne de terre , est censée l’intersection d’un plan horizontal et d’un plan vertical ; on suppose que la partie du papier située au-dessous , est le plan horizontal du terrain, et que la partie située au-dessus , est un plan vertical , celui d’un mur par exemple. Il faut s'habituer à considérer la feuille comme si elle était pliée selon la ligne

de terre , de manière que la partie inférieure fût liori- * zonlalc , et la partie supérieure , verticale.

167. Construire le plan et Félèvalion d'une équerre dont les grandes faces sont horizontales et dont F un des petits côtés est parallèle au plan vertical. On suppose que ce petit côté est éloigné de 0 m ,l du plan vertical, que la face inférieure de l’équerre se trouve à 0 m ,2 du plan horizontal , que l’épaisseur est de O 111 , 02, que le côté parallèle au plan vertical a 0 m ,4, que l’autre petit côté a 0 m ,5 et que l’échelle est au dixième.

Elevez en un point quelconque A de la ligne de terre \Z(P. 1H, F. 18), une perpendiculaire AB ; portez O 111 , 04 de À en G , et par le point C , menez une parallèle à AB ; prenez AD et CE de 0 ul ,0i , puis tirez DE ; prenez DF de 0 m ,03, puis tirez FE. Le triangle EDF sera le plan de l’équerre , car le côté DE de ce plan doit être parallèle à la ligne de terre , comme le côté correspondant de l’équerre (46), et autant éloigné de celle droite, que le côté 1 est du plan vertical.

ORSSlX ftr.s COP.'PS.

Maintenant, portez 0 m ,02 de À en G et de C en H, puis 0 m ,002 de G en I et de H en K. Les droites GH , IK achèveront le rectangle qui doit former 1 élévation de l’équerre (165) ; car il faut évidemment que le côté GII de ce rectangle soit éloigné de la ligne de terre , autant que la face inférieure du corps est éloignée du plan horizontal.

Vous voyez par là que sur le dessin complet d’un corps, les distances au plan vertical sont les perpendiculaires à la ligne de terre , tracées dans le plan horizontal , comme AF , CE, et que les distances au plan horizontal doivent être mesurées sur les perpendiculaires à la ligne de terre, tracées dans le plan vertical , comme Al , CH.

Ainsi , non seulement le dessin complet d’un corps fournit toutes les dimensions dont on peut avoir besoin , pour construire ce corps , mais en outre il donne les moyens de le placer comme il était placé ou comme il doit l'être. Effectivement , il suffirait de faire sur le terrain ou sur un plancher , un triangle égal à EDF , d’après l’échelle, et de planter verticalement, aux sommets de ce triangle , trois tiges égales à AG , pour poser l’équerre horizontalement et à une distance de ü m ,2 du plan horizontal.

168. C’est parfois uniquement pour donner les vraies dimensions d’un corps et indiquer les positions exactes de ses parties , les unes par rapport aux autres , qu’on fait un plan et. une élévation. Dans ce cas, on ne tient aucun compte des distances de ces parties au plan vertical ou nu plan horizontal ; ces deux plans n’existant pas , et ne devant servir qu'à l'intelligence du dessin , sont placés arbitrairement par rapport au corps. Quelquefois même on y substitue deux faces de ce corps , s’il en a deux qui soient perpendiculaires entre elles , afin de simplifier le tracé.

La figure 19 (P. III), par exemple, présente aussi bien que la figure 18 , les dimensions et la forme de l’objet dont elle contient le plan et l’élévation, quoique ce soit la grande face inférieure de l’équerre qui scrVé de plan horizontal, et une des petites faces qui serve deplan vertical-

Construire 1e plan et V élévation d’une pièce de bois carré , longue de 6 m , large de 0 m ,5, épaisse de 0 nl ,2.

Puisqu’on peut prendre arbitrairement les plans de projection , nous supposerons le plan horizontal parallèle aux larges faces et le plan vertical parallèle aux face#

122 SURFACES- COURBES

étroites. Il s'ensuivra que les longues arêtes seront parallèles à la ligne «le terre YZ (P. HI, F. 20). Faites donc un rectangle ABGD , dont les grands côtés aient 6 ,n ou 6 parties dé l'échelle, et soient parallèles à YZ; donnez 0 m ,E> aux petits eôtésAD, BCet prolongez-les sur le plan vertical ; tracez EF parallèlement à YZ ; prenez EG et FH de O m ,2, puis tirez GH. Le rectangle ABGD sera le plan <le la pièce de bois, et le rectangle EFHG en sera l'élévation.

SURFACES COURBES

169. Les faces courbes des corps, qui ne sont interrompues par aucune face plane , sont plus ordinairement appelées surfaces combes, probablement parce que chacune' peut être considérée comme l'ensemble d’une multitude de petites faces planes extrêmement étroites , dont le corps serait complètement enveloppé (85).

Il y a des surfaces courbes réglées , et d’autres qui ne le sont pas. Les premières sont celles sur lesquelles une règle peut s'appliquer de toute sa longueur, au moins dans un sens ; les positions qu’elle y peut prendre sont parallèles , ou bien elles concourent toutes en un point , ou bien elles se croisent sans se rencontrer. Un tuyau «le poiïlc , une voûte de cave, le pourtour d'une meule, un crayon de mine de plomb, présentent chacun une surface courbe réglée selon des parallèles. Un pain de sucre , le toit rond et pointu d’une tour, une colonne, un canon de fusil, un éleignoir , un sceau évasé , un entonnoir en fer blanc , ont chacun une surface courbe réglée selon des concourantes. Les ailes d’un moulin à vent, une planche gauchie, les oreilles ou versoirs d'une charrue, le dessous en plâtre d’un escalier , montrent des surfaces courbes réglées suivant des droites qui se croisent sans se rencontrer. Ces dernières surfaces sont dites gauches; la Géométrie élémentaire ne s’en occupe point.

170. Toute surface courbe qui est réglée selon des parallèles , s’appèle surface cylindrique ; et le corps qu’elle enveloppe, porte le nom «le cylindre, quand ses autres limites sont deux faces planes.

Si les faces planes qui forment les deux bouts d’un cylindre, sont parallèles , le cylindre est complet et ces faces en sout les bases. Si elles ne sont pas parallèles, le cylindre

est tronqué ; une des faces planes est prise pour base et l’autre ostia troncature. Toutes les droites qu’on peut tracer sur la surface courbe d’un cylindre complet , «ut meme longueur (95).

Un cylindre qui a un cercle pour base est dit circulaire ; il est dit oblong , s'il a pour base line ovale, ou tout autre courbe qui soit fermée, comme celle-là, mais non circulaire.

Lorsque les droites de la surface cylindrique sont d’équerre sur la base, le cylindre est droit ; il est oblique dans le cas contraire.

Enfin, un corps cylindrique dont l’intérieur est évidé en cylindre, forme un manchon cylindrique. Ordinairement, les deux faces courbes d’un manchon cylindrique sont équidistantes, c’est-à-dire que leur distance est partout la même (*).

D’après ces définitions , une meule non encore percée, un crayon de mine de plomb , le rouleau du laboureur , l’âme d’un fusil, un puits, un trou de tarière fait de part eu part et d’équerre dans un corps à faces parallèles , sont des cylindres droits, circulaires et complets ; un litre, une quarte , un tuyau de poêle , un anneau plat , une cuve sont des mandions cylindriques, droits, circulaires et complets , si l’on considère leur matière , et des cylindres creux , si l’on considère leur vide ; les baignoires, certains cuviers et plusieurs sortes d’autres vases sont des manchons cylindriques ou des cylindres creux , droits , oblongs et complets.

Il serait difficile de citer quelques exemples de cylindres obliques : leur rareté nous permettra d abréger , eu les passant sous silence.

La droite qui joint les centres des deux faces planes d’un cylindre, est l'are de ce corps. L’axe est toujours parallèle aux droites de la surface cylindrique (fifi).

171. Dessiner un cylindre droit , circulaire et complet , dont Taxe est vertical et dont la longeur L et le rayon R sont donnés (P. III, F. 21).

Le plan est un cercle égal à la base. Vous décrirez donc sur le plan horizontal , au-dessous de la ligne de .terre YZ , un cercle A qui ait la longueur II pour rayon. L élévation doit être un rectangle égal à celui que for-

(*) I! tarait bon que lotis le» curj>s, exécuté» en bois , eu lcr*blanc t etc., furent mi» t»ous le» jeux des élève».

ment les diamètres tracés dans les bases , parallèlement, à \Z , et les deux droites qui joignent les extrémités do ces diamètres. Abaissez donc du centre A , une perpendiculaire sur y Z ; menez deux tangentes parallèles à cette perpendiculaire AA" (54) ; tirez BC parallèlement à i Z ; portez la longueur L de C en D et de B en E ; puis

! 'oignez D à E. Le cercle A indiquera la forme du cyindre ; Je rectangle BCDE donnera le diamètre BC de ce cylindre et la longueur CD. L’axe est représenté sur le plan par le centre A, et sur l’élévation par la droite

172. Mesurer la surface courbe (fuit cylindre droit et complet.

Ou peut concevoir cette surface composée d’une multitude de petits rectangles très-étroits , dont la hauteur soit l.i longueur CD du cylindre (P. III, F. 21), et dont Jcs bases forment un polygone qui se confonde avec Un des cercles , si le cylindre est circulaire. Or , la somme des superficies de ces rectangles égalera {a somme do leurs bases multipliée par la hauteur commune, c’est-àdire la circonférence A du cylindre, multipliée par la longueur CD. Par conséquent , une surface cylindrique , droite , circulaire et complète égale la circonférence de sa base , multipliée par sa longueur L, Comme toute circonférence égale son diamètre D multiplié par 5,1416, la formule S . Cy=l)X5 , 141 6XL donnera la surface courbe de tout cylindre droit et circulaire , lorsqu’on y rcmpla- cera D et L par leurs longueurs mesurées avec la même unité,

Si, par exemple, D=p™,15 et que L=o™,85, lafor— muledevientS. Cy=0' n , 15X3, 14I6X0™, 85— 0""”, 400 55/f, pu 40 décimètres carrés, 5 centimètres carrés et 54 millimètres carrés (126).

Lorsque le cylindre est oblong , on mesure le contour de la base au moyen d’une ficelle et l’on multiplie la longueur de ce contour par celle de la surface.

175. Mesurer la surface totale d'un cylindre droit et complet.

Calculez la surface courbe et ajoutez-y le double de la superficie de l’une des bases.

Dans l’exemple précédent où le rayon est 0 m ,075 , la superficie., d'une base (155) est 0 1IUU , 005 625X5, 1416= 0 mui ,ÜI7 6715; les deux bases font ensemble 0 mm , 017 671 5

X2=0 mm ,035 545 , et la surface totale du cylindre circulaire vaut {^“VtUO 5544-0 m,n , 035 343=;0 mm , 435897.